上海市闵行区梅陇中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份上海市闵行区梅陇中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试卷(含答案),共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,简答题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市闵行区梅陇中学七年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本大题共6题,每题2分,满分12分)
1.下列是单项式的是( )
A.x+1=0 B.2a C. D.+3n
2.下列各等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.150=2×3×5×5 B.2x(x+1)=2x2+2x
C.(ma+mb)÷m=a+b D.a2﹣3a+2=(a﹣2)(a﹣1)
3.多项式4xy4﹣3xy3+x2y是( )
A.三次三项式 B.四次三项式 C.五次三项式 D.四次四项式
4.在下列运算中,计算正确的是( )
A.(﹣x3y)2=x6y2 B.x3•x3=x9
C.x2+x2=x4 D.2x6÷x2=2x3
5.若多项式4x2+mxy+9y2是完全平方式,则m的值为( )
A.6或﹣6 B.12或﹣12 C.12 D.﹣12
6.设P、Q都是关于x的四次多项式,下列判断一定正确的是( )
A.P+Q是关于x的四次多项式
B.P+Q是关于x的八次多项式
C.P•Q是关于x的四次多项式
D.P•Q是关于x的八次多项式
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)
7.用代数式表示“a的平方减去b的差” .
8.计算:5ab﹣4ab= .
9.把多项式3x2y﹣6xy2+4x3y3﹣1按字母x进行降幂排列 .
10.计算:4x4÷6x= .
11.当x=﹣时,代数式x2+1的值是 .
12.计算:结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4= .
13.因式分解:x2﹣5x﹣24= .
14.若﹣3x4y3b与4x2ay9是同类项,则a+b= .
15.已知am=2,a2n=3,求am+2n= .
16.若(x+y﹣4)2+(x﹣y+7)2=0,则x2﹣y2= .
17.已知a2﹣a﹣1=0,则代数式a3﹣2a+6= .
18.已知a,b,c是三个连续的正整数,a2=33124,c2=33856,那么b2= .
三、简答题(本大题共7题,每题4分,满分28分)
19.计算:2a2b•5ab2﹣3ab•(ab)2.
20.计算:(﹣2xy)•(x2+xy﹣y2).
21.(a+b﹣c)(a﹣b+c)
22.计算:(3x2y2﹣xy2)÷xy•(3x+1).
23.因式分解:9a3b2﹣15a2b3+6a2b4.
24.因式分解:a2﹣6ab+9b2﹣16.
25.因式分解:x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y.
四、解答题(本大题共4题,每题6分,共24分)
26.先化简,再求值:[(ab+1)(ab﹣2)﹣2a2b2+2]÷(﹣ab),其中,a=,b=.
27.已知:整式A=x2+xy﹣5y2,B=x2﹣xy﹣y2,且整式C=2A﹣3B,试求出整式C,并计算当x=,y=时C的值.
28.如图,图①是一个长为2n、宽为2m的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中拼成的大正方形的面积为 ;
(2)图②中的阴影部分的面积为 ;
(3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28,阴影部分的周长为20,则图①中平均分成的每个小长方形的面积是 .
29.阅读下列材料,并解决问题.
材料:两个正整数相除时,不一定都能整除,当不能整除时,就出现了余数.被除数、除数、商和余数之间有如下的关系:被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数).类似的,关于x的多项式A(x)除以多项式B(x)时,一定存在一对多项式g(x)、r(x),使得A(x)=B(x)•g(x)+r(x),其中余式r(x)的次数小于除式B(x)的次数.
例如:多项式x2+x+5除以多项式x+2,商为x﹣1,余式数为7,即有x2+x+5=(x+2)(x﹣1)+7.
又如:多项式x2+5x+6除以多项式x+2,商为x+3,余式数为0,即有x2+5x+6=(x+2)(x+3),此时,多项式x2+5x+6能被多项式x+2整除.
问题:
(1)多项式x2+2x﹣8除以多项式x﹣2,所得的商为 .
(2)多项式x2+7x+8除以多项式x+1,所得的余式数为2,则商为 .
