专题08 不等式-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（原卷版+解析版）

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2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题08不等式一、选择题1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第3题)已知，，，则(　　)A．B．C．D． 【答案】答案：B解析：，，，故．【题目栏目】不等式\不等式的性质及其应用\比较实数或代数式的大小【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第3题2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第12题)设，，则(　　)A． B．C． D．【答案】B解析：一方面，，所以，，所以所以即，而，所以，所以综上可知，故选B．【题目栏目】不等式\基本不等式\利用基本不等式证明简单不等式【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第12题3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)设，满足约束条件，则的最小值是(　　)A． B． C． D．【解析】解法一：常规解法根据约束条件画出可行域(图中阴影部分), 作直线，平移直线，将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，可得，即． 解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分别为﹑﹑，故，．解法三：隔板法首先 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；其次 排序按照坐标系位置排序﹑﹑；再次 看目标函数的斜率和前的系数看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；最后 画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，可得，即．【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1．约束条件的变化；2．目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型(已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数)，此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法即可．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题4．(2014高考数学课标2理科·第9题)设x,y满足约束条件，则的最大值为(　　)A．10 B．8 C．3 D．2【答案】B解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线，可得最大值为8．考点：(1)二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)求线性目标函数的最值问题。难度：B备注：常考题【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2014高考数学课标2理科·第9题5．(2014高考数学课标1理科·第9题)不等式组的解集记为．有下面四个命题:；；．其中真命题是(　　)A． B． C． D．【答案】  C 解析:作出可行域如图:设，即当直线过时，，∴，∴命题、真命题，选C． 考点:(1)二元一次不等式组表示平面区域(2)求线性目标函数的最值问题 (3)全(特)称命题真假判断(4)数形结合思想 难度:C 备注:高频考点 【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2014高考数学课标1理科·第9题6．(2013高考数学新课标2理科·第9题)已知满足约束条件若的最小值为1，则等于(　　)A． B． C．1 D．2【答案】B 解析：由得到，代入得考点：(1)7．4．1二元一次不等式(组)表示平面区域；(2)7．4．2求线性目标函数的最值问题难度： B备注：高频考点【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第9题二、多选题7．(2022新高考全国II卷·第12题)若x，y满足，则(　　)A． B．C． D．【答案】BC解析：因为(R)，由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．【题目栏目】不等式\基本不等式\基本不等式的实际应用【题目来源】2022新高考全国II卷·第12题8．(2020年新高考I卷(山东卷)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)A． B．C． D．【答案】ABD解析：对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD【题目栏目】不等式\不等式的综合问题【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第11题9．(2020新高考II卷(海南卷)·第12题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　)A． B．C． D．【答案】ABD解析：对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【题目栏目】不等式\不等式的综合问题【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第12题三、填空题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)若x，y满足约束条件则z=x+7y最大值为______________．【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：．故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．【答案】7解析：不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，，所以．故答案为：7．【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14题)若满足约束条件 则的最大值为_________．【答案】9解析：作出可行域，则直线过点时取得最大值9．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14题13．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13题)若满足约束条件，  则最大值为         ．【答案】6解析：作出不等式组对应的平面区域如图由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，最大值为，故答案为6．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13题14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14题)设满足约束条件,则的最小值为__________．【答案】 【解析】不等式组表示的可行域为如图所示 易求得 直线得在轴上的截距越大,就越小 所以,当直线过点时,取得最小值 所以取得最小值为． 【考点】线性规则 【点评】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型:转化成斜截式比较截距,要注意前系数为负时,截距越大,值越小;②分式型:其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型:其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型:转化后其几何意义是点到直线的距离． 【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14题15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若,满足约束条件,则的最小值为__________．【答案】  【解析】绘制不等式组表示的可行域, 目标函数即:,其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点 处取得最小值． 【考点】应用线性规划求最值 【点评】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大． 【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若满足约束条件 ,则的最大值为_____________.【答案】【解析】作出不等式组满足的平面区域,可知当目标函数经过点时取得最大值,即.【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第16题)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为          元．【答案】216000．【解析】设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为目标函数作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为在处取得最大值，【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性规划的简单应用【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第16题18．(2015高考数学新课标2理科·第14题)若满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．考点：线性规划．【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第14题19．(2015高考数学新课标1理科·第15题)若满足约束条件则的最大值为           ．【答案】3解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．考点：线性规划解法【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第15题