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2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷，共25页。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
3．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200（1+x）2＝1000
C．200（1+x）3＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
6．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
8．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（ ）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于 ．
14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝ ．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．
18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；
（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；
（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM＝CB，作出点M关于直线AC的对称点M1．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．
（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；
（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．
（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝ ；
（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；
（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝ ，xB＝ ，xM＝ ；
（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F，⊙E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．
①求定点G的坐标；
②点G关于原点的对称点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是 ．（直接写出结果）
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：点（﹣9，2）关于原点对称的点坐标是（9，﹣2），
故选：B．
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200（1+x）2＝1000
C．200（1+x）3＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×（1+增长率）＝三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，
为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向左平移4个单位可得到抛物线y＝（x+4）2，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x+4）2向下平移3个单位可得到抛物线y＝（x+4）2﹣3，
故选：B．
7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
【分析】当方程无实数根时，由判别式小于0可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0无实数解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＜0，
∴a＜﹣1，
故选：B．
8．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由A可确定a＞0，又b＞0，所以得到﹣＜0，这与图象矛盾，因此可以判断A错误；
由B可确定a＜0，又b＞0，所以得到﹣＞0，这与图象矛盾，所以可以判断B错误；
由c＞0可以推出与y轴相交于正半轴，于是可以判断C答案错误；
由D可得到a＜0，又b＞0，所以﹣＞0，因此可以判断D正确．
【解答】解：A、根据图象可知，a＞0，又b＞0，∴﹣＜0，而这与图象矛盾；
B、根据图象可知，a＜0，又b＞0，∴﹣＞0，而这与图象矛盾；
C、∵c＞0，∴与y轴相交于正半轴，这与已知图象矛盾；
D、根据图象可知，a＜0，又b＞0，所以﹣＞0，符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（ ）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为r米，连接OA．根据垂径定理得AD＝6（米），再由勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是r米，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝6（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，
解得：r＝6.5，
即该拱桥的半径为6.5米，
故选：D．
10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
【分析】先利用一元二次方程的解的定义和降次的方法得到m2＝2m+1，n2＝2n+1，n3＝5n+2，则原式可化简为﹣（m+n）+1，接着利用根与系数的关系得到m+n＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴n3＝n（2n+1）＝2n2+n＝2（2n+1）+n＝5n+2，
∴原式＝﹣（5n+2）+2（2n+1）+2（2m+1）﹣5m﹣1
＝﹣5n﹣2+4n+2+4m+2﹣5m﹣1
＝﹣（m+n）+1，
根据根与系数的关系得m+n＝2，
∴原式＝﹣2+1
＝﹣1．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣1 ．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2t＝﹣2，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，
