2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷，共21页。

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）下列四幅图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）2021年5月7日IBM公司宣布推出全球首个2nm芯片，其中1nm＝0.000000001m，将2nm用科学记数法可表示为（　　）
A．2×10﹣10m B．2×10﹣9m C．2×1010m D．2×109m
4．（3分）若分式x-1x-2有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＝2 C．x≠2 D．x＞2
5．（3分）分式13x2y2，14xy2的最简公分母是（　　）
A．12x2y2 B．12x3y4 C．xy D．xy2
6．（3分）下列因式分解最后结果正确的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．6x﹣9﹣x2＝（x﹣3）2
7．（3分）下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　）
A．a-ba+b=b-ab+a B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
8．（3分）某同学借了一本书，共140页，要在一周内读完．当他读了这本书的半时，发现平均每天要多读21页才能刚好在借期内读完，他读这本书的前一半时，平均每天读多少页？设他读这本书的前一半时，平均每天读x页，则下列方程中正确的是（　　）
A．70x+70x-21=7 B．70x+70x+21=7
C．140x+140x-21=7 D．140x+140x+21=7
9．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是（　　）

A．3 B．3 C．1.5 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
11．（3分）计算：（a2）3＝　 　，（3a）2＝　 　，3﹣2＝　 　．
12．（3分）若分式x2-1x+1的值为0，则x＝　 　．
13．（3分）一个等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数是 　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝5，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若△DEC的周长为7，则AC的长为 　 　．

15．（3分）如果关于x的方程axx-1+11-x=2无解，则a的值为　 　．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，点F、D分别在
AB、BC上（点F、D与点A、B、C都不重合），OF⊥OD、OE⊥AD交AB于E，下列结论：①BD＝BE；②AF＝BD；③点E是BF的中点；④CDEF的值为定值．
其中正确的结论是 　 　（填写序号）．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
17．（8分）计算：
（1）3a（5a﹣2）；
（2）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣9；
（2）ax2+2a2x+a3．
19．（8分）先化简：（1-3x+2）÷x2-2x+1x2-4，再取一个适当的x值代入求值．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，作△ABC的中线AD；
（2）如图2，作△ABC的高线CE；
（3）如图3，点F是AC与网格线的交点，请在BC上作一点H，使FH∥AB；
（4）如图4，直线a和直线b在网格线上，点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a上作一点M，直线b上作一点N，使AM+MN+NH的值最小．

21．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．

22．（10分）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．
方法1 　 　，方法2 　 　；
【问题应用】（2）若a+b＝6，a2﹣24＝b2，求a和b的值；
【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为am（a＞b＞0）的正方形去掉一个边长为bm的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为（a﹣b）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．

①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
②若b＝1，高的单位面积产量比低的单位面积产量多40(a-b)2kg，求a的值．

23．（10分）已知：△ABC中，AB＝AC，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，过B，C两点分别向直线l作垂线BD、CE，垂足为点D、E，证明：DE＝BD+CE；
（2）如图2．若∠BAC＝60°，∠BDA＝∠AEC＝60°，请写出BD、CE、DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC＝90°，BF的垂直平分线DE经过点A并交FC于点E，且AD=2AE，请直接写出S△ABDS△AEC的值．


24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（m，0），（0，n），其中n＞m＞0．
（1）如图1，点E（a，a）在线段AB上，若n＝2m，
①请直接写出点E的坐标（用含m的式子表示）；
②过点E作EC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，求BCOC的值；
（2）如图2，CB⊥AB，且CB＝AB，点D是x轴上一动点，点E是线段AD的中点，连接BE，若点F在第二象限，满足FE⊥BE，且FE＝BE，连接BF，CF，CD，随着点D在x轴上运动，判断∠DCF的度数是否为定值，若为定值，求其值；若不为定值，请说明理由．


