中考数学一轮复习考点复习专题29 锐角三角函数与运用【专题巩固】（含解析）

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专题29  锐角三角函数与运用考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，∴，故选：D2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值【详解】设交于点,由题意：是等边三角形四边形为正方形∴∠CBF=90°-60°=30°， DE⊥又设则解得：故选A3．计算：．【答案】-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．【详解】解：原式．考点2：三角函数与图形结合4．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．【答案】【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，∴，故答案为．5．（2020天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是　   　．【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．【解析】如图，连接AB．∵OA＝AB，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB，故答案为．(2019肇庆封开二模)如图,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 (　　) A. 　     B.    C. 　    D.  【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tan A==故选A. 考点3：解直角三角形7．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．【详解】在Rt△ABC中，,即，故选：A．8．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．【答案】【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．【详解】∵，∴△ADE为直角三角形，又∵，∴ , 解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴ ,又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图在△EBC中：S△EBC= ;又∵S△EBC ∴ ,解得,在Rt△BFC中，,故填：．9．（2021·海南中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．【答案】【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．【详解】的坐标分别是轴．故答案为：． 考点4：解直角三角形的运用10．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长．【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，∴ ∵AD//BC∴ ∴ ∴则四边形AEFD是矩形，∴在中，AB=8，∴ ∴ 在中，，∴ 故选：B．11．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．【答案】【分析】根据题意可知： ， ，， ，然后分别在 中在中，利用锐角三角函数求解即可．【详解】解：根据题意可知： ， ，， ，在 中， ，在中，，∴ ，即电视塔的高度为 米．故答案为：12．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．【答案】57【分析】根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．【详解】解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，∵，，，∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ，在中， ，在中， ，∴ ，即乙楼高度约为57 ．13．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）【答案】326【分析】根据正切的定义即可求出BC．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，，∴（米）故答案为：32614．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】延长交于点，过点作，交于点，由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大楼的高度约为96米.