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专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版)
展开2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题22 不等式选讲
一、解答题
1.(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2)若,则.
【答案】(1)见解析: (2)见解析:
解析:(1)证明:由柯西不等式有,
所以,当且仅当时,取等号,所以;
(2)证明:因为,,,,由(1)得,
即,所以,
由权方和不等式知,
当且仅当,即,时取等号,
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2.(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a,b,c都是正数,且,证明:
(1);
(2);
【答案】解析:证明:因为,,,则,,,
所以,
即,所以,当且仅当,即时取等号.
小问2详解】
证明:因为,,,
所以,,,
所以,,
当且仅当时取等号.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3.(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数.
(1)画出和的图像;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)图像见解析;(2)
解析:(1)可得,画出图像如下:
,画出函数图像如下:
(2),
如图,在同一个坐标系里画出图像,
是平移了个单位得到,
则要使,需将向左平移,即,
当过时,,解得或(舍去),
则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.
【点睛】关键点睛:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4.(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1).(2).
解析:(1)当时,,表示数轴上的点到和的距离之和,
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于,故或,
所以的解集为.
(2)依题意,即恒成立,
,故,
所以或,
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数.
(1)画出的图像;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)详解解析;(2).
【解析】(1)因为,作出图象,如图所示:
(2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:
由,解得.
所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
解析:(1)当时,.
当时,,解得:;
当时,,无解;
当时,,解得:;
综上所述:的解集为或.
(2)(当且仅当时取等号),
,解得:或,
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
解析:(1),
均不为,则,;
(2)不妨设,
由可知,,
,.
当且仅当时,取等号,
,即.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
8.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
【答案】【答案】(1);(2)见详解.
【官方解析】(1)由于
故由已知得,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
(2)由于
故由已知得,当且仅当时等号成立.
因此的最小值为
由题设知,解得或.
【解法2】柯西不等式法
(1),
故,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
(2),所以.当且仅当时等号成立.
成立.
所以成立,所以有或.
【点评】本题两问思路一样,既可用基本不等式,也可用柯西不等式求解,属于中档题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
9.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
当时,求不等式的解集;
当时,,求的取值范围.
【答案】【答案】;
【官方解析】
当时,.
当时,;当时,.
所以,不等式的解集为.
因为,所以.
当,时,
所以,的取值范围是.
【分析】根据,将原不等式化为,分别讨论,,三种情况,即可求出结果;
分别讨论和两种情况,即可得出结果.
【解析】
当时,原不等式可化为;
当时,原不等式可化,即,显然成立,
此时解集为;
当时,原不等式可化为,解得,此时解集为空集;
当时,原不等式可化为,即,显然不成立;此时解集为空集;
综上,原不等式的解集为;
当时,因为,所以由可得,
即,显然恒成立;所以满足题意;
当时,,因时, 显然不能成立,所以不满足题意;
综上,的取值范围是.
【点评】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
10.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知,,为正数,且满足.证明:
(1);
(2).
【答案】解:(1)因为,又,故有
.所以.
(2)因为为正数且,故有
所以.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
11.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5:不等式选讲】(10分)
设函数.
(1)画出的图象;
(2)当时,,求的最小值.
【答案】【官方解析】(1)
的图像如图所示
(2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
【民间解析】(1),可作出函数的图象如下图
(2)依题意可知在上恒成立,在上也恒成立
当时,恒成立即在上恒成立
所以,且,此时,
当时,即恒成立
结合,可知即
综上可知,所以当,时,取得最小值.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
12.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
【答案】解析:(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立,故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题
13.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5:不等式选讲](10分)已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【答案】解析:(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题
14.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围
【答案】(1);(2).
【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,.若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为.
【解析】(1)当时,不等式等价于①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而
所以不等式的解集为
(2)当时,
所以的解集包含,等价于当时,
又在的最小值必为与之一,所以,得.
所以的取值范围为.
【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题
【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题
15.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(1)因为
所以不等式等价于或或
由无解;由;由
综上可得不等式的解集为.