2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）下列四幅图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．（3分）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【解答】解：点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n）
所以点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（1，2）
故选：D．
3．（3分）2021年5月7日IBM公司宣布推出全球首个2nm芯片，其中1nm＝0.000000001m，将2nm用科学记数法可表示为（　　）
A．2×10﹣10m B．2×10﹣9m C．2×1010m D．2×109m
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴2nm＝0.000000002m＝2×10﹣9m，
故选：B．
4．（3分）若分式x-1x-2有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＝2 C．x≠2 D．x＞2
【解答】解：根据题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：C．
5．（3分）分式13x2y2，14xy2的最简公分母是（　　）
A．12x2y2 B．12x3y4 C．xy D．xy2
【解答】解：分式13x2y2，14xy2的最简公分母是12x2y2．
故选：A．
6．（3分）下列因式分解最后结果正确的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．6x﹣9﹣x2＝（x﹣3）2
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）≠（x﹣1）（x+3），故选项A分解不正确；
x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故选项B分解正确；
由于x2﹣1仍能因式分解，故选项C分解不正确；
6x﹣9﹣x2＝﹣（x﹣3）2≠（x﹣3）2，故选项D分解不正确．
故选：B．
7．（3分）下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　）
A．a-ba+b=b-ab+a B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
【解答】解：A：a-ba+b=-b-ab+a，∴不符合题意；
B：22a+b，∴不符合题意；
C：abab-b2=abb(a-b)=aa-b，∴符合题意；
D：a-a+b=-aa-b，∴不符合题意；
故选：C．
8．（3分）某同学借了一本书，共140页，要在一周内读完．当他读了这本书的半时，发现平均每天要多读21页才能刚好在借期内读完，他读这本书的前一半时，平均每天读多少页？设他读这本书的前一半时，平均每天读x页，则下列方程中正确的是（　　）
A．70x+70x-21=7 B．70x+70x+21=7
C．140x+140x-21=7 D．140x+140x+21=7
【解答】解：设读前一半时平均每天读x页，则读后一半时每天读（x+21）页，
依题意，得：70x+70x+21=7，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，

∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，
∴IH＝IM＝IN，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×8×6=24，
∵S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，
∴24=12×AB×IM+12×BC×IN+12×AC×IH，
∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，
∴24=12×8×IH+12×6×IH+12×10×IH，
∴IH＝2，
故选：A．
10．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是（　　）

A．3 B．3 C．1.5 D．1
【解答】解：如图，连接BF，

∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6，
∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，
∴CE＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当DF⊥BF时，DF有最小值，
此时，∵DF⊥BF，∠CBF＝30°，
∴DF=12BD＝1.5，
∴线段DF长度的最小值是1.5，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
11．（3分）计算：（a2）3＝　a6　，（3a）2＝　9a2　，3﹣2＝　19　．
【解答】解：（a2）3＝a6，（3a）2＝9a2，3﹣2=19，
故答案为：a6，9a2，19．
12．（3分）若分式x2-1x+1的值为0，则x＝　1　．
【解答】解：分式x2-1x+1的值为0，得
x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，
故答案为：1．
13．（3分）一个等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数是 　80°或20°　．
【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故答案为：80°或20°．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝5，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若△DEC的周长为7，则AC的长为 　8　．

【解答】解：∵将△ABC沿折痕AD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，
∴BD＝DE，AB＝AE＝6，
∵△DEC的周长为7，
∴CD+DE+EC＝7＝CD+BD+EC＝BC+EC，
∴7＝5+EC，
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝6+2＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如果关于x的方程axx-1+11-x=2无解，则a的值为　2或1　．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x=-1a-2，
将x=-1a-2代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，点F、D分别在
AB、BC上（点F、D与点A、B、C都不重合），OF⊥OD、OE⊥AD交AB于E，下列结论：①BD＝BE；②AF＝BD；③点E是BF的中点；④CDEF的值为定值．
其中正确的结论是 　②③④　（填写序号）．

