还剩20页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）
展开
这是一份2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z1+i=1−2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知PA=0.5，PB=0.3，P(AB)=0.2，则PA∪B=( )
A. 0.5B. 0.6
C. 0.8D. 1
3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，已知A′O′=B′O′=O′E′=C′E′=D′E′=π，则该圆柱的体积为( )
A. 2π4B. 2π2C. π4D. π2
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//n，m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥n，m//α，则n//αD. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图：
用样本估计总体，则以下四个选项错误的是( )
A. 18∼29周岁人群参保总费用最少
B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%
C. 54周岁以上的参保人数最少
D. 丁险种最受参保人青睐
6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )
A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独立D. 甲丙相互独立
7.已知a=1，b=1, 3，a⊥a+b，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. −1,− 3B. − 3,−1C. −12,− 32D. −14,− 34
8.已知正四面体ABCD的体积为2 6，E为棱AB的中点，球O为该正四面体的外接球，则过点E的平面被球O所截得的截面面积的最小值为( )
A. 94πB. 3πC. 4πD. 92π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设复数z=12− 32i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部是 32i
B. z+z=z
C. 复平面内z和z分别对应的两点之间的距离为1
D. z2+z=0
10.已知函数fx=Asin2x+φ(A>0,0<φ<π)的最大值为3，且fx的图象关于直线x=π6对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数fx的最小正周期为2πB. fπ3=32
C. 函数fx的图象关于点−π12,0对称D. 函数fx在π6,π2上单调递减
11.已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2xAB+yAC，x,y∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若x=y=12，则点P是边BC的中点
B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则x=y=13
C. 若2x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等
D. 若点P在BC边的中线上，且2x+y=12，则点P是△ABC的重心
12.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知∠ACB=90∘,AC=BC=CC1=2，E为B1C1的中点，过AE的截面与棱BB1，A1C1分别交于点F，G，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥A1−AEF的体积为定值
B. 线段C1G长度的取值范围是0,12
C. 当点F与点B重合时，四棱锥C−AFEG的体积为2
D. 存在点F，使得A1F⊥AE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人．
14.已知θ是第三象限角，且csθ=− 1010，则tan2θ的值是__________.
15.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD=75∘,∠BDC=45∘,CD=20 3m，并在C处测得塔顶A的仰角为30∘，则塔高AB= __________m.
16.在锐角△ABC中，已知A=30∘，AC=2，则BA⋅BC的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=2b, 3，n=c,sinC，且m//n.
(1)求B；
(2)若M为AB中点，a=3，△ABC的面积为3 32，求CM的长．
18.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB,AB=AD=1，AE=BC=2,F为CE中点．
(1)求证：DF//平面EAB；
(2)求点C到平面BDE的距离．
19.(本小题12分)
某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分).
甲社区20名居民的打分记录如下：
52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95.
将乙社区20名居民的打分分成50,60,60,70,70,80,80,90,90,100五组，并画出了其频率分布直方图
(1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；
(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；
(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．
20.(本小题12分)
已知向量a= 3sinx2,1，b=csx2,cs2x2，设fx=a⋅b.
(1)若fα=23，求csπ3−α的值；
(2)将函数y=fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度，得到函数y=gx的图象，若函数y=gx−k在0,512π上有零点，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以2分获胜的概率．
22.(本小题12分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60∘，E，F分别为AB，AD的中点，将△ACD沿AC折起到△ACG的位置，得到如图2所示的三棱锥G−ABC.
(1)证明：AC⊥BG；
(2)M为线段EF上一个动点(M不与端点重合)，设二面角G−AC−B的大小为α，三棱锥M−ABC与三棱锥M−AGC的体积之和为V，求V的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
根据复数代数形式的除法运算化简复数 z ，再根据复数的几何意义判断即可.
【解答】
解：因为 z1+i=1−2i ，
所以 z=1−2i1+i=1−2i1−i1+i1−i=1−i−2i+2i22=−12−32i ，
则 z 在复平面内对应的点为 −12,−32 ，
位于第三象限.
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查概率的运算，考查事件的并的概率计算公式，属于基础题.
依题意根据 PA∪B=PA+PB−PAB 计算可得.
【解答】
解：∵PA=0.5 ， PB=0.3 ， P(AB)=0.2
∴PA∪B=PA+PB−PAB=0.5+0.3−0.2=0.6 .
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，圆柱的体积，属于基础题.
利用斜二测画法得到原图矩形ABCD中， AB=BC=2π ，从而求出圆柱的高，底面半径，从而求出圆柱的体积.
【解答】
解：由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中， AB=BC=2π ，所以该圆柱的高为 2π ，
底面半径为 2π2π=1 ，故该圆柱的体积为 π×12×2π=2π2 .
故选：B
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间线面位置关系，属于基础题.
根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.
