江苏省扬州市江都区八校联谊2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市江都区八校联谊2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市江都区八校联谊八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．下面图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm
3．估计5﹣的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（　　）
A．17cm B．15cm C．13cm D．13cm或17cm
5．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
7．如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，△ABF的面积为24，则EC等于（　　）

A．3 B． C．5 D．
8．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点（　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9．9的平方根是 　 　．
10．一个正数的两个平方根为a+3和a﹣8，则这个数为 　 　．
11．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为　 　．
12．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，CF＝7，则BD＝　 　．

13．若一个直角三角形的三边长分别为x，12，13　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，AB＝7　 　．

15．如图，∠ADB＝90°，正方形ABCG和正方形AEFD的面积分别是100和36　 　．（结果保留π）

16．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝5，则△BCD的面积为 　 　．

17．已知a、b、c满足，则a+b+c的平方根为 　 　．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，E、F分别是BC、CD上的一点，EF⊥AE，连接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）解方程：
（1）4x2＝49；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
20．（8分）如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：
（1）△ADB≌△BCA；
（2）OA＝OB．

21．（8分）已知：x﹣2的平方根是±1，2x+y+7的立方根是3，求x+y的算术平方根．
22．（8分）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，使点D到BA、BC的距离相等．
（1）请你按照要求，在图上确定出点D的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝10，AB＝8，则AC＝　 　，AD＝　 　（直接写出结果）．

23．（8分）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，AD＝4m，CD＝12m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．

24．（10分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．

25．（10分）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，60，61等．
（1）请你写出另外两组勾股数：6，　 　，　 　；7，　 　，　 　；
（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
26．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），点D在线段AB上，OD．点O运动时，始终满足∠AOD＝∠B．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并说明理由；
（2）当AO的最小值为2时，此时BD＝　 　；
（3）在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形时，请直接写出此时∠BDO的度数．

27．（12分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．
（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°；
①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由；
②若BC＝3，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A＝24°，若△ABC存在“等角分割线”CD

28．（12分）几何探究：
在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），AD＝AE，∠DAE＝∠BAC

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE．
（2）如图2，若点D在线段CB的延长线上，∠BCE＝α
（3）如图3，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，求S△DCE最大值．


参考答案与试题解析
1．【解答】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形；
选项B、C、D能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
故选：A．
2．【解答】解：A、∵42+62≠68，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+42≠34，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+42≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵12+（）2＝（）7，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：∵1＜＜5，
∴﹣2＜﹣＜﹣6，
∴3＜5﹣＜4，
故选：B．
4．【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系．
②当底边是8cm，腰长是7cm时，则其周长＝3+4+7＝17cm．
故选：A．
5．【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，故本选项不符合题意；

B．AB＝4，∠A＝30°，不能画出唯一的三角形；
C．∠A＝60°，AB＝4，能画出唯一的三角形；
D．6+4＜8，不能画出三角形；
故选：C．
6．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，
∴∠CAB＝2∠CAD＝20°，∠B＝∠ACB＝．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝40°．
故选：C．
7．【解答】解：∵S△ABF＝24，
∴AB•BF＝24，即．
解得：BF＝6，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF＝＝＝10．
由翻折的性质可知：BC＝AD＝AF＝10，ED＝FE．
∴FC＝10﹣8＝4．
设DE＝x，则EC＝8﹣x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF5＝FC2+EC2，
x6＝16+（8﹣x）2．
解得：x＝4，
∴CE＝3．
故选：A．
8．【解答】解：连接AM，

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝，
∵等腰△ABC的底边BC长为3cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
9．【解答】解：∵±3的平方是9，
∴6的平方根是±3．
故答案为：±3．
10．【解答】解：由题意得，a+3+a﹣8＝3，
解得a＝，
∴a+7＝，a﹣8＝﹣，
∵（±）2＝，
∴这个数为．
故答案为：．
11．【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴120°只能是等腰三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
12．【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ACF，∠AED＝∠CEF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴AD＝CF＝7，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7＝8．
故答案为：3．
13．【解答】解：∵这个直角三角形的三边长分别为x，12，
∴①当13是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：x＝；
②当12，13是此直角三角形的直角边时．
故选：5或．
14．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．

∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC于C．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝3．
∴S△ABD＝AB•DE＝．
故答案为：10.8．
15．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°2＝100，AD2＝36，
∴BD2＝100﹣36＝64，
∴BD＝8，
∴以BD为直径的半圆的面积是＝8π．
故答案为：8π．
16．【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠HCD+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠HCD，
在△ABC和△CHD中，
，
∴△ABC≌△CHD（AAS），
∴DH＝BC＝5，
∴△BCD的面积＝×BC×DH＝．
故答案为：12.2．
17．【解答】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，
所以，b≥c且c≥b，
所以b＝c，
所以等式可变为+|a﹣b+2|＝0，
由非负数的性质，得，
解得，
所以c＝7，
a+b+c＝1+3+8＝7，
所以，a+b+c的平方根是±．
故答案为：±．
18．【解答】解：设BE＝x，则EC＝8﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝8﹣x，
如图，作AH⊥EC，

∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′，
∴EC′＝6EH，
即8﹣x＝2x，
解得x＝．
故答案为：．
19．【解答】解：（1）4x2＝49，
x2＝，
∴，
∴x1＝，x2＝﹣；

（2）（2x﹣1）6﹣25＝0，
（2x﹣2）2＝25，
∴2x﹣5＝±5，
∴x1＝5，x2＝﹣2．
20．【解答】证明：（1）在△ADB与△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABO＝∠BAO，
∴OA＝OB．
21．【解答】解：∵x﹣2的平方根是±1，
∴x﹣5＝1，解得x＝3；
∵2x+y+7的立方根是3，
∴8x+y+7＝27，
∴6+y+2＝27，解得y＝14，
∴x+y＝3+14＝17，
∴x+y的算术平方根为．
22．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．


（2）作DH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵BC＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠HBD，
∵∠A＝∠DHB＝90°，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH＝8，AD＝DH，
在Rt△CDH中，∵CD2＝DH2+CH5，
∴（6﹣x）2＝x8+22，
∴x＝，
∴AD＝，
故答案为6，．
23．【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴BD2＝AD2+AB4＝25，
则BD2+CD2＝135＝BC2，
因此∠CDB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．

24．【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
25．【解答】解：（1）勾股数分别为6，8，10；6，25．
故答案为：8，10，25．
（2）①根据法则（I），则或．
∴k＝5或（不是奇数．
∴k＝5．
∴＝13．
∴另外两个数为5、13．
②选择法则Ⅰ，证明过程如下：

＝
＝
＝
＝．
∴＝．
选择法则Ⅱ，证明过程如下：

＝
＝
＝
＝．
∴＝．
26．【解答】解：（1）结论：△AOB为直角三角形．
理由：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；

（2）当AO⊥BC时，OA的值最小，

在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2OA＝4，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠ADO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD＝OA＝1，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣1＝3．
故答案为：5；

（3）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；

③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
27．【解答】（1）证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠BAC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，
∵∠B＝30°，∠BAD＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
又∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∴△ACD是等腰三角形，
∴AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）解：①画∠BAC的角平分线，交BC于点D；如图2所示：
理由如下：
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠B，
∴∠ADC＝60°＝∠BAC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等，
∵∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD为△ABC的“等角分割线”；
②设CD＝x，
∵△ADC中，∠C＝90°，
∴AD＝2CD＝3x，
∴BD＝AD＝2x，
∵BC＝3，
∴x+3x＝3，
∴x＝1，
∴AD＝2x＝2；
（3）解：当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，
∴∠ACB＝∠BDC＝24°+24°＝48°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣48°＝108°；
当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时（180°﹣24°）＝78°，
∠BCD＝∠A＝24°，
∴∠ACB＝78°+24°＝102°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣102°＝54°；
当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时（180°﹣24°）＝52°，
当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣5x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+24°＝x，
解得，x＝68°，
∴∠B＝180°﹣3x＝44°；
综上所述，∠B的度数为108°或54°或52°或44°．

28．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）解：α＝β，理由如下：
由（1）知：△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣β）＝90°﹣β，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°+β，
∴∠ACE＝∠ACB+α＝90°﹣β+α，
∵∠ACE＝∠ABD＝90°+β，
∴90°﹣β+α＝90°+β，
∴α＝β；

（3）解：如图5，过点A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BH＝AH＝HC＝BC＝4，
同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴S△AEC＝S△ABD，
∴S△AEC+S△ADC＝S△ABD+S△ADC，即S四边形ADCE＝S△ABC＝×8×4＝16，
∴S△DCE＝S四边形ADCE﹣S△ADE，
当S△ADE最小时，S△DCE最大，
当AD⊥BC时，AD最小，
∴S△ADE最小值是×4×4＝7，
∴S△DCE最大＝16﹣8＝8