(2)解法一:先求不等式的解集为空集时的取值范围
不等式的解集为空集等价于不等式恒成立
记,则
当时,
当时,
当时,
所以
所以不等式的解集为空集时,
所以不等式的解集非空时,的取值范围为.
解法二:原式等价于存在,使成立,即
设
由(1)知
当时,,其开口向下,对称轴
所以
当时,,其开口向下,对称轴为
所以
当时,,其开口向下,对称轴为
所以
综上
所以的取值范围为.
【考点】绝对值不等式的解法
【点评】绝对值不等式的解法有三种:
法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
16.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,证明:
(1);
(2).
【答案】【命题意图】不等式证明,柯西不等式
【基本解法】(1)解法一:由柯西不等式得:
解法二:
解法三:
又,所以.
当时,等号成立.
所以,,即.
(2)解法一:由及得
所以.
解法二:(反证法)假设,则,两边同时立方得:
,
即,因为,
所以,即
,矛盾,所以假设不成立,
即.
解法三:因为,
所以:
.
又,所以: 。
所以,,即.
【考点】基本不等式;配方法
【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形后若与二次函数有关,可用配方法.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
17.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)设函数,当时,,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)当时,.
解不等式,得.因此,的解集为.
(Ⅱ)当时,
当时等号成立.
所以当时,等价于.①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得
所以的取值范围是.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题
18.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数,为不等式的解集.
(I)求;
(II)证明:当时,.
【答案】(1);(2)见解析
【官方解答】(1)
当时,由得,解得;
当时,恒成立;
当时,由,得,解得.
所以的解集.
(2)由(1)知,当时,,,从而
.
因此.
【民间解答】⑴当时,,若;
当时,恒成立;
当时,,若,.
综上可得,.
⑵当时,有
即,
则,
则,
即,
证毕.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题
19.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(I)画出的图像;
(II)求不等式的解集.
【答案】 (I)见解析 (II)
【官方解答】(I) ,如图所示:
(II)由得表达式及图像,当时,得或
当时,得或
故的解集为;的解集为
,解集为.
【民间解答】(I) 如上图所示:
(II)
当,,解得或
当,,解得或或
当,,解得或 或
综上,或或
,解集为.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题
20.(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ)若,则;
(Ⅱ)是的充要条件.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
解析:(Ⅰ)因为,,由题设,,得.因此.
(Ⅱ)(ⅰ)若,则.即.因为,所以,由(Ⅰ)得.
(ⅱ)若,则,即.因为,所以,于是.因此,综上,是的充要条件.
考点:推理证明.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第24题
21.(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
分析:(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解;(Ⅱ)将化为分段函数,求出与轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于的不等式,即可解出的取值范围.
解析:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,
等价于或或,解得,
所以不等式f(x)>1的解集为.
(Ⅱ)由题设可得,,
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,所以△ABC的面积为.
由题设得>6,解得.
所以的取值范围为(2,+∞).
考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
22.(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲.
设函数=
(Ⅰ)证明:2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
【答案】解析:(Ⅰ),
仅当时等号成立,所以2.
(Ⅱ)=
当时,=,解得
当时,=,解得
综上所述,的取值范围为.
考点:(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
难度:B
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
23.(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
若,且.
(1)求的最小值;
(2)是否存在,使得,并说明理由.
【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为.
(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立.
考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
难度:B
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
24.(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数,且,证明:
(Ⅰ);(Ⅱ)
【答案】证明:(1)由得
.
由题设得,
即.
所以,即.
(2)因为,
故,
即.
所以.
考点:(1)7.1.1不等式的性质;(2)7.1.3不等式性质的应用;(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
难度:C
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
25.(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
【答案】(1) (2)(-1,].
解析:当=-2时,不等式<化为,
设函数=,=,
其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值范围为(-1,].
考点:(1)12.3.1含绝对值不等式的解法;(2)12.3.3含绝对值的恒成立问题.
难度:B
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题
一、解答题
1.(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2)若,则.