【解答】
解：对于A选项，若 m//α ， n⊂α ，则 m//n 或异面，故A选项错误；
对于B选项，若 m//n ， m⊥α ，则 n⊥α ，故B选项正确；
对于C选项，若 m⊥n ， m//α ，则 n//α 或 n⊂α 或相交，故C选项错误；
对于D选项，若 α⊥β ， m⊥α ，则 m//β 或 m⊂β ，故D选项错误；
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查统计图，属于基础题.
根据统计图一一分析即可.
【解答】
解：对于选项A，由扇形统计图及折线图可知， 8%×6000<20%×3500 ，
故不小于 54 周岁人群参保总费用最少，故A错误；
对于选项B，由扇形统计图可知， 30 周岁以下参保人群约占参保人群的 20% ，故B正确；
对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占 8% ，人数最小，故C正确；
对于选项D，由柱状图可知，丁险种最受参保人青睐，故D正确；
故选：A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其概率计算，互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断，属于一般题.
先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误.
【解答】
解：由题意可知，先后抛掷两次骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6 ，则 P1=636=16 ；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：
1,4,2,3,3,2,4,1 ，则 P2=436=19 ；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：
1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1 ，则 P3=636=16 ；
对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；
对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；
对于C，甲乙同时发生的概率为 P4=136≠P1P2 ，C错误；
对于D，甲丙同时发生的概率为 P5=136=P1P3 ，D正确.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影向量，向量的数量积与向量的垂直关系，属于一般题.
先求 b ，再求与向量 b 同向的单位向量和cs ⟨a,b⟩，最后由投影向量定义可得.
【解答】
解：由题知 b= 1+3=2 ，与向量 b 同向的单位向量为 bb=(12, 32)
因为 a⊥a+b ，所以 a⋅a+b=a2+a⋅b=1+2cs⟨a,b⟩=0 ，得 cs⟨a,b⟩=−12
所以向量 a 在向量 b 上的投影向量为|a|cs ⟨a,b⟩⋅bb =−12(12, 32)=(−14,− 34) .
故选：D
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的截面问题，正四面体的外接球，属于一般题.
根据题意，根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于外接球的直径，即可求出球的半径 R ，当过点 E 的截面到球心 O 的距离最大为 d= 62 时，截面圆的面积达最小值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.
【解答】
解：如图所示，球 O 为正四面体 ABCD 的外接球，即为正方体的外接球，
正四面体 ABCD 的体积为 2 6 ，
设正四面体 ABCD 的棱长为 2a ，则正方体的棱长为 a ，
所以 a3−4×13×12×a2×a=2 6 ，解得 a= 6 ，
设正四面体 ABCD 的外接球的半径为 R ，则 2R2= 62+ 62+ 62 ，
解得 R=3 22 ，
因为 E 为棱 AB 的中点，过点 E 作其外接球的截面，当截面到球心 O 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心 O 到截面距离等于正方体棱长的一半，即 d= 62 ，
可得截面圆的半径为： r= R2−d2= 3 222− 622= 3 ，
所以截面圆的面积最小值为： S=πr2= 32π=3π .
故选：B
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，共轭复数，复数的运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
对于A，根据复数虚部的定义判断，对于B，通过计算判断，对于C，利用两点间的距离公式分析判断，对于D，通过计算判断.
【解答】
解：对于A，由z=12− 32i，得z=12+ 32i，
所以z的虚部为 32，所以A错误，
对于B，因为z+z=12− 32i+12+ 32i=1，z= 122+− 322=1，
所以z+z=z，所以B正确，
对于C，因为平面内z和z分别对应的点为12,− 32和12, 32，
所以这两个点间的距离为 12−122+− 32− 322= 3，
所以C错误，
对于D，因为z2+z=12− 32i2+12+ 32i=14− 32i+34i2+12+ 32i=0，
所以D正确，
故选：BD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象与性质，属于一般题.
根据函数的性质求出A、φ，得到函数解析式，再根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【解答】
解：因为fx=Asin2x+φ(A>0,0<φ<π)的最大值为3，所以A=3，
因为fx的图象关于直线x=π6对称，所以2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，所以φ=π6+kπ，k∈Z，
又因为0<φ<π，所以φ=π6，所以fx=3sin2x+π6，则函数fx的最小正周期T=2π2=π，故A错误；
fπ3=3sin2×π3+π6=3sinπ2+π3=3csπ3=32，故B正确；
f−π12=3sin−π6+π6=3sin0=0，所以fx关于−π12,0对称，故C正确；
当x∈π6,π2，则2x+π6∈π2,7π6，因为y=sinx在π2,3π2上单调递减，
所以函数fx在π6,π2上单调递减，故D正确；
故选：BCD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算，共线定理，平面向量基本定理，属于一般题.
根据平面向量的线性运算及共线定理判断即可.