所以方程的另一个根是﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝ 40°或140° ．
【分析】讨论：当P点在AB所对的优弧上，如图，利用圆周角定理可求出∠P；当P′点在AB所对的劣弧上，如图，利用圆内接四边形的性质可求出∠P′．
【解答】解：当P点在AB所对的优弧上，如图，∠P＝∠AOB＝×80°＝40°；
当P′点在AB所对的劣弧上，如图，∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，∠APB的度数为40°或140°．
故答案为40°或140°．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于 6 ．
【分析】由等腰直角三角形的性质得到∠ACB＝45°，∠A＝90°，根据旋转的性质得到∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，求得∠MCB＝30°，得到DM＝CM＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，
∴∠ACB＝45°，∠A＝90°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，
∴∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，
∴∠MCB＝30°，
∴DM＝CM＝2，
∴阴影面积＝＝6，
故答案为：6．
14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝ （x﹣1）（x+3） ．
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，利用交点式写出抛物线解析式，从而可得到x2+mx+n的分解后的两个因式．
【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），
∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．
故答案为（x﹣1）（x+3）．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有 ③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∴2a+b+c＝c，
而c与ax2+bx+c大小不一定，
故②不正确；
∵M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），
把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝0，
解得，c＝﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2，
又∵x＝0与x＝2时，关于直线x＝1轴对称
当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为：③④．
16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为 2 ．
【分析】过点O作OP⊥OM，交AB的延长线于点P，证明△OAM≌△OBP（ASA），由全等三角形的性质得出OM＝OP，AM＝BP＝2，∠AOM＝∠POB，证明△MON≌△PON（SAS），由全等三角形的性质得出MN＝PN，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点O作OP⊥OM，交AB的延长线于点P，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠MAP＝90°，
∴∠OAM＝∠OBP＝135°，
∵∠AOB＝∠MOP＝90°，
∴∠AOM＝∠BOP，
在△OAM和△OBP中，
，
∴△OAM≌△OBP（ASA），
∴OM＝OP，AM＝BP＝2，∠AOM＝∠POB，
∵∠MON＝45°，
∴∠MON＝∠PON＝45°，
在△MON和△PON中，
，
∴△MON≌△PON（SAS），
∴MN＝PN＝＝＝2．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据公式法求解即可．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x1＝，x2＝．
18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
【分析】连OC，由C是的中点，∠AOB＝l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【解答】证明：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，
由题意得，（13﹣x）（7﹣x）＝55．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；
（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；
（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM＝CB，作出点M关于直线AC的对称点M1．
【分析】（1）连接CM，BN交于点E，连接AE交圆于点D即可；
（2）连接AD，BC交于点E，连接AC，BD并延长交于点F，连接EF交AB于点O即可；
（3）连接BM，AM交圆于点D，连接DB并延长交MC延长线于点M1 即可．
【解答】解：（1）如图（1），直径AD即为所求；
（2）如图（2），圆心O即为所求；
（3）如图（3），点M1即为所求．
证明：∵CM⊥AC，CM＝CB，
∴∠BMC＝30°，
∴BM＝2BC，
∵AB＝2BC，
∴AB＝BM，
∴∠BAM＝∠BMA＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB＝BC，
∴DM＝MC，
∴MM1＝2DM＝2MC．
∴点M关于直线AC的对称点是点M1．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）证明HF＝DH即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABE＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．
（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；
（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
