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    专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版)
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      专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版).docx
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    专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版)

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    这是一份专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版+解析版),文件包含专题22不等式选讲2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版解析版docx、专题22不等式选讲-2023高考必备2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编全国通用版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共57页, 欢迎下载使用。

    2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
    专题22 不等式选讲
    一、解答题
    1.(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a,b,c均为正数,且,证明:
    (1);
    (2)若,则.
    【答案】(1)见解析: (2)见解析:
    解析:(1)证明:由柯西不等式有,
    所以,当且仅当时,取等号,所以;
    (2)证明:因为,,,,由(1)得,
    即,所以,
    由权方和不等式知,
    当且仅当,即,时取等号,
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
    2.(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a,b,c都是正数,且,证明:
    (1);
    (2);

    【答案】解析:证明:因为,,,则,,,
    所以,
    即,所以,当且仅当,即时取等号.
    小问2详解】
    证明:因为,,,
    所以,,,
    所以,,

    当且仅当时取等号.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
    3.(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数.

    (1)画出和的图像;
    (2)若,求a的取值范围.
    【答案】(1)图像见解析;(2)
    解析:(1)可得,画出图像如下:

    ,画出函数图像如下:

    (2),
    如图,在同一个坐标系里画出图像,
    是平移了个单位得到,
    则要使,需将向左平移,即,
    当过时,,解得或(舍去),
    则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.

    【点睛】关键点睛:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
    【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
    4.(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求a的取值范围.
    【答案】(1).(2).
    解析:(1)当时,,表示数轴上的点到和的距离之和,
    则表示数轴上的点到和的距离之和不小于,故或,
    所以的解集为.

    (2)依题意,即恒成立,
    ,故,
    所以或,
    解得.
    所以的取值范围是.
    【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.


    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
    5.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数.
    (1)画出的图像;

    (2)求不等式的解集.
    【答案】(1)详解解析;(2).
    【解析】(1)因为,作出图象,如图所示:
    (2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:

    由,解得.
    所以不等式的解集为.
    【点睛】本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.


    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
    6.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求a的取值范围.

    【答案】(1)或;(2).
    解析:(1)当时,.
    当时,,解得:;
    当时,,无解;
    当时,,解得:;
    综上所述:的解集为或.
    (2)(当且仅当时取等号),
    ,解得:或,
    的取值范围为.
    【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
    7.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
    (1)证明:ab+bc+ca<0;
    (2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
    【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
    解析:(1),

    均不为,则,;
    (2)不妨设,
    由可知,,
    ,.
    当且仅当时,取等号,
    ,即.
    【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.



    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    8.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,且.
    (1)求的最小值;
    (2)若成立,证明:或.
    【答案】【答案】(1);(2)见详解.
    【官方解析】(1)由于


    故由已知得,当且仅当时等号成立.
    所以的最小值为.
    (2)由于


    故由已知得,当且仅当时等号成立.
    因此的最小值为
    由题设知,解得或.
    【解法2】柯西不等式法
    (1),
    故,当且仅当时等号成立.
    所以的最小值为.
    (2),所以.当且仅当时等号成立.
    成立.
    所以成立,所以有或.
    【点评】本题两问思路一样,既可用基本不等式,也可用柯西不等式求解,属于中档题型.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    9.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
    当时,求不等式的解集;
    当时,,求的取值范围.
    【答案】【答案】;
    【官方解析】
    当时,.
    当时,;当时,.
    所以,不等式的解集为.
    因为,所以.
    当,时,
    所以,的取值范围是.
    【分析】根据,将原不等式化为,分别讨论,,三种情况,即可求出结果;
    分别讨论和两种情况,即可得出结果.
    【解析】
    当时,原不等式可化为;
    当时,原不等式可化,即,显然成立,
    此时解集为;
    当时,原不等式可化为,解得,此时解集为空集;
    当时,原不等式可化为,即,显然不成立;此时解集为空集;
    综上,原不等式的解集为;
    当时,因为,所以由可得,
    即,显然恒成立;所以满足题意;
    当时,,因时, 显然不能成立,所以不满足题意;
    综上,的取值范围是.
    【点评】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
    10.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知,,为正数,且满足.证明:
    (1);
    (2).
    【答案】解:(1)因为,又,故有
    .所以.
    (2)因为为正数且,故有


    所以.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
    11.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5:不等式选讲】(10分)
    设函数.
    (1)画出的图象;
    (2)当时,,求的最小值.