【解答】
解：对于A：当x=y=12，则AP=AB+12AC
，即AP−AB=12AC，即BP=12AC，
所以BP//AC，故A错误；
对于B：若点P是边BC上靠近B点的三等分点，所以BP=13BC，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
又AP=2xAB+yAC，且AB、AC不共线，
所以x=y=13，故B正确；
对于C：若2x+y=2，则y=2−2x，
所以AP=2xAB+yAC=2xAB+2−2xAC，
如图延长AB到点D使得AB=BD，
延长AC到点E使得AC=CE，
则AD=2AB，AE=2AC，
所以AP=xAD+1−xAE，
所以D、P、E三点共线，
又BC为三角形ADE的中位线，所以A、P到BC的距离相等，
所以S△ABC=S△PBC，故C正确；
对于D：取BC的中点M，所以AM=12AB+12AC，
又点P在BC边的中线上，设AP=λAM，
所以AP=λAM=12λAB+12λAC，
又AP=2xAB+yAC，所以y=12λ2x=12λ，
又2x+y=12，所以λ=12，即AP=12AM，
此时P为AM的中点，因此点P不是△ABC的重心，故D错误；
故选：BC
12.【答案】AC
【解析】【分析】
延长FE交CC1延长线于H，连接AH∩A1C1=G，过点E作EM⊥A1B1交A1B1于点M，根据VA1−AEF =VE−A1AF 及锥体的体积判断A；用B1F长表示C1G长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；取A1B1上靠近点B1的四等分点M，依题意A1F⊥AE，只要A1F⊥AM即可，推出矛盾，即可判断D.
【解答】
解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=CC1=2，E为B1C1的中点，有AB=2 2，
延长FE交CC1延长线于H，连接AH∩A1C1=G，如图1，令B1F=x∈[0,2]，
于是HC1C1E=tan∠HEC1=tan∠FEB1=B1FB1E，即HC1=x，由C1G//AC，得C1GAC=HC1HC，即C1G=2xx+2，
对于A，因为E为B1C1的中点，△A1B1C1为等腰直角三角形，
过点E作EM⊥A1B1交A1B1于点M，则EM= 22B1E= 22，
又直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，且平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
EM⊂平面A1B1C1，所以EM⊥平面AA1B1B，
又四边形AA1B1B为矩形，F在B1B上，所以S△AA1F=12AA1⋅A1B1=12×2×2 2=2 2
所以VA1−AEF =VE−A1AF =13EM⋅S△AA1F=13× 22×2 2=23，故A正确；
对于B，显然C1G=2(x+2)−4x+2=2−4x+2在x∈[0,2]上单调递增，所以0≤C1G≤1，故B错误；
对于C，当点F与点B重合时，如图，x=2，C1G=1，CH=4，
四棱锥C−AFEG即C−ABEG的体积：
VC−ABEG=VE−ACB+VE−ACG=13S△ABC⋅BB1+13S△ACG⋅EC1
=13×12×2×2×2+13×12×2×2×1=2，故C正确；
对于D：取A1B1上靠近点B1的四等分点M，又A可知AM即AE在平面ABB1A1内的射影，
要使A1F⊥AE，只要A1F⊥AM即可，
若A1F⊥AM，设A1F∩AM=I，则∠FA1M+∠A1MI=90∘，又∠A1AM+∠A1MI=90∘，
所以∠FA1M=∠A1AM，所以△AA1M∽A1B1F，
则A1MAA1=B1FA1B1，解得B1F=3，不合题意，
所以不存在点F，使得A1F⊥AE，故D错误；
故选：AC
13.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题.
根据分层抽样按比例抽取计算即可
【解答】
解：由题意，在大一青年志愿者中应选派 24×5050+40+30=10 人.
故答案为： 10
14.【答案】−34
【解析】【分析】
本题考查二倍角正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
根据同角三角函数关系式求得 tanθ 的值，再根据二倍角正切公式求得 tan2θ 的值.
【解答】
解：因为 θ 是第三象限角，且 csθ=− 1010 ，
所以 sinθ=− 1−cs2θ=−3 1010 ，则 tanθ=sinθcsθ=3 ，
所以 tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×31−32=−34 .
故答案为： −34 .
15.【答案】20 63
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，属于一般题.
先在 △BCD 中，利用正弦定理求出 BC ，然后利用锐角三角函数可求出 AB .
【解答】
解：在 △BCD 中，
∠BCD=75∘ ， ∠BDC=45∘ ，
则 ∠DBC=180∘−∠BCD−∠BDC=180∘−75∘−45∘=60∘ ，
由正弦定理得 CDsin∠DBC=BCsin∠BDC ，
代入，得 20 3sin45∘=BC⋅sin60∘ ，
解得 BC=20 2 ，
在 Rt△ABC 中， ∠ACB=30∘ ， tan∠ACB=ABBC ，
所以 AB=BCtan∠ACB=20 2tan30∘=20 2× 33=20 63 ，
所以塔高 AB=20 63m ，
故答案为： 20 63
16.【答案】0,43
【解析】【分析】
利用正弦定理得到 a=1sinB ， c=2sinCsinB ，则 BA⋅BC=accsB=2sinCcsBsin2B ，再转化为关于 B 的三角函数，由三角形为锐角三角形求出 B 的取值范围，结合二次函数的性质计算可得.
