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人教版中考一轮复习 第9讲 锐角三角函数--提高班
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这是一份人教版中考一轮复习 第9讲 锐角三角函数--提高班，文件包含第9讲锐角三角函数--提高班教师版docx、第9讲锐角三角函数--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
知识点1 锐角三角函数
1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cs）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．
2. 特殊角的三角函数值
3.锐角三角函数值的变化规律
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cs随的增大而减小；
当0°<<90°时，tan随的增大而增大．
【典例】
例1（2021•闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，那么AC的长为（ ）
A．5csβB．5sinβC．5csβD．5sinβ
例2（2021•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（ ）
A．tanC=43B．ctC=45C．sinC=34D．csC=45
例3（2021•闵行区一模）计算：2cs60°﹣ct30°+4sin245°tan60°-1．
【随堂练习】
1．（2021•静安区一模）锐角α的正切值为32，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α＝30°B．α＝60°C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜60°
2．（2021•虹口区一模）在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，AC＝4，那么tanA的值是（ ）
A．34B．43C．35D．45
3．（2021•普陀区一模）计算：cs30°﹣2sin245°+22sin60°+tan45°．
4．（2021•静安区一模）计算：ct30°-cs45°sin60°-tan45°．
知识点2 解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
2.基础知识
在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
（2）锐角之间的关系：+==
（3）边角之间的关系：sinA=ac csA=bc tanA=ab
sinB=bc csB=ac tanB=ba
（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）
3. 解直角三角形的基本类型及其解法
【典例】
例1（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC=23．
（1）求边AC的长；
（2）求ct∠BAD的值．
例2（2020秋•肃州区期末）在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素：
（1）已知c＝20，∠A＝60°；
（2）已知a=15，b=5．
【随堂练习】
1．（2020秋•石家庄期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB=45．
（1）求AD的长；
（2）求cs∠C的值和S△ABC．
2．（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，易知∠D＝15°，CD＝BD+BC＝AB+BC＝2x+3x，所以tan15°＝tanD＝…
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．
知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题
1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示．
2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i=hl=tanα．
【典例】
例1 （2020•淮安区一模）淮安华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，改造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC，请你计算BC的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41）
例2（2020春•沙坪坝区校级期末）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）．（ ）
A．3.55mB．3.75mC．3.95mD．4.15m
【随堂练习】
1．（2020春•温州期末）如图，商用手扶梯AB的坡比为1：3，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（ ）
A．6米B．63米C．12米D．123米
2．（2020•泰顺县二模）某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．245csαB．485csαC．245sinαD．485sinα
知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题
1.仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
【典例】
例1（2020秋•吴兴区期末）吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（3≈1.7，结果精确到0.1m）
例2 （2020秋•汝阳县期末）汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．
（1）求气球的高度；
（2）求气球飘移的平均速度．
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75，3≈1.7．）
【随堂练习】
1．（2020•番禺区一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求旗杆AC的高度．
2．（2020秋•中原区校级月考）郑州地标之一“二七塔”，全称“郑州二七大罢工纪念塔”，是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，是中国建筑独特的仿古联体双塔，被列为全国重点保护文物．某数学兴趣小组实地测算郑州二七塔的高度（塔尖距地面）．如图所示，在B处测得钟楼所在层点A的仰角为45°，再沿CB方向前进30m到达D处，测得塔尖E的仰角为35.6°．
（1）已知塔尖到钟楼层的高度AE＝6米，求二七塔CE的总高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35.6°≈0.58，cs35.6°≈0.81，tan35.6°≈0.72，2≈1.41）．
（2）“景点简介”显示，二七塔的高度为63米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题
1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
2. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．
如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
【典例】
例1 （2020春•涟源市期末）如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
例2（2020•清江浦区二模）如图，一游客沿淮安里运河风光带步行，步行到A处测得C处的慈云寺国师塔在东南方向上，又步行420米到达B处，测得C处的慈云寺国师塔位于南偏西68°方向上，请求出国师塔到里运河风光带AB的距离是多少米？（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
【随堂练习】
1．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
2．（2020•松北区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若
AP＝63千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4B．43C．2D．6
综合运用
1．（2020秋•武功县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sinB=1213，则AC的长是（ ）
A．25B．12C．5D．13
2．（2020秋•肇州县期末）计算：
（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cs60°；
（2）sin45°cs30°-tan60°+cs45°•sin60°．
3．（2020秋•龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）
未经书面同意，不得复制4．（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、csA和tanA．
5．（2020秋•龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
6. 6.（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
7．（2020•安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部．此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于1200km/h）．请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间．（结果精确到1s．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
