专题03 绝对值的几何意义

专题03 绝对值的几何意义

类型一  求两个绝对值的和的最小值

1．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；

（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；

（3）求的最小值是_______．

2．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是       ；表示-3和2两点之间的距离是       ；

（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于        

（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．

（4）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为　   　

3．【阅读】

|5﹣2|表示5与2差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离：

【探索】

（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　   　．

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　   　．

（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上　   　，其中x的值可以是　   　；

（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，符合条件的整数x是　   　；

（4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值并尝试用几何意义来解释：如果没有，说明理由．

4．的几何意义表示数轴上a所对应的点与原点的距离，表示数轴上a所对应的点与1所对应的点之间的距离．

情景：

点P为数轴上的一个动点，其所表示的数为a，A、B、C三点表示的数分别为、6、b，点P从原点向数轴的负方向以每秒一个单位长度运动，当到达数轴上时立即以原速返回向沿数轴正方向运动．

点P分别到点A、B的距离之和可以用绝对值表示为：

问题：

(1)表示数轴上a所对应的点与_______所对应的点之间的距离；

(2)P分别到点A、B的距离之和的最小值是_______；

(3)P点到点A、B的距离之和达到最小值时所用时间一共是_______秒：

(4)当b的值是_______时，的最小值是2．

5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．

（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．

（3）数轴上点用数表示：

①若，那么的值是________．

②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．

③有最小值，最小值是___________．

类型二  求多个绝对值和的最小值

6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．

回答下列问题：

(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；

(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；

(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；

(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．

7．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；

（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；

（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；

（4）的最小值_____．

8．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：

（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是           ；

（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为           ；

（3）直接写出的最小值为        ；

（4）直接写出的最小值为          ；

（5）简要求出的最小值．

9．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　    　．

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　   　．

（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　    　．

（4）结合数轴求的最小值为     ，此时符合条件的整数x为             ．

（5）结合数轴求的最小值为     ，此时符合条件的整数x为           ．

（6）结合数轴求的最小值为          ，最大值为           ．

类型三  利用绝对值的几何意义解绝对值方程

10．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．

①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x=±2．

②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3或x = -1．

知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解

（1）方程|x|= 5的解

（2）方程| x-2|= 3的解

11．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离．

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）若，则           ；的最小值是           ．

（2）若，则的值为           ；若，则的值为           ．

（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由．

12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值；

（2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？

（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．

13．认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．

（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）．

（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．

（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．

类型四  利用绝对值的几合意义解绝对值不等式

14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|x＋3|＝4的解为________．

(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；

(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．

15．阅读下列材料：

我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；

例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．

例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．

例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|+2|=3的解为　     ；

（2）解不等式：|－2|＜6；

（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；

（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.

16．认真阅读下面的材料，完成有关问题：

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．

（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；

（2）利用数轴探究：

① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；

② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．

（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．