【解答】
解：设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ，
代入已知条件，得 asin30∘=2sinB=csinC ，
所以 a=1sinB ， c=2sinCsinB ，
所以 BA⋅BC=accsB=2sinCcsBsin2B
=2sinπ6+BcsBsin2B
=2sinπ6csB+csπ6sinBcsBsin2B
=cs2B+ 3sinBcsBsin2B
=1+ 3tanBtan2B=1tan2B+ 3tanB ，
因为 △ABC 为锐角三角形，
所以 0所以 tanB> 3 ，则 0<1tanB< 33 ，
令 t=1tanB ，则 0设 ht=t2+ 3t ， t∈0, 33 ，
显然 ht 在 0, 33 上单调递增，
则02+ 3×0故 ht∈0,43 ，即 1tan2B+ 3tanB ∈0,43 ，
所以 BA⋅BC 的取值范围为 0,43 .
故答案为： 0,43
17.【答案】解：(1)因为向量 m=2b, 3 ， n=c,sinC ，且 m//n ，
所以 2bsinC= 3c ，由正弦定理可得 2sinBsinC= 3sinC ，
因为 sinC>0 ，所以 sinB= 32 ，
又 B∈0,π2 ，所以 B=π3 .
(2)因为 △ABC 的面积为 3 32 ，
即 12acsinB=3 32 ，
又 B=π3 ， a=3 ，解得 c=2 ，
所以 BM=1 ，在 △BCM 中 CM2=BC2+BM2−2BM⋅BCcsB
=32+12−2×3×1×12=7 ，
所以 CM= 7 .
【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于一般题.
(1)由向量共线的坐标表示得到 2bsinC= 3c ，再由正弦定理将边化角，即可得解；
(2)由面积公式求出 c ，即可得到 BM=1 ，再由余弦定理计算可得.
18.【答案】解：(1)证明：取 BE 的中点 G ，连接 AG 、 FG ，因为 F 为 CE 中点，
所以 GF//BC 且 GF=12BC ，又 AD//BC ， AD=1 ， BC=2 ，
即 AD//BC 且 AD=12BC ，
所以 AD//GF 且 AD=GF ，
所以四边形 ADFG 为平行四边形，
所以 AG//FD ，
又 AG⊂ 平面 EAB ， DF⊄ 平面 EAB ，
所以 DF// 平面 EAB .
(2)因为 AD⊥AB ， AD//BC ，
所以 AB⊥BC ， S△BCD=12×2×1=1 ，
又 AE⊥ 平面 ABCD ，
所以 VE−BCD=13×2×1=23 ，
因为 AD⊥AB ， AD=AB=1 ，
所以 BD= AD2+AB2= 2 ，
由 AE⊥ 平面 ABCD ， AB,AD⊂ 平面 ABCD ，所以 AE⊥AB ， AE⊥AD ，
又 EA=2 ， AD=AB=1 ，
所以 EB=ED= 22+12= 5 ，
所以 S△BED=12× 2× 52− 222=32 ，
设点 C 到平面 BDE 的距离为 h ，
则 VC−BDE=VE−BCD=13×32h=23 ，
解得 h=43 .
【解析】本题考查线面平行的判定，点到平面的距离，属于一般题.
(1)取 BE 的中点 G ，连接 AG 、 FG ，即可得到四边形 ADFG 为平行四边形，从而得到 AG//FD ，即可得证；
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
19.【答案】解：(1)因为 20×75%=15 ，
所以这 20 个数据的第 75 百分位数是从小到大排列的第 15 和第 16 个数的平均数，即 85+862=85.5 ，
即甲社区 20 名居民打分的第 75 百分位数为 85.5 .
(2)由频率分布直方图可知，乙社区 20 名居民打分的平均分为：
55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.15=77 .
(3)甲社区打分不低于 90 分的有 2 人记作 A 、 B ，
乙社区打分不低于 90 分的有 0.015×10×20=3 人，记作 a 、 b 、 c ，
从中任选 2 人的可能结果有 AB 、 Aa 、 Ab 、 Ac 、 Ba 、 Bb 、 Bc 、 ab 、 ac 、 bc 共 10 个可能情况，
其中满足 2 人不在同一社区的有 Aa 、 Ab 、 Ac 、 Ba 、 Bb 、 Bc 共 6 个可能情况，
所以 2 人不在同一社区的概率 P=610=35 .
【解析】本题考查百分位数、平均数的计算，古典概型及其计算，属于一般题.
(1)根据百分位数计算规则计算可得；
(2)根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
(3)利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.
20.【答案】解：(1)由题意得 fx=a⋅b= 3sinx2csx2+cs2x2
= 32sinx+1+csx2=sinx+π6+12 ，
将 fα=23代入 ，得 sinα+π6+12=23 ，
即 sinα+π6=16 ，故 csπ3−α=csπ2−α+π6=sinα+π6=16 .
