2021-2022学年山东省泰安市高一下学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年山东省泰安市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】化简复数，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，复数满足，可得，

可得复数在复平面内对应的点为位于第二象限.

故选：B.

2．已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（       ）

A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台

【答案】B

【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.

【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：

矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；

因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.

故选：B.

3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（       ）

A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶

【答案】D

【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.

【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，

“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；

对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；

对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；

对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.

故选：D.

4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（       ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】先求出B，再根据正弦定理即可解得.

【详解】因为，，所以，

由，即，

解得.

故选：C.

5．如图，在中，，，分别是，，的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用中点的向量形式，将代入计算，即得结果.

【详解】.

故选：D.

6．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（       ）

A．若，，，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】对A：与相交、平行或；对B：由线面垂直的判定定理得；对C：；对D：与相交、平行或异面．

【详解】解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：

对A：若，，，，

则与相交、平行或，故A错误；

对B：若，，，

则由线面垂直的判定定理得，故B正确；

对C：若，，，则，故C错误；

对D：若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．

故选：B．

7．某校组织歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分（评分为整数），则下列选项中，可以判断出评分中一定出现100分的是（       ）

A．平均数为97，中位数为95 B．中位数为95，众数为98

C．平均数为98，众数为98 D．中位数为96，极差为8

【答案】A

【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的定义及计算公式，举出反例逐一分析即可得出答案.

【详解】解：对于A，设这5个数为，其中，

则，

，所以，

因为，

所以，

所以，

所以平均数为97，中位数为95时，评分中一定出现100分，故A符合；

对于B，当这5个数分别为时，

则中位数为95，众数为98，没有出现100分，故B不一定；

对于C，当这5个数分别为时，

则平均数为98，众数为98，没有出现100分，故C不一定；

对于D，当这5个数分别为时，

则中位数为96，极差为8，没有出现100分，故D不一定.

故选：A.

8．在中，，， ，O为所在平面内一点，并且满足，记 ，， ，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令的中点分别为，则将可化简为，于是为线段的靠近的三等分点，然后建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式分别计算3个数量积即可得出结论．

【详解】，，

又   ，，

设的中点为，的中点为，则 ， ，

，为线段的靠近的三等分点，

以为原点，以分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则 ，

， ．

.

故选：A．

【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用以及数量积运算，解答本题确定点位置是解题关键，本题属于中档题．

二、多选题

9．旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为，下面叙述正确的是（       ）

A．各月的平均最低气温都在以上

B．八月的平均温差比十一月的平均温差大

C．平均最高气温高于20℃的月份有4个

D．四月和十一月的平均最低气温基本相同

【答案】ABD

【分析】利用雷达图中的数据信息以及变化趋势，对选项逐一分析即可判断.

【详解】对于A;由图可知各月的平均最低气温以上，故A正确，

对于B,由图知：八月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离长度大于十一月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离，故B正确，

对于C;平均最高气温高于20℃的月份有八月和七月，只有两个月份，故C错误，

对于D;四月和十一月的平均最低气温均为，D正确，

故选：ABD

10．下列命题中，真命题有（       ）

A．若复数，满足，则且

B．若复数，则

C．若复数，满足，则或

D．若复数为实数，则为实数或纯虚数

【答案】BD

【分析】利用特殊值判断A、C，根据共轭复数与复数代数形式的乘法运算判断B、D.

【详解】解：对于A：令，，则，故A错误；

对于B：令，，则，所以，

所以，故B正确；

对于C：令，，则，，，

满足，故C错误；

对于D：令，，则，

因为为实数，所以，所以或，

当时为纯虚数，当时为实数，

当时为实数，故D正确；

故选：BD

11．已知平面四边形，是所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则是平行四边形

B．若，则是矩形

C．若，则为直角三角形

D．若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心

【答案】ACD

【分析】由向量相等可判断A；由数量积的性质结合模的运算可判断B和C；由向量的线性运算结合向量共线可判断D.

【详解】由，可得，且，故是平行四边形，所以A正确；

由，平方可得，即，但不一定是矩形，所以B错误；

由，可得，即，因此，所以为直角三角形，所以C正确；

作于，由于，所以，即，故的轨迹一定通过的重心，所以D正确.

故选：ACD.

12．如图所示，已知正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，则下列结论中，正确的是（       ）

A．平面平面

B．存在点（与不重合），使得与共面

C．当点运动时，总有

D．三棱锥的体积为定值

【答案】ACD

【分析】对于A，连接，证明，则有平面，同理可证平面，从而可判断；对于B，若与共面，则平面与平面重合，即可判断；对于C，证明平面，即可判断；对于D，根据即可判断.

【详解】解：对于A，连接，

因为且，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

同理平面，

又平面，

所以平面平面，故A正确；

对于B，因为平面平面，

平面，平面，

，

若与共面，则平面与平面重合，

与题意相矛盾，

故不存在点（与不重合），使得与共面，故B错误；

对于C，连接，则，

因为平面，平面，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，

同理，

又平面，

所以平面，

又平面，

所以，

即当点运动时，总有，故C正确；

对于D，因为平面，平面，

所以，

又平面，

所以平面，

则三棱锥的高为，

，

则为定值，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．某种饮料每箱装6听，其中有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为______．

【答案】

【分析】先确定从6听饮料中随机抽取2听的基本事件总数为n，再确定检测出不合格品的基本事件个数为m，最后利用概率计算公式计算即可得解.