    【答案】【官方解析】(1)
    的图像如图所示

    (2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
    【民间解析】(1),可作出函数的图象如下图

    (2)依题意可知在上恒成立,在上也恒成立
    当时,恒成立即在上恒成立
    所以,且,此时,
    当时,即恒成立
    结合,可知即
    综上可知,所以当,时,取得最小值.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
    12.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)
    设函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求的取值范围.
    【答案】解析:(1)当时,

    可得的解集为.
    (2)等价于.
    而,且当时等号成立,故等价于.
    由可得或,所以的取值范围是.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题
    13.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5:不等式选讲](10分)已知.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若时不等式成立,求的取值范围.
    【答案】解析:(1)当时,,即
    故不等式的解集为.
    (2)当时成立等价于当时成立.
    若,则当时;
    若,的解集为,所以,故.
    综上,的取值范围为.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题
    14.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若不等式的解集包含,求的取值范围
    【答案】(1);(2).
    【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,.若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为.
    【解析】(1)当时,不等式等价于①
    当时,①式化为,无解;
    当时,①式化为,从而;
    当时,①式化为,从而
    所以不等式的解集为
    (2)当时,
    所以的解集包含,等价于当时,
    又在的最小值必为与之一,所以,得.
    所以的取值范围为.
    【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题
    【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题
    15.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲](10分)
    已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
    【解析】(1)因为
    所以不等式等价于或或
    由无解;由;由
    综上可得不等式的解集为.
    (2)解法一:先求不等式的解集为空集时的取值范围
    不等式的解集为空集等价于不等式恒成立
    记,则
    当时,
    当时,
    当时,
    所以
    所以不等式的解集为空集时,
    所以不等式的解集非空时,的取值范围为.
    解法二:原式等价于存在,使成立,即

    由(1)知
    当时,,其开口向下,对称轴
    所以
    当时,,其开口向下,对称轴为
    所以
    当时,,其开口向下,对称轴为
    所以
    综上
    所以的取值范围为.
    【考点】绝对值不等式的解法
    【点评】绝对值不等式的解法有三种:
    法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
    法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
    法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    16.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,证明:
    (1);
    (2).
    【答案】【命题意图】不等式证明,柯西不等式
    【基本解法】(1)解法一:由柯西不等式得:

    解法二:

    解法三:
    又,所以.
    当时,等号成立.
    所以,,即.
    (2)解法一:由及得


    所以.
    解法二:(反证法)假设,则,两边同时立方得:

    即,因为,
    所以,即
    ,矛盾,所以假设不成立,
    即.
    解法三:因为,
    所以:

    又,所以: 。
    所以,,即.
    【考点】基本不等式;配方法
    【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形后若与二次函数有关,可用配方法.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
    17.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (Ⅰ)当时,求不等式的解集;
    (Ⅱ)设函数,当时,,求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】(Ⅰ)当时,.
    解不等式,得.因此,的解集为.
    (Ⅱ)当时,
    当时等号成立.
    所以当时,等价于.①
    当时,①等价于,无解.
    当时,①等价于,解得
    所以的取值范围是.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题
    18.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数,为不等式的解集.
    (I)求;
    (II)证明:当时,.
    【答案】(1);(2)见解析
    【官方解答】(1)
    当时,由得,解得;
    当时,恒成立;
    当时,由,得,解得.
    所以的解集.
    (2)由(1)知,当时,,,从而

    因此.
    【民间解答】⑴当时,,若;
    当时,恒成立;
    当时,,若,.
    综上可得,.
    ⑵当时,有
    即,
    则,
    则,
    即,
    证毕.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题
    19.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (I)画出的图像;
    (II)求不等式的解集.
    【答案】 (I)见解析 (II)
    【官方解答】(I) ,如图所示:

    (II)由得表达式及图像,当时,得或
    当时,得或
    故的解集为;的解集为
    ,解集为.
    【民间解答】(I) 如上图所示:
    (II)

