奥数思维拓展-数与形规律探索问题（试题）数学六年级上册苏教版（含答案）

这是一份奥数思维拓展-数与形规律探索问题（试题）数学六年级上册苏教版（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

奥数思维拓展-数与形规律探索问题（试题）-小学数学六年级上册苏教版

一、选择题
1．过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段。
A．10 B．54 C．45 D．无数条
2．一些正六边形卡片按下图方式摆放。如果用n表示第几个图形，用y表示正六边形的个数，下面式子可以表示第几个图形与正六边形个数之间的关系的是（    ）。

A．y＝1＋2＋…＋n B．y＝l＋n C．y＝2n－1
3．如下图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点，下面可以描述蚂蚁与O点距离变化的是（    ）。

A． B．
C． D．
4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。

从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。
A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20
5．如下图所示，用白色小正方形和黑色长方形按照下面的摆法，组成不同的长方形。当摆5个黑色长方形时，四周需要摆（    ）个白色小正方形。

A．16 B．20 C．26 D．36
6．如图，按照规律拼成下列图案，第8个图形一共是由（    ）根小棒搭配的。

A．105 B．106 C．107 D．108
7．在一个平面上有68个点，一共可以连（    ）条线段。
A．68 B．2278 C．2346 D．1190
8．观察下面图形的规律，其中第1个图形由4个小正方形组成，第2个图形由7个小正方形组成，第3个图形由10个小正方形组成，……按此规律排列下去，则第n个图形由（    ）个小正方形组成。

A．4n B．2n－1 C．3n＋1 D．3n－1

二、填空题
9．按照如图所示的图形与对应数的排列规律，第6个图形对应的数是( )，第n个图形对应的数是( )。
……
1                 8                    27                     64
10．根据图和字母的规律补充图，bc的图是( )。
11．按图中的方式摆棋子，摆第5个图形需要( )枚棋子，摆第n个图形需要( )枚棋子。
①   ②   ③……
12．如下图（单位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼图形，照这样的规律地拼下去，拼出的第7个图形是( )形，拼出的第6个图形的周长是( )厘米。

13．照下图排列，请你写出第6幅图有( )个点。

14．用小棒按照如下的方式摆图形。

摆1个六边形需要( )根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，摆26个六边形需要( )根小棒。
15．如下图所示，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……照这样摆下去，摆10个正方形，需要( )根小棒；46根小棒可以摆( )个这样的正方形。

16．用直角边为1厘米的等腰直角三角形，按照如下规律拼图形：

那么，拼成的第27个图形的周长是( )厘米。

三、解答题
17．如图，直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米。

（1）请算出这个直角三角形的面积。
（2）分别绕这个直角三角形的两条直角边旋转一周，能够形成两个圆锥，请算出体积较大的那个圆锥的体积。
（3）笑笑有3厘米、4厘米、5厘米的小棒若干根，他设计了如图的拼图方案：

照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒（    ）根，第个图形需要小棒（    ）根。
18．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。

（2）根据前面的图形把表格补充完整。
图形
①
②
③
④
⑤
面积/
0.25
0.75
1.5
（  ）
（  ）
周长/cm
2
4
6
（  ）
（  ）


19．找规律，并计算。
观察下列两组等式：
第一组：；；。
第二组：；；；。
回答下列问题：
（1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）根据这个规律计算：
①；    
②若，则正整数m等于（    ）。
20．小华用吸管和图钉钉三角形图案。（如下图）

（1）请根据钉三角形图案时，三角形与图钉的数量关系填写下表。
三角形的个数
1
2
3
4
5
6
图钉的个数
3
4
5
（    ）
（    ）
（    ）
吸管的根数
3
5
7
（    ）
（    ）
（    ）