【分析】（1）设A，B两种型号器械每台进价分别为a、b万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系以及7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同得出x﹣y＝25和2（y﹣50）＝x﹣60，联立方程组，解方程组即可求出x，从而得出结论；
（3）根据总利润w＝wA+wB列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A，B两种型号器械每台进价分别为a、b万元，
由题意，得，
解得；，
∴A种型号器械每台进价60万元，B种型号器械每台进价50万元；
（2）由题知，nA：nB＝1：2，
即＝，
整理得：x﹣y＝25①，
7月份A型号器械利润为：wA＝nA•（x﹣60），
7月份B型号器械利润为：wB＝nB•（x﹣50），
∵wA＝wB，
∴2（y﹣50）＝x﹣60②，
联立①②得：，
解得：，
nA＝﹣x+100＝﹣90+100＝10，
∴7月份A型器械的销售数量为10台；
（3）总利润w＝wA+wB＝（x﹣60）nA+（y﹣50）nB
＝（﹣x+100）[x﹣60+2（y﹣50）]
＝（﹣x+100）（3x﹣210）
＝﹣3x2+510x﹣21000
＝﹣3（x﹣85）2+675，
∵﹣3＜0，
∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，
∴该店每月销售这两种器械能获得的最大利润为675万元．
23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．
（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝ 67.5° ；
（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；
（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得；
（2）利用平角的定义证明A1、M、C在同一直线上，再根据直角三角形的性质可证明结论；
（3）延长BE至F，使EF＝BE，连接A1F，D1F，利用SAS证明△AEB≌△A1EF，得AB＝A1F＝BC，∠BAE＝∠EA1F，再运用多边形的内角和定理证明∠FA1D1＝∠BCD1，利用SAS证明△BCD1≌△FA1D1，得D1F＝BD1，∠BD1C＝∠FD1A1，从而∠BD1F＝∠A1D1C＝90°，再通过等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝A1C，∠ACA1＝45°，
∴∠AA1C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
故答案为：67.5°；
（2）如图，∵将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置，
∴∠BAA1＝∠AA1M，
∴AB∥A1M，
∵∠A1AC＝∠BAC＝45°，
∴A1C∥AB，
∴A1、M、C在同一直线上，
∵BE＝EM，
∵∠BCA1＝90°，
∴CE＝BE＝EM；
（3）△BED1为等腰直角三角形，理由如下：
延长BE至F，使EF＝BE，连接A1F，D1F，
∵AE＝A1E，∠AEB＝∠A1EF，BE＝EF，
∴△AEB≌△A1EF（SAS），
∴AB＝A1F＝BC，∠BAE＝∠EA1F，
∵∠BAE+∠EA1D1+∠A1D1C+∠BCD1+∠ABC＝540°，∠ABC＝A1D1C＝90°，
∴∠BAE+∠EA1D1+∠BCD1＝360°，
∵∠EA1F+∠EA1D1+∠FA1D1＝360°，
∴∠FA1D1＝∠BCD1，
∵BC＝A1F，CD1＝A1D1，
∴△BCD1≌△FA1D1（SAS），
∴D1F＝BD1，∠BD1C＝∠FD1A1，
∴∠BD1F＝∠A1D1C＝90°，
∴△BD1F为等腰直角三角形，
∵BE＝EF，
∴BE＝D1E，BE⊥D1E，
∴△BED1为等腰直角三角形．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝ ﹣3﹣2 ，xB＝ ﹣3+2 ，xM＝ 4 ；
（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F，⊙E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．
①求定点G的坐标；
②点G关于原点的对称点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是 5 ．（直接写出结果）
【分析】（1）在y＝x﹣4中，令y＝0，可求得M（4，0），解方程﹣x2﹣＝x﹣4，可求得点A、B的横坐标；
（2）由题意可得：x2+6kx+9﹣24k＝0，运用根与系数关系得：xA+xB＝﹣6k，xA•xB＝9﹣24k，进而可得M（4，0），再由MP•MQ＝（4﹣xP）•（4﹣xQ）＝16﹣4（xA+xB）+xA•xB＝16+24k+9﹣24k＝25，即可得出MP•MQ的值为定值；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2﹣），G（0，y），过点E作EH⊥y轴于点H，G′与G关于原点对称，连接EG、G′H，根据EG＝EF，建立方程即可得出答案；
②当MG′⊥直线l时，点G1到直线y＝kx﹣4k距离最大，利用勾股定理可得MG′＝＝＝5．
【解答】解：（1）当k＝1时，y＝x﹣4，
令y＝0，得x﹣4＝0，
解得：x＝4，
∴M（4，0），
由题意得：﹣x2﹣＝x﹣4，
解得：x1＝﹣3﹣2，x2＝﹣3+2，
∴A（﹣3﹣2，﹣7﹣2），B（﹣3+2，﹣7+2），
故答案为：﹣3﹣2，﹣3+2，4；
（2）MP•MQ的值不变．
由，
得：﹣x2﹣＝kx﹣4k，
整理得：x2+6kx+9﹣24k＝0，
∴xA+xB＝﹣6k，xA•xB＝9﹣24k，
∵AP⊥x轴，BQ⊥x轴，
∴xP＝xA，xQ＝xB，
在y＝kx﹣4k中，令y＝0，得x＝4，
∴M（4，0），
∴MP•MQ＝（4﹣xP）•（4﹣xQ）＝16﹣4（xA+xB）+xA•xB＝16+24k+9﹣24k＝25；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2﹣），G（0，y），
过点E作EH⊥y轴于点H，G′与G关于原点对称，连接EG、G′H，
则EH＝OF＝|t|，EG＝EF＝|﹣t2﹣|＝t2+，
∵EG＝EF，
∴（t﹣0）2+（﹣t2﹣﹣y）2＝（t2+）2，
整理得：（y+3）（y+t2）＝0，
解得：y1＝﹣3，y2＝﹣t2，
∵点G是一个定点，
∴G（0，﹣3）；
②∵G′与G关于原点对称，
∴G′（0，3），
∴OG′＝3，
在Rt△MOG′中，MG′＝＝＝5，
∴当MG′⊥直线l时，点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是5，
故答案为：5．
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