知识点1 锐角三角函数
1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cs）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．
2. 特殊角的三角函数值
3.锐角三角函数值的变化规律
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cs随的增大而减小；
当0°<<90°时，tan随的增大而增大．
【典例】
例1（2021•闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，那么AC的长为（ ）
A．5csβB．5sinβC．5csβD．5sinβ
例2（2021•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（ ）
A．tanC=43B．ctC=45C．sinC=34D．csC=45
例3（2021•闵行区一模）计算：2cs60°﹣ct30°+4sin245°tan60°-1．
【随堂练习】
1．（2021•静安区一模）锐角α的正切值为32，那么下列结论中正确的是（ ）
A．α＝30°B．α＝60°C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜60°
2．（2021•虹口区一模）在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，AC＝4，那么tanA的值是（ ）
A．34B．43C．35D．45
3．（2021•普陀区一模）计算：cs30°﹣2sin245°+22sin60°+tan45°．
4．（2021•静安区一模）计算：ct30°-cs45°sin60°-tan45°．
知识点2 解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
2.基础知识
在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
（2）锐角之间的关系：+==
（3）边角之间的关系：sinA=ac csA=bc tanA=ab
sinB=bc csB=ac tanB=ba
（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）
3. 解直角三角形的基本类型及其解法
【典例】
例1（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC=23．
（1）求边AC的长；
（2）求ct∠BAD的值．
例2（2020秋•肃州区期末）在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素：
（1）已知c＝20，∠A＝60°；
（2）已知a=15，b=5．
【随堂练习】
1．（2020秋•石家庄期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB=45．
（1）求AD的长；
（2）求cs∠C的值和S△ABC．
2．（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝x（x＞0），延长CB至点D，使得BD＝AB，连接AD，易知∠D＝15°，CD＝BD+BC＝AB+BC＝2x+3x，所以tan15°＝tanD＝…
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算．
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．
知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题
1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示．
2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i=hl=tanα．
【典例】
例1 （2020•淮安区一模）淮安华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，改造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC，请你计算BC的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41）
例2（2020春•沙坪坝区校级期末）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）．（ ）
A．3.55mB．3.75mC．3.95mD．4.15m
【随堂练习】
1．（2020春•温州期末）如图，商用手扶梯AB的坡比为1：3，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（ ）
A．6米B．63米C．12米D．123米
2．（2020•泰顺县二模）某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．245csαB．485csαC．245sinαD．485sinα
知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题
1.仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
【典例】
例1（2020秋•吴兴区期末）吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（3≈1.7，结果精确到0.1m）
例2 （2020秋•汝阳县期末）汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．
（1）求气球的高度；
（2）求气球飘移的平均速度．
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75，3≈1.7．）
【随堂练习】
1．（2020•番禺区一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求旗杆AC的高度．
2．（2020秋•中原区校级月考）郑州地标之一“二七塔”，全称“郑州二七大罢工纪念塔”，是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，是中国建筑独特的仿古联体双塔，被列为全国重点保护文物．某数学兴趣小组实地测算郑州二七塔的高度（塔尖距地面）．如图所示，在B处测得钟楼所在层点A的仰角为45°，再沿CB方向前进30m到达D处，测得塔尖E的仰角为35.6°．
（1）已知塔尖到钟楼层的高度AE＝6米，求二七塔CE的总高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35.6°≈0.58，cs35.6°≈0.81，tan35.6°≈0.72，2≈1.41）．
（2）“景点简介”显示，二七塔的高度为63米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题
1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
2. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．
如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
【典例】
例1 （2020春•涟源市期末）如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
例2（2020•清江浦区二模）如图，一游客沿淮安里运河风光带步行，步行到A处测得C处的慈云寺国师塔在东南方向上，又步行420米到达B处，测得C处的慈云寺国师塔位于南偏西68°方向上，请求出国师塔到里运河风光带AB的距离是多少米？（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
【随堂练习】
1．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
2．（2020•松北区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若
AP＝63千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4B．43C．2D．6
综合运用
1．（2020秋•武功县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sinB=1213，则AC的长是（ ）
A．25B．12C．5D．13
2．（2020秋•肇州县期末）计算：
（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cs60°；
（2）sin45°cs30°-tan60°+cs45°•sin60°．
3．（2020秋•龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）
未经书面同意，不得复制4．（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、csA和tanA．
5．（2020秋•龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
6. 6.（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
7．（2020•安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部．此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于1200km/h）．请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间．（结果精确到1s．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
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