（2）照这样接着做，用23个图钉时钉成的图案中有（    ）个三角形，用了（    ）根吸管。
（3）请你写出三角形的个数与图钉个数的数量关系。
（4）你还能提出什么数学问题？请提出并解答。
21．请仔细观察图中正方形的个数与直角三角形的个数有什么关系，并把下表填写完整。
正方形个数
2
3
4
…
（    ）
…
n
直角三角形个数
4
8
（    ）
…
100
…
（    ）


参考答案：
1．C
【分析】如图：

2个点，1条线段；
3个点，3条线段，3＝3×2÷2；
4个点，6条线段，6＝4×3÷2；
5个点，10条线段，10＝5×4÷2；
……
规律：点的个数为n（n≥2），可以画的线段为：条；
据此规律，得出过10个点可以画的线段的条数。
【详解】规律：点的个数为n（n≥2），可以画的线段为：条；
n＝10时

＝

（条）
过10个点可以画45条线段。
故答案为：C
【点睛】本题是找规律的题型，通过画图发现点数与线段的规律，利用规律解答。
2．A
【分析】由图可知，第1个图形有1个正六边形；第2个图形有（1＋2）个正六边形；第3个图形有（1＋2＋3）个正六边形；第4个图形有（1＋2＋3＋4）个正六边形……那么第n个图形正六边形的个数等于前n个连续自然数的和，据此解答。
【详解】分析可知，第n个图形正六边形的个数表示为：y＝1＋2＋…＋n
故答案为：A
【点睛】找出图形与正六边形个数的变化规律是解答题目的关键。
3．A
【分析】一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小。据此判断。
【详解】A．第一段路程随着时间的增加而增加，第二段路程不变，第三段路程随着时间的增加而减小。符合蚂蚁与O点距离变化的描述；
B．图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从O点出发后，就直接原路返回来了，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述；
C．图中一开始蚂蚁就处在离O比较远的距离，显然不符合题意；
D．图中只有两段路程，第一段路程随着时间的增加而增加，而第二段路程不变，说明蚂蚁一直在半圆上运动，而没有回到O点，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述；
故答案为：A
【点睛】此题的解题关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题。
4．C
【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；
三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；
从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。
【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3
图2：正方形数是9，9＝3＋6
图3：正方形数是16，16＝6＋10
图4：正方形数是25，25＝10＋15
图5：正方形数是36，36＝15＋21
故答案为：C
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
5．C
【分析】第一个图形有1个长方形，四周有10个白色小正方形；第二个图形有2个小正方形，四周有14个白色小正方形；第三个图形有3个小正方形，四周有18个白色小正方形，可知，每增加一个长方形，四周就增加4个白色小正方形，则摆n个黑色长方形时，四周需要摆10＋4（n－1）＝6＋4n个白色小正方形。
【详解】当摆5个黑色长方形时，四周需要摆白色小正方形的个数是：
6＋4n＝6＋4×5
＝6＋20
＝26（个）
故答案为：C
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
6．D
【分析】观察图形，发现第1个图形有3根小棒；第2个图形有9根小棒；第3个图形有18根小棒……据此发现规律：第n个图形的小棒有：3×（1＋2＋3＋…＋n）根，据此找到规律并解答。
【详解】第1个图形，3根小棒，3＝3×1；
第2个图形，9根小棒，9＝3×（1＋2）；
第3个图形，18根小棒，18＝3×（1＋2＋3）；
……
第n个图形的小棒有：3×（1＋2＋3＋…＋n）＝n×（n＋1）根；
第8个图形的小棒：
×8×（8＋1）
＝×8×9
＝12×9
＝108（根）
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
7．B
【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【详解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
8．C
【分析】观察图形可知，第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；……，根据上面推理得出的规律，即可得出可得第n幅图小正方形的个数一共有多少个，据此解答。
【详解】第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；
第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；
第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；
第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；
……
第n幅图小正方形的个数一共有3×n＋1＝（3n＋1）个。
故答案为：C
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
9．     216    
【分析】观察发现，每个图形中正方体棱长的立方等于图形对应的数字，据此解答即可。
【详解】第6个图形对应的数是；
第n个图形对应的数是。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是掌握图形与数字之间的规律。
10．
【分析】根据所给图形可知：前面的字母是小图形，后面的字母是大图形；a代表小正方形、b代表大圆、c代表小圆、d代表大正方形。据此作图。
【详解】根据图和字母的规律补充图，bc的图是。
【点睛】此题考查学生对事物的简单搭配规律的掌握情况，关键是知道每个字母表示的图形。
11．     17     3n＋2
【分析】由图可知，第1个图形需要5枚棋子；第2个图形需要（5＋3）枚棋子；第3个图形需要（5＋3×2）枚棋子……每增加一个图形需要增加3枚棋子，那么第n个图形需要[5＋3×（n－1）]枚棋子，求出当n＝5时式子的值就是第5个图形需要棋子的数量，据此解答。