(3)多项式2x3+ax2+bx﹣6分别能被x﹣1和x﹣2整除,则多项式2x3+ax2+bx﹣6除以(x﹣1)(x﹣2)的商为 .
参考答案
一、选择题(本大题共6题,每题2分,满分12分)
1.下列是单项式的是( )
A.x+1=0 B.2a C. D.+3n
【分析】根据单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式进行解答即可.
解:A、x+1=0不符合单项的定义,不是单项式,不合题意;
B、2a符合单项的定义,是单项式,符合题意;
C、不符合单项的定义,不是单项式,不合题意;
D、+3n不符合单项的定义,不是单项式,不合题意;
故选:B.
【点评】此题考查的是单项式,掌握其概念是解决此题的关键.
2.下列各等式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.150=2×3×5×5 B.2x(x+1)=2x2+2x
C.(ma+mb)÷m=a+b D.a2﹣3a+2=(a﹣2)(a﹣1)
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.
解:A.150=2×3×5×5,是因数分解,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
B.2x(x+1)=2x2+2x,从左至右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
C.(ma+mb)÷m=a+b,在整式除法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;
D.a2﹣3a+2=(a﹣2)(a﹣1),从左至右的变形属于因式分解,故本选项符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解)是解此题的关键.
3.多项式4xy4﹣3xy3+x2y是( )
A.三次三项式 B.四次三项式 C.五次三项式 D.四次四项式
【分析】先确定该多项式的项数与次数,再确定此题的结果即可.
解:∵多项式4xy4﹣3xy3+x2y含有4xy4,3xy3,x2y三项,
且4xy4的次数是5,3xy3的次数是4,x2y的次数是3,
∴多项式4xy4﹣3xy3+x2y是五次三项式,
故选:C.
【点评】此题考查了多项式概念的应用能力,关键是能准确确定多项式的次数和项数.
4.在下列运算中,计算正确的是( )
A.(﹣x3y)2=x6y2 B.x3•x3=x9
C.x2+x2=x4 D.2x6÷x2=2x3
【分析】根据整式相关运算的法则逐项判断.
解:(﹣x3y)2=x6y2,故A正确,符合题意;
x3•x3=x6,故B错误,不符合题意;
x2+x2=2x2,故B错误,不符合题意;
2x6÷x2=2x4,故B错误,不符合题意;
故选:A.
【点评】本题考查整式的混合运算,解题的关键是掌握整式相关运算的法则.
5.若多项式4x2+mxy+9y2是完全平方式,则m的值为( )
A.6或﹣6 B.12或﹣12 C.12 D.﹣12
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值.
解:∵4x2+mxy+9y2是完全平方式,
∴(2x)2±2•2x•3y+(3y)2
∴mxy=±12xy,
m=±12,
故选:B.
【点评】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
6.设P、Q都是关于x的四次多项式,下列判断一定正确的是( )
A.P+Q是关于x的四次多项式
B.P+Q是关于x的八次多项式
C.P•Q是关于x的四次多项式
D.P•Q是关于x的八次多项式
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案.
解:A、若P、Q都是关于x的四次多项式,则P+Q的次数为不高于四次,故A不符合题意.
B、若P、Q都是关于x的四次多项式,则P+Q的次数为不高于四次,故B不符合题意.
C、若P、Q都是关于x的四次多项式,则P•Q的次数为八次,故C不符合题意.
D、若P、Q都是关于x的四次多项式,则P•Q是关于x的八次多项式,故D符合题意.
故选:D.
【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘法运算法则,本题属于基础题型.
二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)
7.用代数式表示“a的平方减去b的差” a2﹣b .
【分析】根据题意,可用用代数式表示出“a的平方减去b的差”.
解:“a的平方减去b的差”用代数式表示为:a2﹣b,
故答案为:a2﹣b.
【点评】本题考查列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式.
8.计算:5ab﹣4ab= ab .
【分析】根据合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,得出答案.
解:5ab﹣4ab=ab.
故答案为:ab.
【点评】此题主要考查了合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.
9.把多项式3x2y﹣6xy2+4x3y3﹣1按字母x进行降幂排列 4x3y3+3x2y﹣6xy2﹣1 .
