高中人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程教案及反思

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第二章  直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程（1课时）【教学内容】圆的一般方程的定义、代数特征、求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。【教学目标】1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化.发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合和方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。教学重点：掌握圆的一般方程的代数特征，方程表示圆的条件的推导和圆的标准方程与一般方程的互化教学难点：与圆有关的简单的轨迹方程【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）圆的一般方程的定义1．思考引入根据上一节圆的标准方程的相关知识我们知道，方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为即。一般地，圆的标准方程可以变形为（1）的形式，那么形如(1)的方程能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?【答案】例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程．所以这个方程不表示任何图形，形如的方程不一定能通过恒等变形为圆的标准方程，这表明形如的方程不一定是圆的方程。2．探究方程中的D,E,F满足什么条件时，这个方程表示圆？【答案】将方程配方，并把常数项移到右边得(1)当时，表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，只有实数解，它表示一个点（3）当时，没有实数解，它不表示任何图形；因此当时，表示一个圆，此时我们把叫做 圆的一般方程（二）圆的一般方程的代数特征1．思考圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项；只有时，才表示圆 （三）典型例题例4. 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析:将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.设所求的圆的方程为,∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D,  E , F的三元一次方程组：解这个方程组得：所以所求得圆的方程是，所求圆的圆心为（4，-3），半径.思考分析
与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什么体会?例2   △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.解: 设所求的方程是因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是即观察上面的式子，我们可以三式子两两相减，可以消去，得到关于的二元一次方程组：解得代入得到所以△ABC外接圆德标准方程是 例4也使用了待定系数法，选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解二次方程容易 .归纳总结:求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.而求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.例5  已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆 (x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB的中点, 所以 于是有因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即把（1）代入（2）得到，整理得到，这是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆。归纳总结：求解轨迹方程的一般方法小结：1.直接法:   利用几何关系，直接列式求出.2.相关点法:   利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.课堂小结：1．本节课，我们先学习了圆的一般方程的定义；2．再利用圆的标准方程和一般方程的互化学习了圆的一般方程特点；3．学会了利用直接法和相关点求与圆有关的简单的轨迹方程．