【详解】从6听饮料中随机抽取2听的基本事件总数为，

测出不合格品的基本事件个数为，

所以检测出不合格品的概率为.

故答案为：.

14．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______．

【答案】

【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．

【详解】在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，得．

故答案为：．

15．甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成绩为，方差为；乙班的平均成绩为，方差为．那么甲，乙两班全部名学生成绩的方差是______．

【答案】

【分析】首先计算得到全部名学生的平均成绩，根据方差的计算公式可求得结果.

【详解】由题意知：全部名学生的平均成绩为：，

全部名学生的方差为：.

故答案为：.

16．已知为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的体积为______．

【答案】

【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论．

【详解】设圆半径为，球的半径为，

依题意得，，，

为等边三角形，

由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的体积，

故答案为：

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知，．

(1)若，求实数的值；

(2)求与的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算与平行的坐标运算求解即可；

（2）根据向量的坐标运算与向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】(1)∵，，∴

∵∴，解得；

(2)由（1）知，

∴

又，

∴

∵

∴与的夹角为

18．某校为了对学生的数学运算素养进行监测，随机抽取了名学生进行数学运算素养评分．评分规则实行百分制计分，现将所得的成绩按照，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频率分布表和频率分布直方图．请对照图中所给信息解决下列问题．

(1)求出表中及图中，的值；

(2)估计该校学生数学运算素养成绩的中位数以及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

(3)若按照成绩分组对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩在的学生中随机抽取6人查看学生的答题情况，再从6人中抽取2人进行调查分析，求这2人中至少1人成绩在内的概率．

【答案】(1)，；

(2)中位数为；平均数为

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图结合频数分布表中数据可求得N，继而求得a,b;

（2）根据频率分布直方图中中位数和平均数的计算方法，可得答案；

（3）根据分层抽样的比例确定各组中的人数，列出从6人中抽取2人的所有基本事件，再列出这2人中至少1人成绩在内的基本事件，根据古典概型的概率公式可得答案.

【详解】(1)由频率分布直方图得的频率为：，

由频数分布表得的频数为10，∴，∴;

∵，∴;

(2)的频率为：，

的频率为：，

∴估计该校学生运算素养成绩的中位数为．

估计该校学生运算素养成绩的平均数为:

.

(3)样本在，的人数分别为40，20，

利用分层抽样从成绩的学生中随机抽取6人，

则在，的人数分别为4，2,

从中抽取的4人记为，，，，从中抽取的2人记为1，2，

则从6人中随机抽取2人的样本空间

，

记“2人中至少1人成绩在内”为事件A，则有,,，共9个基本事件，

∴.

19．如图，在四边形中，，，．

(1)求；

(2)若，，求的周长．

【答案】(1)

(2)24

【分析】（1）在中，由同角三角函数关系和正弦定理即可求解，

（2）在中根据余弦定理可求,进而在中中，根据三角形面积公式以及余弦定理即可求解.

【详解】(1)在中，，∴

∵，∴

又∵为钝角，∴为锐角，∴

(2)在中，

∴

∴解得(负根舍去)

在中，，∴

∴又，

整理得，，∴

∴∴，

∴的周长为24.

20．如图，在四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，．

(1)求四棱锥的表面积；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)9

【解析】（1）

解：因为，

所以为等腰直角三角形，所以，

因为四边形为正方形，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面

因为平面，所以，为直角三角形，

同理可得，，为直角三角形且，

所以，

因为，所以，所以为等腰三角形，

，底上的高为，所以，

所以四棱锥的表面积为；

(2)解：取中点，连接，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

由（1）知为等腰直角三角形，所以，

设点到平面的距离为，

因为为的中点，所以，

又，

所以．

21．某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．

(1)求事件，，的概率；

(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）借助对立事件的概率公式，把相互独立的事件同时发生的概率表示出来，然后联立方程组求解即可得到每个事件发生的概率；

（2）随机从三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，恰有2个合格品的情况分为、、三种，根据相互独立事件的概率公式求解即可.

【详解】(1)因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．

由得

解得，，，

(2)由（1）知，，，

记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则

22．如图,为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，△是底面的内接正三角形，为 上一点，且．

(1)证明：平面平面；

(2)判断直线与平面的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)与平面相交；理由见解析

【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理证明即可；

（2）利用直线和平面平行的性质定理说明即可.

【详解】(1)不妨设圆的半径为1，则，，

所以，，

所以

在中，，所以，

同理可得,即，

又，，平面，所以平面

又因为平面，所以平面平面；

(2)与平面相交

理由如下：

∵平面，∴平面

∴与平面相交或平行

若平面，设，连接

∵平面平面,   ∴,     ∴,

∵为正△的外接圆圆心，∴，且，

∴，即，这与矛盾．

∴与平面不平行,∴与平面相交.