专题04 导数解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（文科，全国通用版）（解析版）

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2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题04 导数解答题
一、解答题
1．(2022年全国高考甲卷(文)·第20题)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3 (2)
【解析】
(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：




0

1



0

0

0









则的值域为，故的取值范围为．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2022年全国高考甲卷(文)·第20题
2．(2022年高考全国乙卷(文)·第20题)已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
解析：【小问1详解】
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
【小问2详解】
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由(1)得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由(1)得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2022年高考全国乙卷(文)·第20题
3．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为．
(2) (3)见解析
解析:(1)当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为．
(2)设，则，
又，设， 则，
若，则， 因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾．
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立．
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以．
当时，有，
所以在上为减函数，所以．
综上，．
(3)取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立．
所以对任意的，有，
整理得到：，
故

【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第22题
4．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故．
的定义域为，而．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为．
综上，．
(2)由(1)可得和的最小值为．
当时，考虑的解的个数、的解的个数．
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2．
当，由(1)讨论可得、仅有一个零点，
当时，由(1)讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则．
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的零点，
此时有两个不同的零点，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2022新高考全国I卷·第22题
5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
【答案】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【答案】解析：(1)函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为．
(2)因为，故，即，故，
设，由(1)可知不妨设．
因为时，，时，，
故．
先证：，
若，必成立．
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中．
设，则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立．
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，则，
先证明一个不等式：．
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立．
综上所述，．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第22题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第21题)已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a取值范围．
【答案】(1)(2)
解析：(1)，，．
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
(2)解法一：,
，且．
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立．
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)0时，讨论函数g(x)=单调性．
【答案】(1)；(2)在区间和上单调递减，没有递增区间
【解析】(1)函数的定义域为：
，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
(2)且
因此，设，
则有，
当时，，所以，单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，
所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间．
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·第20题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，求取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2)．
【解析】(1)由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增．
(2)由(1)知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数零点、方程的根的问题
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·第20题
14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科·第19题)已知．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．
【答案】【解析】：(1)，
令，得或．
若，则当，时，；当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若，则当，，时，；当，时，．
故在，上单调递增，在，上单调递减；
(2)当时，由(1)知，在上单调递减，在，上单调递增，
在区间，的最小值为，最大值为或(1)．
于是，，．
．
当时，可知单调递减，的取值范围是；
当时，单调递增，的取值范围是，．
综上，的取值范围，．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷文科·第19题
15．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题)已知函数.证明：
(1)存在唯一的极值点；
(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】解：(1)的定义域为..
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
(2)由(1)知，又，
所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题
16．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·第20题)已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若，时，，求的取值范围．
【答案】【解析】(1)设，则.当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.
(2)由题设知，可得a≤0.由(1)知，在只有一个零点，
设为，且当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.因此，a的取值范围是.
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·第20题
17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科·第21题)(12分)已知函数．
(1)求由线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
【答案】【官方解析】(1)，．
因此曲线在处的切线方程是．
(2)当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．
因此．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与不等式的证明
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷文科·第21题
18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题)(12分)已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)证明：只有一个零点．
【答案】解析：(1)当时，，．
令，解得或．
当时，；
当时，．
故在，单调递增，在单调递减．
(2)由于，所以等价于．
设，则，仅当时，所以在单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点．
又，，故有一个零点．
综上，只有一个零点．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数零点、方程的根的问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题
19．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科·第21题)(12分)已知函数．
(1)设是的极值点，求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【答案】解：(1)的定义域为，．由题设知，，所以．
从而，． 当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
(2)当时，．设，则．
当时，；当时，． 所以是的最小值点．
故当时，． 因此，当时，．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数的实际应用\利用导数研究恒能恰成立的问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅰ卷文科·第21题
20．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科·第21题)已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
(2)证明略，详见解析．
解析：(1)函数的定义域为
而
所以当时，恒成立，所以在单调递增
当时，由，由
所以在单调递增，在单调递减．
(2)由(1)知，当时，

令，，则
当时，，当时，
∴在单调递增，在单调递减
∴
∴，即
∴．
【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式
【点评】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．(2)根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与不等式的证明
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷文科·第21题
21．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第21题)(12 分)设函数．
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,求 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)在 和单调递减,
在单调递增(Ⅱ)
【试题分析:】(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号确定单调区间
(2)对分类讨论,当a≥1时,,满足条件;当时,取,当0