【分析】先确定各项中x的指数,再按各项中x指数由大到小顺序排列即可.
解:把多项式3x2y﹣6xy2+4x3y3﹣1按字母x进行降幂排列为:4x3y3+3x2y﹣6xy2﹣1,
故答案为:4x3y3+3x2y﹣6xy2﹣1.
【点评】此题考查了将多项式按某字母进行降幂排列的能力,关键是能准确理解并运用以上知识.
10.计算:4x4÷6x= x3 .
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.
解:4x4÷6x=x3.
故答案为:x3.
【点评】此题主要考查了整式的除法运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
11.当x=﹣时,代数式x2+1的值是 1 .
【分析】把x=﹣代入原式计算即可.
解:当x=﹣时,原式=+1=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了代数式的求值,掌握用数值代替代数式里的字母进行计算,正确计算结果是解题关键.
12.计算:结果用幂的形式表示(a﹣b)9÷(b﹣a)4= (a﹣b)5 .
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可.
解:(a﹣b)9÷(b﹣a)4
=(a﹣b)9÷(a﹣b)4
=(a﹣b)5.
故答案为:(a﹣b)5.
【点评】本题主要考查同底数幂的除法,解答的关键是对同底数幂除法法则的掌握.
13.因式分解:x2﹣5x﹣24= (x﹣8)(x+3), .
【分析】用十字相乘法因式分解.
解:x2﹣5x﹣24=(x﹣8)(x+3),
故答案为:(x﹣8)(x+3),
【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法,熟练掌握十字相乘法分解因式的方法,根据题意可知a、b是相互独立的,利用多项式相乘法则计算,再根据对应系数相等即可求出a、b的值是解题关键.
14.若﹣3x4y3b与4x2ay9是同类项,则a+b= 5 .
【分析】根据同类项的定义可先求得a和b的值,从而求出它们的和.定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项.
解:∵﹣3x4y3b与4x2ay9是同类项,
∴2a=4,3b=9,
解得a=2,b=3,
∴a+b=2+3=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查同类项的概念,解题的关键是正确理解同类项的概念从而求出a与b的值.
15.已知am=2,a2n=3,求am+2n= 6 .
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则,进而计算得出答案.
解:∵am=2,a2n=3,
∴am+2n=am•a2n=2×3=6.
故答案为:6.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确将原式变形是解题关键.
16.若(x+y﹣4)2+(x﹣y+7)2=0,则x2﹣y2= ﹣28 .
【分析】根据偶次方的非负性得出x+y﹣4=0且x﹣y+7=0,求出x+y=4,x﹣y=﹣7,再根据平方差公式分解因式后代入,即可求出答案.
解:∵(x+y﹣4)2+(x﹣y+7)2=0,
∴x+y﹣4=0且x﹣y+7=0,
∴x+y=4,x﹣y=﹣7,
∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=4×(﹣7)=﹣28,
故答案为:﹣28.
【点评】本题考查了解二元一次方程组,偶次方的非负性等知识点,能求出x+y和x﹣y的值是解此题的关键.
17.已知a2﹣a﹣1=0,则代数式a3﹣2a+6= 7 .
【分析】根据已知条件得到a2﹣a=1,将要求的代数式化简得到a(a2+a)﹣a2﹣2a+6,两次代入求解即可.
解:∵a2﹣a﹣1=0,
∴a2﹣a=1,
a3﹣2a+6
=a3﹣a2+a2﹣2a+6
=a(a2﹣a)+a2﹣2a+6
=a+a2﹣2a+6
=a2﹣a+6,
将a2﹣a=1代入原式=1+6=7.
故答案为:7.
【点评】本题考查因式分解的应用,合理利用已知条件是关键.
18.已知a,b,c是三个连续的正整数,a2=33124,c2=33856,那么b2= 33489 .
【分析】由于a2=33124,c2=33856,则利用平方差公式得到(c+a)(c﹣a)=732,再根据a、b、c是三个连续正整数得到c﹣a=2①,于是可计算出c+a=366②,然后由①②可解得c,从而得到b的值.