【详解】分析可知，第n个图形需要棋子的数量为：5＋3×（n－1）
＝5＋3n－3
＝（3n＋2）枚
当n＝5时，3n＋2＝3×5＋2＝15＋2＝17（枚）
【点睛】找出图形个数和棋子数量的变化规律是解答题目的关键。
12．     梯     20
【分析】观察数据可发现，当梯形的个数是奇数时，拼出的大图形是梯形，当梯形的个数是偶数时，拼出的大图形是平行四边形；第①个图形的周长为（1×3＋2）＝5厘米，第②个图形的周长为5＋3＝8厘米，第③个图形的周长为5＋3＋3＝11厘米，……，第n个图形的周长为5＋3（n－1）＝（3n＋2）厘米，据此解答即可。
【详解】由分析可得：拼出的第7个图形是梯形；
3×6＋2
＝18＋2
＝20（厘米）
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
13．51
【分析】观察第一幅图有1个黑点，第一幅图有5个黑点，第三幅图有12个黑点，第四幅图有22个黑点，相邻两幅图黑点之间的差是5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，它们的差都是3，据此求出第6幅图黑点的个数即可。
【详解】第5幅图黑点的个数是：10＋3＋22＝35（个）
第6幅图黑点的个数是：
10＋3＋3＋35
＝16＋35
＝51（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
14．     6     16     131
【分析】由图可知，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要（6＋5）根小棒，摆3个六边形需要（6＋5×2）根小棒……每增加一个六边形增加5根小棒，那么摆n个六边形需要[6＋5×（n－1）]根小棒，最后把六边形的个数代入含有字母的式子求出结果，据此解答。
【详解】分析可知，摆n个六边形需要小棒的数量为：6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
当n＝1时，5n＋1＝5×1＋1＝5＋1＝6（根）
当n＝3时，5n＋1＝5×3＋1＝15＋1＝16（根）
当n＝26时，5n＋1＝5×26＋1＝130＋1＝131（根）
【点睛】找出六边形的个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
15．     31     15
【分析】由题意可知，摆1个正方形需要4根小棒，每增加一个正方形增加3根小棒，那么摆n个正方形需要[4＋（n－1）×3]根小棒，求出当n＝10时式子的值，即可求出摆10个正方形需要小棒的数量，最后求出式子的值为46时n的值，据此解答。
【详解】摆n个正方形需要小棒的数量：4＋（n－1）×3
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
当n＝10时，3n＋1＝3×10＋1＝30＋1＝31（根）。
3n＋1＝46
解：3n＝46－1
3n＝45
n＝45÷3
n＝15
所以，摆10个正方形，需要31根小棒，46根小棒可以摆15个这样的正方形。
【点睛】找出正方形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
16．30
【分析】第1个图形由（1＋1）个等腰直角三角形拼成边长为1厘米的正方形；第2个图形由（2＋1）个等腰直角三角形拼成一个直角梯形；第3个图形由（3＋1）个等腰直角三角形拼成长为[（3＋1）÷2]厘米，宽为1厘米的长方形；第4个图形由（4＋1）个等腰直角三角形拼成一个直角梯形；第5个图形由（5＋1）个等腰直角三角形拼成长为[（5＋1）÷2]厘米，宽为1厘米的长方形……从第2个图形开始，第偶数个图形拼成的为直角梯形，第奇数个图形拼成的是长方形，第27个图形拼成长为[（27＋1）÷2]厘米，宽为1厘米的长方形，最后利用“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出图形的周长，据此解答。
【详解】（27＋1）÷2
＝28÷2
＝14（厘米）
（14＋1）×2
＝15×2
＝30（厘米）
所以，拼成的第27个图形的周长是30厘米。
【点睛】分析图形找出拼图变化的规律是解答题目的关键。
17．（1）6平方厘米
（2）50.24立方厘米
（3）17；
【分析】（1）直角三角形中斜边大于任意一条直角边，所以两条直角边分别是3cm、4cm，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可。
（2）由题可知，以3cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是4cm、高为3cm，以4cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是3cm、高为4cm，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据分析即可。
（3）第①个图形需要3根小棒，即（1×2＋1）根；
第②个图形需要5根小棒，即（2×2＋1）根；
第③个图形需要7根小棒，即（2×3＋1）根；
……
第⑧个图形需要（2×8＋1）根小棒，即17根；
……
所以，第a个图形需要（2a＋1）根小棒。
【详解】（1）3×4÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
答：三角形的面积是6平方厘米。
（2）以3cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××3
＝3.14×16
＝50.24（立方厘米）
以4cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××4
＝3.14×12
＝37.68（立方厘米）
50.24＞37.68
答：较大的那个圆锥的体积是50.24立方厘米。
（3）由分析可知：
第⑧个图形所需小棒：
2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
第a个图形所需小棒：（2a＋1）根。
所以，照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒17根，第个图形需要小棒（2a＋1）根。
【点睛】解决本题的关键是熟悉圆锥的特征，掌握圆锥的体积公式，分析图形找出小棒根数和图形中三角形个数的变化规律。
18．（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：