    当,,解得或
    当,,解得或或
    当,,解得或 或
    综上,或或
    ,解集为.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题
    20.(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
    设均为正数,且,证明:
    (Ⅰ)若,则;
    (Ⅱ)是的充要条件.
    【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
    解析:(Ⅰ)因为,,由题设,,得.因此.
    (Ⅱ)(ⅰ)若,则.即.因为,所以,由(Ⅰ)得.
    (ⅱ)若,则,即.因为,所以,于是.因此,综上,是的充要条件.
    考点:推理证明.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第24题
    21.(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (Ⅰ)当时,求不等式的解集;
    (Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围
    【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
    分析:(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解;(Ⅱ)将化为分段函数,求出与轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于的不等式,即可解出的取值范围.
    解析:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,
    等价于或或,解得,
    所以不等式f(x)>1的解集为.
    (Ⅱ)由题设可得,,
    所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,所以△ABC的面积为.
    由题设得>6,解得.
    所以的取值范围为(2,+∞).
    考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
    22.(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲.
    设函数=
    (Ⅰ)证明:2;
    (Ⅱ)若,求的取值范围.
    【答案】解析:(Ⅰ),
    仅当时等号成立,所以2.
    (Ⅱ)=
    当时,=,解得
    当时,=,解得
    综上所述,的取值范围为.
    考点:(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
    难度:B
    备注:高频考点





    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
    23.(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    若,且.
    (1)求的最小值;
    (2)是否存在,使得,并说明理由.
    【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
    故,且当时等号成立,
    ∴的最小值为.
    (2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
    所以不存在,使得成立.
    考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
    难度:B
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
    【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
    24.(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数,且,证明:
    (Ⅰ);(Ⅱ)
    【答案】证明:(1)由得
    .
    由题设得,
    即.
    所以,即.
    (2)因为,
    故,
    即.
    所以.
    考点:(1)7.1.1不等式的性质;(2)7.1.3不等式性质的应用;(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
    难度:C
    备注:高频考点
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
    25.(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    已知函数=,=.
    (Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
    (Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
    【答案】(1)  (2)(-1,].
    解析:当=-2时,不等式<化为,
    设函数=,=,
    其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.


    (Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
    ∴对∈[,)都成立,故,即≤,
    ∴的取值范围为(-1,].
    考点:(1)12.3.1含绝对值不等式的解法;(2)12.3.3含绝对值的恒成立问题.
    难度:B
    备注:高频考点
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题

    一、解答题
    1.(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a,b,c均为正数,且,证明:
    (1);
    (2)若,则.
    【答案】(1)见解析: (2)见解析:
    解析:(1)证明:由柯西不等式有,
    所以,当且仅当时,取等号,所以;
    (2)证明:因为,,,,由(1)得,
    即,所以,
    由权方和不等式知,
    当且仅当,即,时取等号,
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
    2.(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a,b,c都是正数,且,证明:
    (1);
    (2);

    【答案】解析:证明:因为,,,则,,,
    所以,
    即,所以,当且仅当,即时取等号.
    小问2详解】
    证明:因为,,,
    所以,,,
    所以,,

    当且仅当时取等号.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
    3.(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数.

    (1)画出和的图像;
    (2)若,求a的取值范围.
    【答案】(1)图像见解析;(2)
    解析:(1)可得,画出图像如下:

    ,画出函数图像如下:

    (2),
    如图,在同一个坐标系里画出图像,
    是平移了个单位得到,
    则要使,需将向左平移,即,
    当过时,,解得或(舍去),
    则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.

    【点睛】关键点睛:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
    【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
    4.(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求a的取值范围.
    【答案】(1).(2).
    解析:(1)当时,,表示数轴上的点到和的距离之和,
    则表示数轴上的点到和的距离之和不小于,故或,
    所以的解集为.

    (2)依题意,即恒成立,
    ,故,
    所以或,
    解得.
    所以的取值范围是.
    【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.


    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
    5.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数.
    (1)画出的图像;

    (2)求不等式的解集.
    【答案】(1)详解解析;(2).
    【解析】(1)因为,作出图象,如图所示:
    (2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:

    由,解得.
    所以不等式的解集为.
    【点睛】本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.


    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
    6.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求a的取值范围.

    【答案】(1)或;(2).
    解析:(1)当时,.
    当时,,解得:;
    当时,,无解;
    当时,,解得:;
    综上所述:的解集为或.
    (2)(当且仅当时取等号),
    ,解得:或,
    的取值范围为.
    【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
    7.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
    (1)证明:ab+bc+ca<0;
    (2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
    【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
    解析:(1),

    均不为,则,;
    (2)不妨设,
    由可知,,
    ,.
    当且仅当时,取等号,
    ,即.
    【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.