【答案】(1)见解析: (2)见解析:
解析:(1)证明:由柯西不等式有,
所以,当且仅当时,取等号,所以;
(2)证明:因为,,,,由(1)得,
即,所以,
由权方和不等式知,
当且仅当,即,时取等号,
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2.(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a,b,c都是正数,且,证明:
(1);
(2);
【答案】解析:证明:因为,,,则,,,
所以,
即,所以,当且仅当,即时取等号.
小问2详解】
证明:因为,,,
所以,,,
所以,,
当且仅当时取等号.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3.(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数.
(1)画出和的图像;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)图像见解析;(2)
解析:(1)可得,画出图像如下:
,画出函数图像如下:
(2),
如图,在同一个坐标系里画出图像,
是平移了个单位得到,
则要使,需将向左平移,即,
当过时,,解得或(舍去),
则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.
【点睛】关键点睛:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4.(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1).(2).
解析:(1)当时,,表示数轴上的点到和的距离之和,
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于,故或,
所以的解集为.
(2)依题意,即恒成立,
,故,
所以或,
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数.
(1)画出的图像;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)详解解析;(2).
【解析】(1)因为,作出图象,如图所示:
(2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:
由,解得.
所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
解析:(1)当时,.
当时,,解得:;
当时,,无解;
当时,,解得:;
综上所述:的解集为或.
(2)(当且仅当时取等号),
,解得:或,
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
解析:(1),
均不为,则,;
(2)不妨设,
由可知,,
,.
当且仅当时,取等号,
,即.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
8.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
【答案】【答案】(1);(2)见详解.
【官方解析】(1)由于
故由已知得,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
(2)由于
故由已知得,当且仅当时等号成立.
因此的最小值为
由题设知,解得或.
【解法2】柯西不等式法
(1),
故,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
(2),所以.当且仅当时等号成立.
成立.
所以成立,所以有或.
【点评】本题两问思路一样,既可用基本不等式,也可用柯西不等式求解,属于中档题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
9.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
当时,求不等式的解集;
当时,,求的取值范围.
【答案】【答案】;
【官方解析】
当时,.
当时,;当时,.
所以,不等式的解集为.
因为,所以.
当,时,
所以,的取值范围是.
【分析】根据,将原不等式化为,分别讨论,,三种情况,即可求出结果;
分别讨论和两种情况,即可得出结果.
【解析】
当时,原不等式可化为;
当时,原不等式可化,即,显然成立,
此时解集为;
当时,原不等式可化为,解得,此时解集为空集;
当时,原不等式可化为,即,显然不成立;此时解集为空集;
综上,原不等式的解集为;
当时,因为,所以由可得,
即,显然恒成立;所以满足题意;
当时,,因时, 显然不能成立,所以不满足题意;
综上,的取值范围是.
【点评】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
10.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知,,为正数,且满足.证明:
(1);
(2).
【答案】解:(1)因为,又,故有
.所以.
(2)因为为正数且,故有
所以.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
11.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5:不等式选讲】(10分)
设函数.
(1)画出的图象;
(2)当时,,求的最小值.
【答案】【官方解析】(1)
的图像如图所示
(2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
【民间解析】(1),可作出函数的图象如下图
(2)依题意可知在上恒成立,在上也恒成立
当时,恒成立即在上恒成立
所以,且,此时,
当时,即恒成立
结合,可知即
综上可知,所以当,时,取得最小值.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
12.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
【答案】解析:(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立,故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题
13.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5:不等式选讲](10分)已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【答案】解析:(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题
14.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围
【答案】(1);(2).
【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,.若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为.
【解析】(1)当时,不等式等价于①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而
所以不等式的解集为
(2)当时,
所以的解集包含,等价于当时,
又在的最小值必为与之一,所以,得.
所以的取值范围为.
【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题
【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题
15.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(1)因为
所以不等式等价于或或
由无解;由;由
综上可得不等式的解集为.
(2)解法一:先求不等式的解集为空集时的取值范围
不等式的解集为空集等价于不等式恒成立
记,则
当时,
当时,
当时,
所以
所以不等式的解集为空集时,
所以不等式的解集非空时,的取值范围为.