(2)由题意得 gx=sin[2(x−π6)+π6]+12=sin2x−π6+12 ，
若 x∈0,512π ，则 2x−π6∈−π6,23π ，
所以 sin2x−π6∈−12,1 ，所以 g(x)∈[0,32] ，
当函数 y=gx−k 在 0,512π 上有零点时，实数 k 的取值范围为 [0,32] .
【解析】本题考查正弦型函数的零点，正弦型函数的图象变换，三角恒等变换、向量数量积的应用，属于一般题.
(1)应用数量积的坐标运算并结合三角恒等变换可得 fx 的表达式，代入 fα=23 可得 sinα+π6=16 ，利用诱导公式化简求值，得出答案.
(2)根据三角函数图象的变换规律可得 y=gx 的表达式，结合x的范围求得 y=gx 的值域，进而求得答案.
21.【答案】解：(1)设事件 A 为“第三局结束甲获胜”，
由题意知，甲每局获胜的概率为 12 ，不获胜的概率为 12 .
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
故 PA=12×12×12+12×12×12=14 .
(2)由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为 13 ，
平的概率为 1−12−13=16 ，负的概率为 12 ，
设事件 B 为“乙最终以 2 分获胜”．
若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率 P1=13×13=19 .
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
此时的概率 P2=13×23×13+23×13×13=427 .
若第四局结束乙以 2 分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：
(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，
(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜).
此时的概率 P3=13×16×16×13×3+13×16×12×13×6=7108
故 PB=P1+P2+P3=19+427+7108=35108 .
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于一般题.
(1)对甲来说共有两种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜)，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
(2)以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
22.【答案】解：(1)证明：在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，
则O为BD的中点，AC⊥BD，
在三棱锥G−ABC中，AC⊥OG，AC⊥OB，
OG∩OB=O，OG,OB⊂平面BOG，
所以AC⊥平面BOG，
又BG⊂平面BOG，所以AC⊥BG.
(2)在菱形ABCD中，连接EF交AC于点H，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF//BD且EF=12BD，所以EF⊥AC，
在三棱锥G−ABC中，EH⊥AC，FH⊥AC，
所以∠FHE是二面角G−AC−B的平面角，
即∠FHE=α，
过M作MM1⊥EH于点M1，过M作MM2⊥FH于点M2，
因为AC⊥平面EFH，MM1⊂平面EFH，
所以AC⊥MM1，
又EH⊥MM1，AC∩EH=H，AC,EH⊂平面ABC，
所以MM1⊥平面ABC，
同理可证MM2⊥平面ACG，
所以MM1、MM2分别为三棱锥M−ABC、M−AGC的高，
因为菱形ABCD边长为4，∠ABC=60∘，
所以OD=OB=2 3，所以FH=EH= 3，
在△EFH中EF2=EH2+FH2−2EH⋅FHcsα=6−6csα，
所以EF= 6−6csα=2 3sinα2，
因为∠HEF=∠HFE=π−α2，
所以MM1=MEsinπ−α2=MEcsα2，MM2=MFsinπ−α2=MFcsα2
所以MM1+MM2=MEcsα2+MFcsα2=EFcsα2=2 3sinα2csα2= 3sinα，
所以V=13S△ABC×MM1 +13S△ACG×MM2
=13S△ABC×MM1 +MM2
=13×4 3× 3sinα=4sinα，
因为α∈0,π，所以当α=π2时，V取最大值4.
【解析】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，第二问解答的关键是用α的式子表示出MM1、MM2，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算出体积最大值.
(1)在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，即可得到AC⊥OG，AC⊥OB，从而得到AC⊥平面BOG，即可得证；
(2)在菱形ABCD中，连接EF交AC于点H，即可得到∠FHE是二面角G−AC−B的平面角，即∠FHE=α，过M作MM1⊥EH于点M1，过M作MM2⊥FH于点M2，即可得到MM1⊥平面ABC，MM2⊥平面ACG，则MM1、MM2分别为三棱锥M−ABC、M−AGC的高，即可用α表示出MM1，MM2，再由锥体的体积公式及二倍角公式计算可得.