3．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200（1+x）2＝1000
C．200（1+x）3＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
6．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
8．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（ ）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于 ．
14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝ ．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．
18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；
（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；
（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM＝CB，作出点M关于直线AC的对称点M1．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．
（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；
（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．
（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝ ；
（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；
（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝ ，xB＝ ，xM＝ ；
（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F，⊙E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．
①求定点G的坐标；
②点G关于原点的对称点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是 ．（直接写出结果）
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：点（﹣9，2）关于原点对称的点坐标是（9，﹣2），
故选：B．
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200（1+x）2＝1000
C．200（1+x）3＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×（1+增长率）＝三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，
为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向左平移4个单位可得到抛物线y＝（x+4）2，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x+4）2向下平移3个单位可得到抛物线y＝（x+4）2﹣3，
故选：B．
7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
【分析】当方程无实数根时，由判别式小于0可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0无实数解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＜0，
∴a＜﹣1，
故选：B．
8．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由A可确定a＞0，又b＞0，所以得到﹣＜0，这与图象矛盾，因此可以判断A错误；
由B可确定a＜0，又b＞0，所以得到﹣＞0，这与图象矛盾，所以可以判断B错误；
由c＞0可以推出与y轴相交于正半轴，于是可以判断C答案错误；
由D可得到a＜0，又b＞0，所以﹣＞0，因此可以判断D正确．
【解答】解：A、根据图象可知，a＞0，又b＞0，∴﹣＜0，而这与图象矛盾；
B、根据图象可知，a＜0，又b＞0，∴﹣＞0，而这与图象矛盾；
C、∵c＞0，∴与y轴相交于正半轴，这与已知图象矛盾；
D、根据图象可知，a＜0，又b＞0，所以﹣＞0，符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（ ）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为r米，连接OA．根据垂径定理得AD＝6（米），再由勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是r米，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝6（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，
解得：r＝6.5，
即该拱桥的半径为6.5米，
故选：D．
10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1
【分析】先利用一元二次方程的解的定义和降次的方法得到m2＝2m+1，n2＝2n+1，n3＝5n+2，则原式可化简为﹣（m+n）+1，接着利用根与系数的关系得到m+n＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴n3＝n（2n+1）＝2n2+n＝2（2n+1）+n＝5n+2，
∴原式＝﹣（5n+2）+2（2n+1）+2（2m+1）﹣5m﹣1
＝﹣5n﹣2+4n+2+4m+2﹣5m﹣1
＝﹣（m+n）+1，
根据根与系数的关系得m+n＝2，
∴原式＝﹣2+1
＝﹣1．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣1 ．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2t＝﹣2，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，
所以方程的另一个根是﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝ 40°或140° ．
【分析】讨论：当P点在AB所对的优弧上，如图，利用圆周角定理可求出∠P；当P′点在AB所对的劣弧上，如图，利用圆内接四边形的性质可求出∠P′．