解法二:原式等价于存在,使成立,即
设
由(1)知
当时,,其开口向下,对称轴
所以
当时,,其开口向下,对称轴为
所以
当时,,其开口向下,对称轴为
所以
综上
所以的取值范围为.
【考点】绝对值不等式的解法
【点评】绝对值不等式的解法有三种:
法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
16.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,证明:
(1);
(2).
【答案】【命题意图】不等式证明,柯西不等式
【基本解法】(1)解法一:由柯西不等式得:
解法二:
解法三:
又,所以.
当时,等号成立.
所以,,即.
(2)解法一:由及得
所以.
解法二:(反证法)假设,则,两边同时立方得:
,
即,因为,
所以,即
,矛盾,所以假设不成立,
即.
解法三:因为,
所以:
.
又,所以: 。
所以,,即.
【考点】基本不等式;配方法
【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形后若与二次函数有关,可用配方法.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
17.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)设函数,当时,,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)当时,.
解不等式,得.因此,的解集为.
(Ⅱ)当时,
当时等号成立.
所以当时,等价于.①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得
所以的取值范围是.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题
18.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数,为不等式的解集.
(I)求;
(II)证明:当时,.
【答案】(1);(2)见解析
【官方解答】(1)
当时,由得,解得;
当时,恒成立;
当时,由,得,解得.
所以的解集.
(2)由(1)知,当时,,,从而
.
因此.
【民间解答】⑴当时,,若;
当时,恒成立;
当时,,若,.
综上可得,.
⑵当时,有
即,
则,
则,
即,
证毕.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题
19.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(I)画出的图像;
(II)求不等式的解集.
【答案】 (I)见解析 (II)
【官方解答】(I) ,如图所示:
(II)由得表达式及图像,当时,得或
当时,得或
故的解集为;的解集为
,解集为.
【民间解答】(I) 如上图所示:
(II)
当,,解得或
当,,解得或或
当,,解得或 或
综上,或或
,解集为.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题
20.(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ)若,则;
(Ⅱ)是的充要条件.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
解析:(Ⅰ)因为,,由题设,,得.因此.
(Ⅱ)(ⅰ)若,则.即.因为,所以,由(Ⅰ)得.
(ⅱ)若,则,即.因为,所以,于是.因此,综上,是的充要条件.
考点:推理证明.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第24题
21.(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
分析:(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解;(Ⅱ)将化为分段函数,求出与轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于的不等式,即可解出的取值范围.
解析:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,
等价于或或,解得,
所以不等式f(x)>1的解集为.
(Ⅱ)由题设可得,,
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,所以△ABC的面积为.
由题设得>6,解得.
所以的取值范围为(2,+∞).
考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
22.(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲.
设函数=
(Ⅰ)证明:2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
【答案】解析:(Ⅰ),
仅当时等号成立,所以2.
(Ⅱ)=
当时,=,解得
当时,=,解得
综上所述,的取值范围为.
考点:(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
难度:B
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
23.(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
若,且.
(1)求的最小值;
(2)是否存在,使得,并说明理由.
【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为.
(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立.
考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
难度:B
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
24.(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数,且,证明:
(Ⅰ);(Ⅱ)
【答案】证明:(1)由得
.
由题设得,
即.
所以,即.
(2)因为,
故,
即.
所以.
考点:(1)7.1.1不等式的性质;(2)7.1.3不等式性质的应用;(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
难度:C
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
25.(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
【答案】(1) (2)(-1,].
解析:当=-2时,不等式<化为,
设函数=,=,
其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值范围为(-1,].
考点:(1)12.3.1含绝对值不等式的解法;(2)12.3.3含绝对值的恒成立问题.
难度:B
备注:高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题
专题08 不等式-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷及解析版): 这是一份专题08 不等式-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷及解析版),文件包含专题08不等式2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版解析版docx、专题08不等式-2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共15页, 欢迎下载使用。
专题07 复数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版): 这是一份专题07 复数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版),共4页。
专题01 集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版): 这是一份专题01 集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版),文件包含专题01集合-2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版解析版docx、专题01集合-2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。