专题07 某点恰好为中点

专题07 某点恰好为中点

类型一  一动两定成中点

1．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：

（1）点A、B、C分别表示的数是______________________．

（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________．

（3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向．

2．如图，在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，当点P运动到原点O时，点P、Q同时停止，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）求MQ的长（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．

3．动点从原点出发，向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发，向数轴正方向运动．后，两点相距（1个单位长度为）．已知动点、的速度比是（速度单位：）．

（1）直接写出，运动后、两点在数轴上对应的数分别为______；

（2）若、两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？

类型二  两动一定成中点

4．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒．

（1）当时，线段________；

（2）当时，求的值；

（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值．

5．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒．

(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；

(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？

6．在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=|m-n|．例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是|-7-1|=8，表示数3和数8的两点间的距离是|8-3|=5．利用上述结论，解决问题：

（1）若|x-3|=7，则x=________；

（2）若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为________（用含有r的代数式表示）；

（3）A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a-b|=6（b>a），点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．

类型三  三动成中点一解

7．已知数轴上、两点对应的数分别为、．

（1）如果、两点的中点对应的数为，求的值；

（2）设点P以每秒钟个单位长度的速度从数轴上原点O出发，点、分别以每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度的速度出发，且三点同时向右运动，那么经过多少秒钟时，点P是、两点的中点？

8．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．

（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？

类型四  三动成中点三解

9．现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2

归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．

（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．

拓展应用

（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．

10．定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.

（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.

（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.

①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空

______；______.

②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？

11．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm，点P、点Q分别由A、B点同时出发向点C运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为lcm/s．

（1）如果点D是线段AC的中点，那么线段BD的长是　   　cm；

（2）①求点P出发多少秒后追上点Q；

②直接写出点P出发　   　秒后与点Q的距离是20cm；

（3）若点E是线段AP中点，点F是线段BQ中点，则当点P出发　   　秒时，点B，点E，点F，三点中的一个点是另外两个点所在线段的中点．

12．[知识背景]：

数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离，，的中点表示的数为，

[知识运用]：

若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点．已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为．

（1）______，______；

（2）若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段的中点时则点对应的数为______

（3）若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点追上点？（列一元一次方程解应用题）；此时点表示的数是______

（4）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）

类型五  三动成中点多解

13．数轴上A点对应的数为－10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位／秒、1个单位／秒的速度向左运动，丙在A以3个单位／秒的速度向右运动．

（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；

（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．