【解答】解：∵点D是边长BC上的动点，
∴①不正确；
如图，连接OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，OB＝OA＝OC，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵OF⊥OD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠FOA＝∠DOB，
在△AOF和△BOD中，
∠FAO=∠DBOOA=OB∠AOF=∠BOD，
∴△AOF≌△BOD（ASA），
∴OF＝OD，AF＝BD，故②正确；
过点O作OM∥BC，交AD于点M，则∠MOD＝∠ODC，OM是△ACD的中位线，
∵∠ABC＝∠FOD＝90°，
∴∠BFO+∠BDO＝180°，
∵∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠BFO＝∠ODC，
∴∠BFO＝∠MOD，
∵OE⊥AD，
∴∠ODA+∠DOE＝90°，
∵∠FOE+∠DOE＝90°，
∴∠ODA＝∠FOE，
在△OFE和△DOM中，
∠ODM=∠FOEOD=OF∠DOM=∠OFE，
∴△OFE≌△DOM（ASA），
∴EF＝OM，
∵OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
∴EF=12CD，即CDEF=2，故④正确；
又∵AF＝BD，AB＝CD，
∴BF＝CD，
∴EF=12BF，
∴点E是BF的中点，故③正确；
∴正确的序号有②③④，
故答案为：②③④．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
17．（8分）计算：
（1）3a（5a﹣2）；
（2）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2．
【解答】解：（1）原式＝（3a）•（5a）﹣3a×2＝15a2﹣6a；
（2）原式＝7x2y3÷8x2y2﹣8x3y2z÷8x2y2=78y﹣xz．
18．（8分）因式分解：
（1）x2﹣9；
（2）ax2+2a2x+a3．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣32
＝（x+3）（x﹣3）．
（2）原式＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2．
19．（8分）先化简：（1-3x+2）÷x2-2x+1x2-4，再取一个适当的x值代入求值．
【解答】解：（1-3x+2）÷x2-2x+1x2-4
=x+2-3x+2•(x+2)(x-2)(x-1)2
=x-1x+2•(x+2)(x-2)(x-1)2
=x-2x-1，
∵要使分式（1-3x+2）÷x2-2x+1x2-4有意义，x+2≠0，x﹣2≠0，x﹣1≠0，
∴x不能为2，﹣2，1，
取x＝0，
当x＝0时，原式=0-20-1=2．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，作△ABC的中线AD；
（2）如图2，作△ABC的高线CE；
（3）如图3，点F是AC与网格线的交点，请在BC上作一点H，使FH∥AB；
（4）如图4，直线a和直线b在网格线上，点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a上作一点M，直线b上作一点N，使AM+MN+NH的值最小．

【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；
（2）如图2中，线段CE即为所求；

（3）如图3中，线段FH即为所求；
（4）如图4中，点M，点N即为所求．

21．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．

【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AD于点F，则∠EFD＝∠EFA＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴EC＝EF，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△EAB和Rt△EAF中，
EF=EBEA=EA，
∴Rt△EAB≌Rt△EAF（HL），
∴∠EAF＝∠EAB，
∴AE是∠DAB的平分线．
（2）证明：∵∠DAB＝60°，∠EAF＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝60°，
∴∠DEC＝30°，∠DEA＝90°，
∴DE＝2CD，AD＝2DE，
∴AD＝4CD，
在△DEF和△DEC中，
∠DFE=∠DCE∠FDE=∠CDEDE=DE，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴DF＝DC，
∴AF＝AD﹣DF＝4CD﹣CD＝3CD，
∵Rt△EAB≌Rt△EAF，
∴AF＝AB，
∴AB＝3CD．

22．（10分）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．
方法1 　a2﹣b2　，方法2 　（a+b）（a﹣b）　；
【问题应用】（2）若a+b＝6，a2﹣24＝b2，求a和b的值；
【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为am（a＞b＞0）的正方形去掉一个边长为bm的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为（a﹣b）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．

①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
②若b＝1，高的单位面积产量比低的单位面积产量多40(a-b)2kg，求a的值．

【解答】解：（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积a2﹣b2；
方法2两个小长方形面积之和b（a﹣b）+a（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2+b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）∵a2﹣24＝b2，
∴a2﹣b2＝24，
∴（a+b）（a﹣b）＝24，
∵a+b＝6，
∴a﹣b＝4，
∴a＝5，b＝1．
（3）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量=500(a+b)(a-b)，
“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量=500(a-b)2，
∵a+b＞a﹣b，
∴500(a+b)(a-b)＜500(a-b)2，
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．
∵500(a-b)2÷500(a+b)(a-b)=a+ba-b，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的a+ba-b倍．
②由题意得，500(a-1)2-500(a+1)(a-1)=40(a-1)2，
解得，a＝24．
即a的值是24．
23．（10分）已知：△ABC中，AB＝AC，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，过B，C两点分别向直线l作垂线BD、CE，垂足为点D、E，证明：DE＝BD+CE；
（2）如图2．若∠BAC＝60°，∠BDA＝∠AEC＝60°，请写出BD、CE、DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC＝90°，BF的垂直平分线DE经过点A并交FC于点E，且AD=2AE，请直接写出S△ABDS△AEC的值．