【解答】解：当P点在AB所对的优弧上，如图，∠P＝∠AOB＝×80°＝40°；
当P′点在AB所对的劣弧上，如图，∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，∠APB的度数为40°或140°．
故答案为40°或140°．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于 6 ．
【分析】由等腰直角三角形的性质得到∠ACB＝45°，∠A＝90°，根据旋转的性质得到∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，求得∠MCB＝30°，得到DM＝CM＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，
∴∠ACB＝45°，∠A＝90°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，
∴∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，
∴∠MCB＝30°，
∴DM＝CM＝2，
∴阴影面积＝＝6，
故答案为：6．
14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝ （x﹣1）（x+3） ．
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，利用交点式写出抛物线解析式，从而可得到x2+mx+n的分解后的两个因式．
【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），
∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．
故答案为（x﹣1）（x+3）．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有 ③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∴2a+b+c＝c，
而c与ax2+bx+c大小不一定，
故②不正确；
∵M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），
把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝0，
解得，c＝﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2，
又∵x＝0与x＝2时，关于直线x＝1轴对称
当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为：③④．
16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为 2 ．
【分析】过点O作OP⊥OM，交AB的延长线于点P，证明△OAM≌△OBP（ASA），由全等三角形的性质得出OM＝OP，AM＝BP＝2，∠AOM＝∠POB，证明△MON≌△PON（SAS），由全等三角形的性质得出MN＝PN，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点O作OP⊥OM，交AB的延长线于点P，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠MAP＝90°，
∴∠OAM＝∠OBP＝135°，
∵∠AOB＝∠MOP＝90°，
∴∠AOM＝∠BOP，
在△OAM和△OBP中，
，
∴△OAM≌△OBP（ASA），
∴OM＝OP，AM＝BP＝2，∠AOM＝∠POB，
∵∠MON＝45°，
∴∠MON＝∠PON＝45°，
在△MON和△PON中，
，
∴△MON≌△PON（SAS），
∴MN＝PN＝＝＝2．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据公式法求解即可．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x1＝，x2＝．
18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
【分析】连OC，由C是的中点，∠AOB＝l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【解答】证明：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，
由题意得，（13﹣x）（7﹣x）＝55．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；
（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；
（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM＝CB，作出点M关于直线AC的对称点M1．
【分析】（1）连接CM，BN交于点E，连接AE交圆于点D即可；
（2）连接AD，BC交于点E，连接AC，BD并延长交于点F，连接EF交AB于点O即可；
（3）连接BM，AM交圆于点D，连接DB并延长交MC延长线于点M1 即可．
【解答】解：（1）如图（1），直径AD即为所求；
（2）如图（2），圆心O即为所求；
（3）如图（3），点M1即为所求．
证明：∵CM⊥AC，CM＝CB，
∴∠BMC＝30°，
∴BM＝2BC，
∵AB＝2BC，
∴AB＝BM，
∴∠BAM＝∠BMA＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB＝BC，
∴DM＝MC，
∴MM1＝2DM＝2MC．
∴点M关于直线AC的对称点是点M1．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH与AB相交于点F．
（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）证明HF＝DH即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABE＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．
（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；
（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；
（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．
【分析】（1）设A，B两种型号器械每台进价分别为a、b万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系以及7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同得出x﹣y＝25和2（y﹣50）＝x﹣60，联立方程组，解方程组即可求出x，从而得出结论；