    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    8.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,且.
    (1)求的最小值;
    (2)若成立,证明:或.
    【答案】【答案】(1);(2)见详解.
    【官方解析】(1)由于


    故由已知得,当且仅当时等号成立.
    所以的最小值为.
    (2)由于


    故由已知得,当且仅当时等号成立.
    因此的最小值为
    由题设知,解得或.
    【解法2】柯西不等式法
    (1),
    故,当且仅当时等号成立.
    所以的最小值为.
    (2),所以.当且仅当时等号成立.
    成立.
    所以成立,所以有或.
    【点评】本题两问思路一样,既可用基本不等式,也可用柯西不等式求解,属于中档题型.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    9.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数.
    当时,求不等式的解集;
    当时,,求的取值范围.
    【答案】【答案】;
    【官方解析】
    当时,.
    当时,;当时,.
    所以,不等式的解集为.
    因为,所以.
    当,时,
    所以,的取值范围是.
    【分析】根据,将原不等式化为,分别讨论,,三种情况,即可求出结果;
    分别讨论和两种情况,即可得出结果.
    【解析】
    当时,原不等式可化为;
    当时,原不等式可化,即,显然成立,
    此时解集为;
    当时,原不等式可化为,解得,此时解集为空集;
    当时,原不等式可化为,即,显然不成立;此时解集为空集;
    综上,原不等式的解集为;
    当时,因为,所以由可得,
    即,显然恒成立;所以满足题意;
    当时,,因时, 显然不能成立,所以不满足题意;
    综上,的取值范围是.
    【点评】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
    10.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知,,为正数,且满足.证明:
    (1);
    (2).
    【答案】解:(1)因为,又,故有
    .所以.
    (2)因为为正数且,故有


    所以.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
    11.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5:不等式选讲】(10分)
    设函数.
    (1)画出的图象;
    (2)当时,,求的最小值.

    【答案】【官方解析】(1)
    的图像如图所示

    (2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
    【民间解析】(1),可作出函数的图象如下图

    (2)依题意可知在上恒成立,在上也恒成立
    当时,恒成立即在上恒成立
    所以,且,此时,
    当时,即恒成立
    结合,可知即
    综上可知,所以当,时,取得最小值.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
    12.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)
    设函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求的取值范围.
    【答案】解析:(1)当时,

    可得的解集为.
    (2)等价于.
    而,且当时等号成立,故等价于.
    由可得或,所以的取值范围是.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题
    13.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5:不等式选讲](10分)已知.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若时不等式成立,求的取值范围.
    【答案】解析:(1)当时,,即
    故不等式的解集为.
    (2)当时成立等价于当时成立.
    若,则当时;
    若,的解集为,所以,故.
    综上,的取值范围为.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题
    14.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若不等式的解集包含,求的取值范围
    【答案】(1);(2).
    【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,.若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为.
    【解析】(1)当时,不等式等价于①
    当时,①式化为,无解;
    当时,①式化为,从而;
    当时,①式化为,从而
    所以不等式的解集为
    (2)当时,
    所以的解集包含,等价于当时,
    又在的最小值必为与之一,所以,得.
    所以的取值范围为.
    【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题
    【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题.

    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题
    15.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲](10分)
    已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
    【解析】(1)因为
    所以不等式等价于或或
    由无解;由;由
    综上可得不等式的解集为.
    (2)解法一:先求不等式的解集为空集时的取值范围
    不等式的解集为空集等价于不等式恒成立
    记,则
    当时,
    当时,
    当时,
    所以
    所以不等式的解集为空集时,
    所以不等式的解集非空时,的取值范围为.
    解法二:原式等价于存在,使成立,即

    由(1)知
    当时,,其开口向下,对称轴
    所以
    当时,,其开口向下,对称轴为
    所以
    当时,,其开口向下,对称轴为
    所以
    综上
    所以的取值范围为.
    【考点】绝对值不等式的解法
    【点评】绝对值不等式的解法有三种:
    法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
    法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
    法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
    16.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,证明:
    (1);
    (2).
    【答案】【命题意图】不等式证明,柯西不等式
    【基本解法】(1)解法一:由柯西不等式得:

    解法二:

    解法三:
    又,所以.
    当时,等号成立.
    所以,,即.
    (2)解法一:由及得


    所以.
    解法二:(反证法)假设,则,两边同时立方得:

    即,因为,
    所以,即
    ,矛盾,所以假设不成立,
    即.
    解法三:因为,
    所以:

    又,所以: 。
    所以,,即.
    【考点】基本不等式;配方法
    【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形后若与二次函数有关,可用配方法.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
    17.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (Ⅰ)当时,求不等式的解集;
    (Ⅱ)设函数,当时,,求的取值范围.
    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】(Ⅰ)当时,.
    解不等式,得.因此,的解集为.
    (Ⅱ)当时,
    当时等号成立.
    所以当时,等价于.①
    当时,①等价于,无解.
    当时,①等价于,解得
    所以的取值范围是.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题
    18.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数,为不等式的解集.
    (I)求;
    (II)证明:当时,.
    【答案】(1);(2)见解析
    【官方解答】(1)
    当时,由得,解得;
    当时,恒成立;
    当时,由,得,解得.
    所以的解集.
    (2)由(1)知,当时,,,从而

    因此.
    【民间解答】⑴当时,,若;
    当时,恒成立;
    当时,,若,.
    综上可得,.
    ⑵当时,有
    即,
    则,
    则,
    即,
    证毕.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题
    19.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (I)画出的图像;
    (II)求不等式的解集.
    【答案】 (I)见解析 (II)
    【官方解答】(I) ,如图所示:

    (II)由得表达式及图像,当时,得或
    当时,得或
    故的解集为;的解集为
    ,解集为.
    【民间解答】(I) 如上图所示:
    (II)

    当,,解得或
    当,,解得或或
    当,,解得或 或
    综上,或或
    ,解集为.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题
    20.(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
    设均为正数,且,证明:
    (Ⅰ)若,则;
    (Ⅱ)是的充要条件.
    【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
    解析:(Ⅰ)因为,,由题设,,得.因此.
    (Ⅱ)(ⅰ)若,则.即.因为,所以,由(Ⅰ)得.
    (ⅱ)若,则,即.因为,所以,于是.因此,综上,是的充要条件.
    考点:推理证明.
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第24题
    21.(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
    已知函数.
    (Ⅰ)当时,求不等式的解集;
    (Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围
    【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
    分析:(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解;(Ⅱ)将化为分段函数,求出与轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于的不等式,即可解出的取值范围.
    解析:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,
    等价于或或,解得,
    所以不等式f(x)>1的解集为.
    (Ⅱ)由题设可得,,
    所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,所以△ABC的面积为.
    由题设得>6,解得.
    所以的取值范围为(2,+∞).
    考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
    【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
    22.(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲.
    设函数=
    (Ⅰ)证明:2;
    (Ⅱ)若,求的取值范围.
    【答案】解析:(Ⅰ),
    仅当时等号成立,所以2.
    (Ⅱ)=
    当时,=,解得
    当时,=,解得
    综上所述,的取值范围为.
    考点:(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
    难度:B
    备注:高频考点





    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
    【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
    23.(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    若,且.
    (1)求的最小值;
    (2)是否存在,使得,并说明理由.
    【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
    故,且当时等号成立,
    ∴的最小值为.
    (2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
    所以不存在,使得成立.
    考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
    难度:B
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
    【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
    24.(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数,且,证明:
    (Ⅰ);(Ⅱ)
    【答案】证明:(1)由得
    .
    由题设得,
    即.
    所以,即.
    (2)因为,
    故,
    即.
    所以.
    考点:(1)7.1.1不等式的性质;(2)7.1.3不等式性质的应用;(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
    难度:C
    备注:高频考点
    【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
    【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
    25.(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
    已知函数=,=.
    (Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
    (Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
    【答案】(1)  (2)(-1,].
    解析:当=-2时,不等式<化为,
    设函数=,=,
    其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.


    (Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
    ∴对∈[,)都成立,故,即≤,
    ∴的取值范围为(-1,].
    考点:(1)12.3.1含绝对值不等式的解法;(2)12.3.3含绝对值的恒成立问题.
    难度:B
    备注:高频考点
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