【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，AE＝BD，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（2）证明：DE＝BD+CE，理由如下：
∵∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠ABD+∠BAD＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝120°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，AE＝BD，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（3）解：如图，

∵AD=2AE，
∴设AE＝a，则AD=2a，
∴DE＝AD+AE＝（2+1）a，
连接AF，作CG⊥DE于G，
∵DE是BF的垂直平分线，
∴AF＝AB，
∵∠AFB＝∠ABF，
∵AB＝AC，
∴AF＝AC，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵∠BFC+∠FCB+∠FBC＝180°，
∴（∠AFB+∠AFC）+（ACF+∠ACB）+（∠ABF+∠ABC）＝180°，
∴2∠AFB+2∠AFC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠AFB+AFC＝45°，
即∠BFC＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FED＝90°﹣∠BFC＝45°＝∠BFC，
∴DF＝DE＝（2+1）a，
∴BD＝DF＝（2+1）a，
由（1）得：△ABD≌△CAG，
∴AD＝CG，
∴S△ABDS△AEC=12AD⋅BD12AE⋅CG=BDAE=(2+1)aa=2+1．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（m，0），（0，n），其中n＞m＞0．
（1）如图1，点E（a，a）在线段AB上，若n＝2m，
①请直接写出点E的坐标（用含m的式子表示）；
②过点E作EC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，求BCOC的值；
（2）如图2，CB⊥AB，且CB＝AB，点D是x轴上一动点，点E是线段AD的中点，连接BE，若点F在第二象限，满足FE⊥BE，且FE＝BE，连接BF，CF，CD，随着点D在x轴上运动，判断∠DCF的度数是否为定值，若为定值，求其值；若不为定值，请说明理由．

【解答】解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EN⊥OB于N，EH⊥OA于H，

∵点A，点B的坐标分别为（m，0），（0，n），n＝2m，
∴OA＝m，OB＝n＝2m，
∵点E（a，a），
∴EN＝EH＝a，
∵S△AOB=12AO×BO=12×AO×EH+12×BO×EN，
∴m×2m＝ma+2ma，
∴a=23m，
∴点E（23m，23m）；
②∠DCF的度数是定值，理由如下：
∵EN⊥BO，EH⊥AO，∠AOB＝90°，
∴四边形EHON是矩形，
∴EN＝OH=23m，ON＝EH=23m，
∴BN=43m，
∵EC⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA+∠OAB＝90°＝∠OBA+∠ABO，
∴∠EDA＝∠ABO，
又∵EN＝EH，∠ENB＝∠EHD＝90°，
∴△BNE≌△DHE（AAS），
∴BN＝DH=43m，
∴OD＝DH﹣OH=43m-23m=23m，
∴NE＝OD，
又∵∠NCE＝∠DCO，∠ENC＝∠DOC＝90°，
∴△DOC≌△ENC（AAS），
∴CN＝CO=12ON=13m，
∴BC=53m，
∴BCOC=53m13m=5；
（2）如图2，延长FE至Q，使EF＝EQ，连接QA，BQ，FD，

∵点E是线段AD的中点，
∴DE＝AE，
∵EF＝EQ，∠DEF＝∠AEQ，DE＝AE，
∴△DEF≌△AEQ（SAS），
∴DF＝AQ，∠DFE＝∠AQE，
∵EF＝BE＝EQ，BE⊥EF，
∴BF＝BQ，∠EFB＝∠EBF＝∠EBQ＝∠EQB＝45°，
∴∠FBQ＝90°＝∠ABC，
∴∠FBC＝∠QBA，
又∵BF＝BQ，AB＝BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴CF＝AQ，∠BFC＝∠AQB，
∴CF＝AQ＝FD，
∵∠CFD＝∠DFE+∠BFE﹣∠BFC
∴∠CFD＝∠AQE+45°﹣∠BFC＝45°+∠AQB+45°﹣∠BFC＝90°，
∴∠DCF＝45°．