初中数学人教版七年级上册3.3 解一元一次方程（二）----去括号与去分母优质第2课时教学设计及反思

3.3 解一元一次方程（二）第2课时 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.3解一元一次方程（二）去括号与去分母第2课时，内容包括一元一次方程的去分母解法，归纳解一元一次方程的基本步骤，用方程模型解决实际问题.

2.内容解析

去分母是解方程、不等式时常用的基本步骤之一，是一种同解变形，通过去分母可以使分数系数方程转化为整数系数方程，从而使方程形式简化．本课是运用去分母解方程的初次尝试，其中进一步渗透化归思想．至此，在已学习过的解方程方法基础上，可以得到解一元一次方程的一般步骤1：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

去分母是在保持方程的左右两边相等的前提下，把分数系数方程转化为整数系数方程，其依据是等式性质2，即在方程两边同时乘分母的最小公倍数，再运用分配律进行化简，将方程转化为形式更简单的同解方程．

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：解含有分数系数的一元一次方程，归纳解一元一次方程的基本步骤，体会建立一元一次方程模型解决实际问题的思想方法．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）会通过去分母解一元一次方程．

（2）归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法．

（3）体会建立方程模型的思想．

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：知道去分母的依据，会正确地去分母，把分数系数方程转化为整数系数方程并求解．

达成目标（2）的标志是：通过对方程特征的研究和分析，归纳出解一元一次方程的一般步骤，进一步加强对方程解法的理解，体会其中蕴含的程序化思想．

达成目标（3）的标志是：经历审题、列含有分母的一元一次方程并求解的过程，进一步领悟方程思想．

三、教学问题诊断分析

去分母使方程的系数都化为整数，可以使解方程过程中减少分数运算，从而使计算更加方便．本节课前学生已经学习了除去分母以外的解一元一次方程的四种基本步骤，而对于含分数系数的一元一次方程的解法还是初次接触，不熟悉去分母的方法，在去分母的过程中经常出现不知应乘以几以及漏乘和对分数线的理解不全面等错误．因此，要让学生明白去分母的目的及原理，多让学生进行错例诊断，从而减少出错率．提醒学生注意分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．有些学生对解方程是逐步向“x=a”转化的实质理解仍不到位，所以教师应继续加以引导，让学生深入理解解方程的本质．

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确列出一元一次方程，正确地进行去分母并解出方程．

四、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书，这是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，它于公元前1700年左右写成，至今已有三千七百多年．草片文书中记载了许多有关数学的问题，其中有如下一道著名的求未知数的问题．

问题1：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数是多少？

师生活动：学生审题后，教师提问：

追问1：题中涉及哪些相等关系？

追问2：应怎样设未知数？如何根据相等关系列出方程？

教师展示问题，让学生思考，独立完成分析并列方程.

教师：当时的埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程．

【设计意图】由纸草书中一道有关数学的问题，引出带有分数系数的一元一次方程，进而讨论用去分母解这类方程．这样选材可以起到介绍悠久的数学文化的作用，利用方程思想解决实际问题，能再一次让学生感受方程的实用价值.

（二）合作交流，探究方法

问题2：这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？怎样解这个方程呢？

师生活动：教师出示问题，学生思考、回答，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法在黑板展示交流．

【设计意图】让学生在已有经验的基础上，努力尝试新的方法.

问题3：不同的解法各有什么特点？通过比较你认为采用什么方法比较简便？

师生活动：学生讨论之后，教师通过以下问题明确去分母的方法和依据：

追问1：怎样去分母呢？

追问2：去分母的依据是什么？

学生思考后得出结论：

（1）在方程两边同乘各分母的最小公倍数可以去分母；

（2）去分母的依据是等式的性质2.

师生共同分析解法：

方程两边同乘各分母的最小公倍数42，得

，

即：28x+21x+6x+42x=1386.

合并同类项，得97x=1386.

系数化为1，得．

【设计意图】通过对同一方程不同解法的探索过程，使学生感受去分母方法的简便，同时理解去分母的目的和依据，进而得出去分母的一般方法.

问题4：解方程：．

师生活动：教师展示问题，师生共同完成如下分析过程．

方程左边=．

注意：这里易犯的错误：方程左边=5×(3x+1)－2，应提醒学生去分母时不能漏乘．

提问：方程右边乘以 10，化简的结果是什么？

学生口答化简结果．

方程右边=(3x－2)－2(2x+3).

教师用框图展示解法的流程．

追问1：解含分数系数的一元一次方程的步骤包括哪些？

追问2：以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化的主要依据是什么？

学生思考，总结并归纳出解一元一次方程的一般步骤，教师提示补充．

【设计意图】学生再次认识去分母解一元一次方程的方法，归纳解一元一次方程的一般步骤，进一步体会化归的数学思想，在讨论过程中互相补充思维中不严密、不完善的地方，加深对去分母的认识，避免出现类似错误．

（三）典例分析

例1：解下列方程：

（1）；（2）．

解：（1）去分母(方程两边乘4)，得 2(x+1) －4 = 8+ (2 －x).

