上海市徐汇区南洋模范中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份上海市徐汇区南洋模范中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列根式不能与合并的是(    )A.  B.  C.  D. 下列各式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 下列说法正确的是(    )A. 的根为 B. 是的根
C. 方程的根为 D. 没有实数根在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直中，真命题的个数有(    )A.  B.  C.  D. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）当______时，在实数范围内有意义．化简：______．的倒数是______．化简：______．方程的根是______．若一元二次方程的一个根为，则、、满足______．满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在______上．一个三角形的两边长分别为和，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为______．如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为______．
 如图，已知，，，，，则______．
 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度．
 在中，，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点，连结，，则的度数为______用含的代数式表示 三、解答题（本大题共9小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分
解不等式：．本小题分
解方程：．本小题分
用配方法解方程：．本小题分
已知，，求的值．本小题分
如图，在中，
用直尺和圆规作的平分线，交边于点不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点；
如果在的条件下点是的中点，求证：．
本小题分
已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且求证：．
本小题分
如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
本小题分
如图，已知：是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且，与相交于点．
如图，如果点在边上，求证：；
如图，如果点在边的延长线上，那么的结论“”还能成立吗？请说明理由．
如果的边长为，且，请直接写出线段的长度无需写出解题过程

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，，
、、与是同类二次根式，能够进行合并．
故选B．
先把各二次根式化为最简二次根式得到，，，，，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫同类二次根式；同类二次根式可进行合并．
 2.【答案】 【解析】解：、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，被开方数不含分母，被开方数不含有能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫最简二次根式．
 3.【答案】 【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.，化简后不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
利用一元二次方程的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的定义，利用一元二次方程的定义对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、的根为，故本选项错误；
B、时，，所以是的根，故本选项错误；
C、，方程没有实数根，故本选项错误；
D、，当时，方程没有实数根；当时，方程有实数根，故本选项错误；
故选B．
A、解方程即可判断；根据一元二次方程的根的定义即可判断；利用根的判别式即可判断、．
本题考查了一元二次方程的根的根判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法以及根的定义．
 5.【答案】 【解析】解：三角形的一个外角大于任何与之不相邻的一个内角，故原命题错误，为假命题；
底边及一个底角相等的两个等腰三角形全等，故原命题错误，为假命题；
两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，正确，为真命题，
故选：．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．
本题考查了命题与定理的知识，能够熟练掌握有关的命题及定理是解答本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：延长至点，使得，

在和中，
，
≌，
，
中，，
，
．
故选：．
延长至点，使得，可证≌，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：当，即时，在实数范围内有意义．
故答案是：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 8.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
依据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：的倒数是：．
故答案为：．
先找到的倒数，然后将其分母有理化即可．
本题主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
原式．
故答案为：．
先判定出的取值范围，然后依据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查的是二次根式化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 11.【答案】或 【解析】解：，
，
或，
解得：或，
故答案为：或．
因式分解法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 12.【答案】 【解析】解：把代入中，得．
故答案为．
将代入中，即可得出、、的关系．
本题考查的是一元二次方程解的定义：能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，比较简单．
 13.【答案】线段的垂直平分线 【解析】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在是线段的垂直平分线上．
根据等腰三角形的定义，知点到、的距离应相等，再结合线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可解答．
此题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线的性质；理解是底边是正确解答本题的关键．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论．
因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．
【解答】
解：解方程可得或，
当第三边为时，则三角形的三边长为、、，满足三角形三边关系，其周长为；
当第三边为时，则三角形的三边长为、、，不满足三角形三边关系，舍去．
则此三角形的周长为．
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：，，
，
，且，，
≌
，，
．
由“”可证≌，可得，，即可求的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
在和中，，
≌；
，
，
，
故答案为：
利用全等三角形的性质得出，再利用三角形的外角得出得出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，求出是证明三角形全等的关键．
 17.【答案】 【解析】解：如图，连接，，

，，
，
平分，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
≌，
，
，
由折叠得：，
，
，
．
故答案为：．
如图，连接，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由角平分线和线段垂直平分线的性质可得，证明≌，可得答案．
此题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，证明是解本题的关键．
 18.【答案】或 【解析】解：分两种情况：
如图所示，当时，

垂直平分，
，
，
同理可得，，
，
；
如图所示，当时，

垂直平分，
，
，
同理可得，，
，
．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到，，进而得到，再根据角的和差关系进行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 20.【答案】解：．
，
，
． 【解析】根据解不等式的方法和步骤解不等式即可．
此题考查了二次根式的应用整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 21.【答案】解：原方程可变为：．
即，
解得：或． 【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，本题先把一元二次方程的右边变形为，再移项使方程的右边变形为，左边可以提取公因式即可分解因式，利用因式分解法解方程．注意：本题因式分解法解一元二次方程时先把方程右边分解因式，注意到两边有公因式是解题关键．
 22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
． 【解析】将二次项系数化为，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 23.【答案】解：，，
，，，
． 【解析】根据，的值先求出，和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 24.【答案】解：如图，射线即为所求作．

如图，过点作于，于．

平分，，，
，
是的中点，
，
在和中，
≌，
． 【解析】利用尺规作出的角平分线即可．
如图，过点作于，于证明≌，可得．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 25.【答案】证明：过点作，垂足为点，
又已知，
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
在和中

≌．
，．
已知，
．
．
又，
．
 【解析】过点作，垂足为点，由“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可知，再证明≌，由此可得，在证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线使得与在同一条直线上才好证．
 26.【答案】解：连接，，过作于，
是的中点，，
垂直平分，
，
，，
，
又，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，
解得，
． 【解析】先连接，，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，，进而判定≌，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 27.【答案】证明：在上截取，

是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在的延长线上截取，

是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
当点在线段上时，
是等边三角形，，
，
当点在射线上时，
，，
，
，
，
综上所述：的值或． 【解析】首先在上截取，由为等边三角形，易得是等边三角形，继而可证得≌，即可得；
首先在延长线上截取，由为等边三角形，易得是等边三角形，继而可证得≌，即可得；
分两种情况讨论，由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．