（3）根据总利润w＝wA+wB列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A，B两种型号器械每台进价分别为a、b万元，
由题意，得，
解得；，
∴A种型号器械每台进价60万元，B种型号器械每台进价50万元；
（2）由题知，nA：nB＝1：2，
即＝，
整理得：x﹣y＝25①，
7月份A型号器械利润为：wA＝nA•（x﹣60），
7月份B型号器械利润为：wB＝nB•（x﹣50），
∵wA＝wB，
∴2（y﹣50）＝x﹣60②，
联立①②得：，
解得：，
nA＝﹣x+100＝﹣90+100＝10，
∴7月份A型器械的销售数量为10台；
（3）总利润w＝wA+wB＝（x﹣60）nA+（y﹣50）nB
＝（﹣x+100）[x﹣60+2（y﹣50）]
＝（﹣x+100）（3x﹣210）
＝﹣3x2+510x﹣21000
＝﹣3（x﹣85）2+675，
∵﹣3＜0，
∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，
∴该店每月销售这两种器械能获得的最大利润为675万元．
23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．
（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝ 67.5° ；
（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；
（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得；
（2）利用平角的定义证明A1、M、C在同一直线上，再根据直角三角形的性质可证明结论；
（3）延长BE至F，使EF＝BE，连接A1F，D1F，利用SAS证明△AEB≌△A1EF，得AB＝A1F＝BC，∠BAE＝∠EA1F，再运用多边形的内角和定理证明∠FA1D1＝∠BCD1，利用SAS证明△BCD1≌△FA1D1，得D1F＝BD1，∠BD1C＝∠FD1A1，从而∠BD1F＝∠A1D1C＝90°，再通过等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝A1C，∠ACA1＝45°，
∴∠AA1C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
故答案为：67.5°；
（2）如图，∵将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置，
∴∠BAA1＝∠AA1M，
∴AB∥A1M，
∵∠A1AC＝∠BAC＝45°，
∴A1C∥AB，
∴A1、M、C在同一直线上，
∵BE＝EM，
∵∠BCA1＝90°，
∴CE＝BE＝EM；
（3）△BED1为等腰直角三角形，理由如下：
延长BE至F，使EF＝BE，连接A1F，D1F，
∵AE＝A1E，∠AEB＝∠A1EF，BE＝EF，
∴△AEB≌△A1EF（SAS），
∴AB＝A1F＝BC，∠BAE＝∠EA1F，
∵∠BAE+∠EA1D1+∠A1D1C+∠BCD1+∠ABC＝540°，∠ABC＝A1D1C＝90°，
∴∠BAE+∠EA1D1+∠BCD1＝360°，
∵∠EA1F+∠EA1D1+∠FA1D1＝360°，
∴∠FA1D1＝∠BCD1，
∵BC＝A1F，CD1＝A1D1，
∴△BCD1≌△FA1D1（SAS），
∴D1F＝BD1，∠BD1C＝∠FD1A1，
∴∠BD1F＝∠A1D1C＝90°，
∴△BD1F为等腰直角三角形，
∵BE＝EF，
∴BE＝D1E，BE⊥D1E，
∴△BED1为等腰直角三角形．
24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝ ﹣3﹣2 ，xB＝ ﹣3+2 ，xM＝ 4 ；
（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；
（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F，⊙E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．
①求定点G的坐标；
②点G关于原点的对称点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是 5 ．（直接写出结果）
【分析】（1）在y＝x﹣4中，令y＝0，可求得M（4，0），解方程﹣x2﹣＝x﹣4，可求得点A、B的横坐标；
（2）由题意可得：x2+6kx+9﹣24k＝0，运用根与系数关系得：xA+xB＝﹣6k，xA•xB＝9﹣24k，进而可得M（4，0），再由MP•MQ＝（4﹣xP）•（4﹣xQ）＝16﹣4（xA+xB）+xA•xB＝16+24k+9﹣24k＝25，即可得出MP•MQ的值为定值；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2﹣），G（0，y），过点E作EH⊥y轴于点H，G′与G关于原点对称，连接EG、G′H，根据EG＝EF，建立方程即可得出答案；
②当MG′⊥直线l时，点G1到直线y＝kx﹣4k距离最大，利用勾股定理可得MG′＝＝＝5．
【解答】解：（1）当k＝1时，y＝x﹣4，
令y＝0，得x﹣4＝0，
解得：x＝4，
∴M（4，0），
由题意得：﹣x2﹣＝x﹣4，
解得：x1＝﹣3﹣2，x2＝﹣3+2，
∴A（﹣3﹣2，﹣7﹣2），B（﹣3+2，﹣7+2），
故答案为：﹣3﹣2，﹣3+2，4；
（2）MP•MQ的值不变．
由，
得：﹣x2﹣＝kx﹣4k，
整理得：x2+6kx+9﹣24k＝0，
∴xA+xB＝﹣6k，xA•xB＝9﹣24k，
∵AP⊥x轴，BQ⊥x轴，
∴xP＝xA，xQ＝xB，
在y＝kx﹣4k中，令y＝0，得x＝4，
∴M（4，0），
∴MP•MQ＝（4﹣xP）•（4﹣xQ）＝16﹣4（xA+xB）+xA•xB＝16+24k+9﹣24k＝25；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2﹣），G（0，y），
过点E作EH⊥y轴于点H，G′与G关于原点对称，连接EG、G′H，
则EH＝OF＝|t|，EG＝EF＝|﹣t2﹣|＝t2+，
∵EG＝EF，
∴（t﹣0）2+（﹣t2﹣﹣y）2＝（t2+）2，
整理得：（y+3）（y+t2）＝0，
解得：y1＝﹣3，y2＝﹣t2，
∵点G是一个定点，
∴G（0，﹣3）；
②∵G′与G关于原点对称，
∴G′（0，3），
∴OG′＝3，
在Rt△MOG′中，MG′＝＝＝5，
∴当MG′⊥直线l时，点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是5，
故答案为：5．
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