去括号，得 2x+2 －4 = 8+2 －x.

移项，得 2x+x  = 8+2 －2+4.

合并同类项，得 3x = 12.

系数化为1，得 x = 4.

（2）去分母（方程两边乘6），得 18x+3(x－1) =18－2 (2x －1).

去括号，得 18x+3x－3 =18－4x +2.

移项，得 18x+3x+4x =18 +2+3.

合并同类项，得 25x = 23.

系数化为1，得 ．

师生活动：教师提出问题，学生独立完成过程，然后分组进行交流，对错例进行展示，找出错误根源，归纳正确方法．

【设计意图】通过实践，加深对去分母解法的认识．

针对训练：

解下列方程：

（1）； 

（2）．

解：（1）去分母（方程两边乘6），得 (x－1) －2(2x+1) = 6.

去括号，得 x－1－4x－2 = 6.

移项，得 x－4x = 6+2+1.

合并同类项，得 －3x = 9.

系数化为1，得 x = －3.

（2）整理方程，得，

去分母（方程两边乘30），得 6 (4x+9) －10(3+2x) = 15(x－5).

去括号，得 24x+54－30－20x = 15x－75.

移项，得 24x－20x－15x =－75－54+30 .

合并同类项，得 －11x = －99.

系数化为1，得 x = 9.

【设计意图】进一步巩固利用去分母解方程的方法．

（四）当堂巩固

1. 方程去分母正确的是 (    C    )

     A. 3－2(5x+7) = －(x+17)      B. 12－2(5x+7) = －x+17

     C. 12－2(5x+7) = －(x+17)     D. 12－10x+14 = －(x+17)

2. 若代数式与的值互为倒数，则x=      .

3. 解下列方程：（1）；（2）．

答案：（1）；（2）．

4. 某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位．该单位参加旅游的职工有多少人？

解：设该单位参加旅游的职工有x人，由题意得方程：

，

解得x＝360.

答：该单位参加旅游的职工有360人.

5. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩六位学生正在操场踢足球．”你知道这个班有多少学生吗？

解：这个班有x名学生，依题意得

，

解得x=56.

答：这个班有56个学生.

师生活动：学生独立完成，教师巡视，教师注意收集错例进行展示，由学生分析错误原因，同时引导学生找出简便的方法．

学生完成练习之后，教师提问：

解一元一次方程的一般步骤，是否是固定不变的？

学生带着问题讨论得出：解方程要先观察方程的特点，根据不同特点，选取恰当的、简便的方法，采取灵活、合理的步骤，不能生搬硬套、机械模仿．

【设计意图】及时巩固所学知识．至此，前后呼应，体现了本章问题解决的主线．让学生理解解方程的步骤不是固定不变的，而是可以根据一元一次方程的不同形式灵活改变解题顺序的．

（五）能力提升

“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路. 上帝给予的童年占六分之一. 又过十二分之一，两颊长胡. 再过七分之一，点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.”

解：设丢番图活了x岁，据题意得

，

解得x=84.

答：丢番图活了84岁.

（六）感受中考

1．（2022•黔西南州）小明解方程的步骤如下：

解：方程两边同乘6，得3(x＋1)－1＝2(x－2)①

去括号，得3x＋3－1＝2x－2②

移项，得3x－2x＝－2－3＋1③

合并同类项，得x＝－4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【解答】解：方程两边同乘6应为：3(x＋1)－6＝2(x－2)，

所以出错的步骤为：①，

故选：A．

2. （4分）（2020•重庆A卷7/26）解一元一次方程时，去分母正确的是（   ）

A．3(x+1)=1－2x    B．2(x+1)=1－3x   C．2(x+1)=6－3x       D．3(x+1)=6－2x

【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6－2x，

故选：D．

【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．

（七）课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）去分母的依据是什么？去分母的作用是什么？

（3）用去分母解一元一次方程时应该注意什么？

（4）去分母时，方程两边所乘的数是怎样确定的？

【设计意图】复习巩固、提升总结本节课的知识，使学生学会总结反思．

（八）布置作业

P98：习题3.3：第3题.

P99：习题3.3：第7、8题.

P111：复习题3：第2、3题.

五、教学反思

在解一元一次方程时，要使学生朝着解方程的目标方向进行变形，即最终使方程变成形如x=a（已知数）的形式，而解方程的各种步骤都是针对现有方程的形式特征，为逐步接近最终目标而实施的，即在保持方程左右两边相等关系的前提之下，逐步使方程向x=a的方向变形：简单的变形——合并同类项与移项——较为复杂的变形——去括号与去分母，而复杂的变形又往往包含简单的变形，从而使“未知”逐步转化为“已知”，学生要能够理解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解方程过程中蕴涵的化归思想和程序化思想．

在学习 “去分母”解一元一次方程时，要结合解决实际问题来进行，即先列出方程，然后讨论如何解方程．而列方程是建立在分析问题的数量关系的基础上，关键是找出适当的相等关系，并将其用数学的符号语言正确表达，即建立问题的方程模型．因此通过这一节学习，学生要逐步能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列方程表示问题中的相等关系，体会数学建模思想．