1.若复数z满足z1+i=1−2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知PA=0.5，PB=0.3，P(AB)=0.2，则PA∪B=( )
A. 0.5B. 0.6
C. 0.8D. 1
3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，已知A′O′=B′O′=O′E′=C′E′=D′E′=π，则该圆柱的体积为( )
A. 2π4B. 2π2C. π4D. π2
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//n，m⊥α，则n⊥α
C. 若m⊥n，m//α，则n//αD. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图：
用样本估计总体，则以下四个选项错误的是( )
A. 18∼29周岁人群参保总费用最少
B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%
C. 54周岁以上的参保人数最少
D. 丁险种最受参保人青睐
6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )
A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独立D. 甲丙相互独立
7.已知a=1，b=1, 3，a⊥a+b，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. −1,− 3B. − 3,−1C. −12,− 32D. −14,− 34
8.已知正四面体ABCD的体积为2 6，E为棱AB的中点，球O为该正四面体的外接球，则过点E的平面被球O所截得的截面面积的最小值为( )
A. 94πB. 3πC. 4πD. 92π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设复数z=12− 32i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部是 32i
B. z+z=z
C. 复平面内z和z分别对应的两点之间的距离为1
D. z2+z=0
10.已知函数fx=Asin2x+φ(A>0,0<φ<π)的最大值为3，且fx的图象关于直线x=π6对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数fx的最小正周期为2πB. fπ3=32
C. 函数fx的图象关于点−π12,0对称D. 函数fx在π6,π2上单调递减
11.已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2xAB+yAC，x,y∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若x=y=12，则点P是边BC的中点
B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则x=y=13
C. 若2x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等
D. 若点P在BC边的中线上，且2x+y=12，则点P是△ABC的重心
12.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知∠ACB=90∘,AC=BC=CC1=2，E为B1C1的中点，过AE的截面与棱BB1，A1C1分别交于点F，G，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥A1−AEF的体积为定值
B. 线段C1G长度的取值范围是0,12
C. 当点F与点B重合时，四棱锥C−AFEG的体积为2
D. 存在点F，使得A1F⊥AE
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人．
14.已知θ是第三象限角，且csθ=− 1010，则tan2θ的值是__________.
15.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD=75∘,∠BDC=45∘,CD=20 3m，并在C处测得塔顶A的仰角为30∘，则塔高AB= __________m.
16.在锐角△ABC中，已知A=30∘，AC=2，则BA⋅BC的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=2b, 3，n=c,sinC，且m//n.
(1)求B；
(2)若M为AB中点，a=3，△ABC的面积为3 32，求CM的长．
18.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB,AB=AD=1，AE=BC=2,F为CE中点．
(1)求证：DF//平面EAB；
(2)求点C到平面BDE的距离．
19.(本小题12分)
某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分).
甲社区20名居民的打分记录如下：
52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95.
将乙社区20名居民的打分分成50,60,60,70,70,80,80,90,90,100五组，并画出了其频率分布直方图
(1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；
(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；
(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．
20.(本小题12分)
已知向量a= 3sinx2,1，b=csx2,cs2x2，设fx=a⋅b.
(1)若fα=23，求csπ3−α的值；
(2)将函数y=fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度，得到函数y=gx的图象，若函数y=gx−k在0,512π上有零点，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以2分获胜的概率．
22.(本小题12分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60∘，E，F分别为AB，AD的中点，将△ACD沿AC折起到△ACG的位置，得到如图2所示的三棱锥G−ABC.
(1)证明：AC⊥BG；
(2)M为线段EF上一个动点(M不与端点重合)，设二面角G−AC−B的大小为α，三棱锥M−ABC与三棱锥M−AGC的体积之和为V，求V的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
根据复数代数形式的除法运算化简复数 z ，再根据复数的几何意义判断即可.
【解答】
解：因为 z1+i=1−2i ，
所以 z=1−2i1+i=1−2i1−i1+i1−i=1−i−2i+2i22=−12−32i ，
则 z 在复平面内对应的点为 −12,−32 ，
位于第三象限.
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查概率的运算，考查事件的并的概率计算公式，属于基础题.
依题意根据 PA∪B=PA+PB−PAB 计算可得.
【解答】
解：∵PA=0.5 ， PB=0.3 ， P(AB)=0.2
∴PA∪B=PA+PB−PAB=0.5+0.3−0.2=0.6 .
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，圆柱的体积，属于基础题.
利用斜二测画法得到原图矩形ABCD中， AB=BC=2π ，从而求出圆柱的高，底面半径，从而求出圆柱的体积.
【解答】
解：由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中， AB=BC=2π ，所以该圆柱的高为 2π ，
底面半径为 2π2π=1 ，故该圆柱的体积为 π×12×2π=2π2 .
故选：B
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间线面位置关系，属于基础题.
根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.
【解答】
解：对于A选项，若 m//α ， n⊂α ，则 m//n 或异面，故A选项错误；
对于B选项，若 m//n ， m⊥α ，则 n⊥α ，故B选项正确；
对于C选项，若 m⊥n ， m//α ，则 n//α 或 n⊂α 或相交，故C选项错误；
对于D选项，若 α⊥β ， m⊥α ，则 m//β 或 m⊂β ，故D选项错误；
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查统计图，属于基础题.
根据统计图一一分析即可.
【解答】
解：对于选项A，由扇形统计图及折线图可知， 8%×6000<20%×3500 ，
故不小于 54 周岁人群参保总费用最少，故A错误；
对于选项B，由扇形统计图可知， 30 周岁以下参保人群约占参保人群的 20% ，故B正确；
对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占 8% ，人数最小，故C正确；
对于选项D，由柱状图可知，丁险种最受参保人青睐，故D正确；
故选：A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其概率计算，互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断，属于一般题.
先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误.