解:c2﹣a2=(c+a)(c﹣a)=33856﹣33124=732,
∵a、b、c是三个连续正整数,
∴c﹣a=2,
∴c+a=366,
∴c=184,
∴b=183,
∴b2=33489.
故答案为:33489.
【点评】本题考查了因式分解的应用:利用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题.
三、简答题(本大题共7题,每题4分,满分28分)
19.计算:2a2b•5ab2﹣3ab•(ab)2.
【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则化简,进而合并同类项得出答案.
解:原式=10a3b3﹣3ab•a2b2
=10a3b3﹣3a3b3
=7a3b3.
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
20.计算:(﹣2xy)•(x2+xy﹣y2).
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可.
解:(﹣2xy)•(x2+xy﹣y2)
=﹣2xy•x2﹣2xy•xy+2xy•y2
=﹣3x3y﹣2x2y2+xy3.
【点评】本题主要考查单项式乘多项式,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
21.(a+b﹣c)(a﹣b+c)
【分析】把把(b﹣c)当成一个整体,利用两数的和与这两数的差的积,等于它们的平方差计算.
解:(a+b﹣c)(a﹣b+c)
=[a+(b﹣c)][a﹣(b﹣c)]
=a2﹣(b﹣c)2
=a2﹣b2+2bc﹣c2.
【点评】本题主要考查平方差公式,把(b﹣c)看成一个整体当作相反项是利用公式求解的关键.
22.计算:(3x2y2﹣xy2)÷xy•(3x+1).
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘多项式计算,再合并同类项得出答案.
解:原式=(3x2y2÷xy﹣xy2÷xy)•(3x+1)
=(3xy﹣y)(3x+1)
=9x2y+3xy﹣3xy﹣y
=9x2y﹣y.
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、多项式乘多项式,正确掌握相关运算法则是解题关键.
23.因式分解:9a3b2﹣15a2b3+6a2b4.
【分析】利用提公因式法分解.
解:9a3b2﹣15a2b3+6a2b4
=3a2b2(3a﹣5b+2b2).
【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握提公因式法是解决本题的关键.
24.因式分解:a2﹣6ab+9b2﹣16.
【分析】先分成两组,用完全平方公式,再用平方差公式分解因式.
解:原式=(a2﹣6ab+9b2)﹣16
=(a﹣3b)2﹣42
=(a﹣3b+4)(a﹣3b﹣4).
【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法,掌握因式分解﹣分组分解法的方法,先分组,再分解因式,完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键.
25.因式分解:x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y.
【分析】先把多项式按三、二分组,再分别因式分解,最后提取公因式.
解:x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y
=(x2+9xy+18y2)﹣(3x+9y)
=(x+3y)(x+6y)﹣3(x+3y)
=(x+3y)(x+6y﹣3).
【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键.
四、解答题(本大题共4题,每题6分,共24分)
26.先化简,再求值:[(ab+1)(ab﹣2)﹣2a2b2+2]÷(﹣ab),其中,a=,b=.
【分析】先根据多项式乘多项式进行计算,再合并同类项,算除法,最后代入求出答案即可.
解:[(ab+1)(ab﹣2)﹣2a2b2+2]÷(﹣ab)
=(a2b2﹣2ab+ab﹣2﹣2a2b2+2)÷(﹣ab)
=(﹣a2b2﹣ab)÷(﹣ab)
=2ab+2,
当a=,b=时,
原式=2××(﹣)+2
=﹣4+2
=﹣2.
【点评】本题考查了整式的化简求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.
27.已知:整式A=x2+xy﹣5y2,B=x2﹣xy﹣y2,且整式C=2A﹣3B,试求出整式C,并计算当x=,y=时C的值.
【分析】先将A=x2+xy﹣5y2,B=x2﹣xy﹣y2代入C=2A﹣3B,去括号合并同类项求出整式C,再将x=,y=代入即可求出C的值.
解:∵A=x2+xy﹣5y2,B=x2﹣xy﹣y2,
∴C=2A﹣3B
=2(x2+xy﹣5y2)﹣3(x2﹣xy﹣y2)
=x2+2xy﹣10y2﹣x2+3xy+3y2
=﹣x2+5xy﹣7y2.