（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
19．（1）分子，和
（2）①
②19
【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积；
（2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可；
②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。
【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。
（2）①
②
＝
＝
所以6＋m＝25
m＝19
【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
20．（1）6；7；8；
9；11；13
（2）21；43
（3）设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系；吸管根数＝2×三角形个数＋1
【分析】（1）由图可知，可以看出随着三角形个数每次增加1，图钉个数也每次增加1，并且每次增加1个图钉的同时，会增如2根吸管；
（2）根据规律可知，当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）看表1，图钉与三角形的个数始终相差2，所以三角形的个数＋2＝图钉的数量；
（4）如图中表所示，可看出每次增加的吸管根数始终是三角形个数的2倍＋1，所以吸管根数＝2×三角形个数＋1。
【详解】（1）
三角形的个数
1
2
3
4
5
6
图钉的个数
3
4
5
6
7
8
吸管的根数
3
5
7
9
11
13

（2）当图钉为23个时，需要43根吸管，有21个三角形；
（3）可以设三角形的个数为n，则图钉的个数＝n＋2；
（4）提问：吸管的根数与三角形的个数间有什么关系？
吸管根数＝2×三角形个数＋1（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是根据已知找规律并进行解答。
21．由n个正方形的三角形个数＝4×（n－1）；
26；12；4（n－1）
【分析】此题通过观察与分析即可得出，每增加一个正方形就会增加4个直角三角形，于是得出与4有关的公式：n个正方形的三角形个数＝4×（n－1）。
【详解】由n个正方形的三角形个数＝4×（n－1）得：
当n＝4时，三角形个数＝4×（4－1）＝12（个）；
当4×（n－1）＝100时，n＝100÷4＋1＝26；
正方形个数
2
3
4
…
26
…
n
直角三角形个数
4
8
12
…
100
…
4（n－1）

【点睛】根据题干中已知的图形排列特点及数量关系，推理得出一般的规律是解决此类问题的关键。