【解答】
解：由题意可知，先后抛掷两次骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6 ，则 P1=636=16 ；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：
1,4,2,3,3,2,4,1 ，则 P2=436=19 ；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：
1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1 ，则 P3=636=16 ；
对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；
对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；
对于C，甲乙同时发生的概率为 P4=136≠P1P2 ，C错误；
对于D，甲丙同时发生的概率为 P5=136=P1P3 ，D正确.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影向量，向量的数量积与向量的垂直关系，属于一般题.
先求 b ，再求与向量 b 同向的单位向量和cs ⟨a,b⟩，最后由投影向量定义可得.
【解答】
解：由题知 b= 1+3=2 ，与向量 b 同向的单位向量为 bb=(12, 32)
因为 a⊥a+b ，所以 a⋅a+b=a2+a⋅b=1+2cs⟨a,b⟩=0 ，得 cs⟨a,b⟩=−12
所以向量 a 在向量 b 上的投影向量为|a|cs ⟨a,b⟩⋅bb =−12(12, 32)=(−14,− 34) .
故选：D
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的截面问题，正四面体的外接球，属于一般题.
根据题意，根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于外接球的直径，即可求出球的半径 R ，当过点 E 的截面到球心 O 的距离最大为 d= 62 时，截面圆的面积达最小值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.
【解答】
解：如图所示，球 O 为正四面体 ABCD 的外接球，即为正方体的外接球，
正四面体 ABCD 的体积为 2 6 ，
设正四面体 ABCD 的棱长为 2a ，则正方体的棱长为 a ，
所以 a3−4×13×12×a2×a=2 6 ，解得 a= 6 ，
设正四面体 ABCD 的外接球的半径为 R ，则 2R2= 62+ 62+ 62 ，
解得 R=3 22 ，
因为 E 为棱 AB 的中点，过点 E 作其外接球的截面，当截面到球心 O 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心 O 到截面距离等于正方体棱长的一半，即 d= 62 ，
可得截面圆的半径为： r= R2−d2= 3 222− 622= 3 ，
所以截面圆的面积最小值为： S=πr2= 32π=3π .
故选：B
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，共轭复数，复数的运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
对于A，根据复数虚部的定义判断，对于B，通过计算判断，对于C，利用两点间的距离公式分析判断，对于D，通过计算判断.
【解答】
解：对于A，由z=12− 32i，得z=12+ 32i，
所以z的虚部为 32，所以A错误，
对于B，因为z+z=12− 32i+12+ 32i=1，z= 122+− 322=1，
所以z+z=z，所以B正确，
对于C，因为平面内z和z分别对应的点为12,− 32和12, 32，
所以这两个点间的距离为 12−122+− 32− 322= 3，
所以C错误，
对于D，因为z2+z=12− 32i2+12+ 32i=14− 32i+34i2+12+ 32i=0，
所以D正确，
故选：BD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象与性质，属于一般题.
根据函数的性质求出A、φ，得到函数解析式，再根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【解答】
解：因为fx=Asin2x+φ(A>0,0<φ<π)的最大值为3，所以A=3，
因为fx的图象关于直线x=π6对称，所以2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，所以φ=π6+kπ，k∈Z，
又因为0<φ<π，所以φ=π6，所以fx=3sin2x+π6，则函数fx的最小正周期T=2π2=π，故A错误；
fπ3=3sin2×π3+π6=3sinπ2+π3=3csπ3=32，故B正确；
f−π12=3sin−π6+π6=3sin0=0，所以fx关于−π12,0对称，故C正确；
当x∈π6,π2，则2x+π6∈π2,7π6，因为y=sinx在π2,3π2上单调递减，
所以函数fx在π6,π2上单调递减，故D正确；
故选：BCD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算，共线定理，平面向量基本定理，属于一般题.
根据平面向量的线性运算及共线定理判断即可.
【解答】
解：对于A：当x=y=12，则AP=AB+12AC
，即AP−AB=12AC，即BP=12AC，
所以BP//AC，故A错误；
对于B：若点P是边BC上靠近B点的三等分点，所以BP=13BC，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
又AP=2xAB+yAC，且AB、AC不共线，
所以x=y=13，故B正确；
对于C：若2x+y=2，则y=2−2x，
所以AP=2xAB+yAC=2xAB+2−2xAC，
如图延长AB到点D使得AB=BD，
延长AC到点E使得AC=CE，
则AD=2AB，AE=2AC，
所以AP=xAD+1−xAE，
所以D、P、E三点共线，
又BC为三角形ADE的中位线，所以A、P到BC的距离相等，
所以S△ABC=S△PBC，故C正确；
对于D：取BC的中点M，所以AM=12AB+12AC，
又点P在BC边的中线上，设AP=λAM，
所以AP=λAM=12λAB+12λAC，
又AP=2xAB+yAC，所以y=12λ2x=12λ，
又2x+y=12，所以λ=12，即AP=12AM，
此时P为AM的中点，因此点P不是△ABC的重心，故D错误；
故选：BC
12.【答案】AC
【解析】【分析】
延长FE交CC1延长线于H，连接AH∩A1C1=G，过点E作EM⊥A1B1交A1B1于点M，根据VA1−AEF =VE−A1AF 及锥体的体积判断A；用B1F长表示C1G长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；取A1B1上靠近点B1的四等分点M，依题意A1F⊥AE，只要A1F⊥AM即可，推出矛盾，即可判断D.