当x=,y=时,
原式=﹣×()2+5××﹣7×()2
=﹣×+5××﹣7×
=﹣+﹣
=﹣.
【点评】本题考查了整式的加减,整式加减的实质就是去括号、合并同类项.去括号时,要注意两个方面:一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项;二是当括号外是“﹣”时,去括号后括号内的各项都要改变符号.也考查了代数式求值.
28.如图,图①是一个长为2n、宽为2m的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中拼成的大正方形的面积为 (m+n)2 ;
(2)图②中的阴影部分的面积为 (m﹣n)2 ;
(3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28,阴影部分的周长为20,则图①中平均分成的每个小长方形的面积是 6 .
【分析】(1)判断出正方形的边长,可得结论;
(2)利用割补法或判断出小正方形的边长,可得结论;
(3)构建方程组,求出m,n可得结论.
解:(1)图②中拼成的大正方形的面积为(m+n)2;
故答案为:(m+n)2;
(2)图②中的阴影部分的面积为(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2;
故答案为:(m﹣n)2.
(3)由题意,
解得,
∴每个小长方形的面积=6.
故答案为:6.
【点评】本题考查图形的拼剪,正方形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
29.阅读下列材料,并解决问题.
材料:两个正整数相除时,不一定都能整除,当不能整除时,就出现了余数.被除数、除数、商和余数之间有如下的关系:被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数).类似的,关于x的多项式A(x)除以多项式B(x)时,一定存在一对多项式g(x)、r(x),使得A(x)=B(x)•g(x)+r(x),其中余式r(x)的次数小于除式B(x)的次数.
例如:多项式x2+x+5除以多项式x+2,商为x﹣1,余式数为7,即有x2+x+5=(x+2)(x﹣1)+7.
又如:多项式x2+5x+6除以多项式x+2,商为x+3,余式数为0,即有x2+5x+6=(x+2)(x+3),此时,多项式x2+5x+6能被多项式x+2整除.
问题:
(1)多项式x2+2x﹣8除以多项式x﹣2,所得的商为 x+4 .
(2)多项式x2+7x+8除以多项式x+1,所得的余式数为2,则商为 x+6 .
(3)多项式2x3+ax2+bx﹣6分别能被x﹣1和x﹣2整除,则多项式2x3+ax2+bx﹣6除以(x﹣1)(x﹣2)的商为 2x﹣3 .
【分析】(1)把已知多项式分解因式即可求解;
(2)首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解;
(3)设2x3+ax2+bx﹣6=(x﹣1)(x﹣2)•A,其中A为一次多项式,然后把x=1和x=2时,代入等式可以得到关于a、b的方程组,解方程组求出a,b,最后分解因式即可求解.
解:(1)∵x2+2x﹣8=(x+4)(x﹣2),
∴多项式x2+2x﹣8除以多项式x﹣2,所得的商为x+4;
(2)∵x2+7x+8﹣2=x2+7x+6=(x+1)(x+6),
∴x2+7x+8=(x+1)(x+6)+2,
∴多项式x2+7x+8除以多项式x+1,所得的余式数为2,则商为x+6;
(3)∵多项式2x3+ax2+bx﹣6分别能被x﹣1和x﹣2整除,
∴设2x3+ax2+bx﹣6=(x﹣1)(x﹣2)•A,其中A为一次多项式,
当x=1时,2+a+b﹣6=0,
当x=2时,16+4a+2b﹣6=0,
联立解得:,
∴2x3+ax2+bx﹣6
=2x3﹣9x2+13x﹣6,
=2x3﹣5x2+3x﹣4x2+10x﹣6,
=x(2x﹣3)(x﹣1)﹣2(2x﹣3)(x﹣1)
=(2x﹣3)(x﹣1)(x﹣2),
∴多项式2x3+ax2+bx﹣6除以(x﹣1)(x﹣2)的商为2x﹣3.
故答案为:(1)x+4;(2)x+6;(3)2x﹣3.
【点评】此题主要考查了因式分解的应用,正确读懂题意是解题的关键.
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