【解答】
解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=CC1=2，E为B1C1的中点，有AB=2 2，
延长FE交CC1延长线于H，连接AH∩A1C1=G，如图1，令B1F=x∈[0,2]，
于是HC1C1E=tan∠HEC1=tan∠FEB1=B1FB1E，即HC1=x，由C1G//AC，得C1GAC=HC1HC，即C1G=2xx+2，
对于A，因为E为B1C1的中点，△A1B1C1为等腰直角三角形，
过点E作EM⊥A1B1交A1B1于点M，则EM= 22B1E= 22，
又直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，且平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
EM⊂平面A1B1C1，所以EM⊥平面AA1B1B，
又四边形AA1B1B为矩形，F在B1B上，所以S△AA1F=12AA1⋅A1B1=12×2×2 2=2 2
所以VA1−AEF =VE−A1AF =13EM⋅S△AA1F=13× 22×2 2=23，故A正确；
对于B，显然C1G=2(x+2)−4x+2=2−4x+2在x∈[0,2]上单调递增，所以0≤C1G≤1，故B错误；
对于C，当点F与点B重合时，如图，x=2，C1G=1，CH=4，
四棱锥C−AFEG即C−ABEG的体积：
VC−ABEG=VE−ACB+VE−ACG=13S△ABC⋅BB1+13S△ACG⋅EC1
=13×12×2×2×2+13×12×2×2×1=2，故C正确；
对于D：取A1B1上靠近点B1的四等分点M，又A可知AM即AE在平面ABB1A1内的射影，
要使A1F⊥AE，只要A1F⊥AM即可，
若A1F⊥AM，设A1F∩AM=I，则∠FA1M+∠A1MI=90∘，又∠A1AM+∠A1MI=90∘，
所以∠FA1M=∠A1AM，所以△AA1M∽A1B1F，
则A1MAA1=B1FA1B1，解得B1F=3，不合题意，
所以不存在点F，使得A1F⊥AE，故D错误；
故选：AC
13.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题.
根据分层抽样按比例抽取计算即可
【解答】
解：由题意，在大一青年志愿者中应选派 24×5050+40+30=10 人.
故答案为： 10
14.【答案】−34
【解析】【分析】
本题考查二倍角正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
根据同角三角函数关系式求得 tanθ 的值，再根据二倍角正切公式求得 tan2θ 的值.
【解答】
解：因为 θ 是第三象限角，且 csθ=− 1010 ，
所以 sinθ=− 1−cs2θ=−3 1010 ，则 tanθ=sinθcsθ=3 ，
所以 tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×31−32=−34 .
故答案为： −34 .
15.【答案】20 63
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，属于一般题.
先在 △BCD 中，利用正弦定理求出 BC ，然后利用锐角三角函数可求出 AB .
【解答】
解：在 △BCD 中，
∠BCD=75∘ ， ∠BDC=45∘ ，
则 ∠DBC=180∘−∠BCD−∠BDC=180∘−75∘−45∘=60∘ ，
由正弦定理得 CDsin∠DBC=BCsin∠BDC ，
代入，得 20 3sin45∘=BC⋅sin60∘ ，
解得 BC=20 2 ，
在 Rt△ABC 中， ∠ACB=30∘ ， tan∠ACB=ABBC ，
所以 AB=BCtan∠ACB=20 2tan30∘=20 2× 33=20 63 ，
所以塔高 AB=20 63m ，
故答案为： 20 63
16.【答案】0,43
【解析】【分析】
利用正弦定理得到 a=1sinB ， c=2sinCsinB ，则 BA⋅BC=accsB=2sinCcsBsin2B ，再转化为关于 B 的三角函数，由三角形为锐角三角形求出 B 的取值范围，结合二次函数的性质计算可得.
【解答】
解：设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ，
代入已知条件，得 asin30∘=2sinB=csinC ，
所以 a=1sinB ， c=2sinCsinB ，
所以 BA⋅BC=accsB=2sinCcsBsin2B
=2sinπ6+BcsBsin2B
=2sinπ6csB+csπ6sinBcsBsin2B
=cs2B+ 3sinBcsBsin2B
=1+ 3tanBtan2B=1tan2B+ 3tanB ，
因为 △ABC 为锐角三角形，
所以 0
令 t=1tanB ，则 0
显然 ht 在 0, 33 上单调递增，
则02+ 3×0
所以 BA⋅BC 的取值范围为 0,43 .
故答案为： 0,43
17.【答案】解：(1)因为向量 m=2b, 3 ， n=c,sinC ，且 m//n ，
所以 2bsinC= 3c ，由正弦定理可得 2sinBsinC= 3sinC ，
因为 sinC>0 ，所以 sinB= 32 ，
又 B∈0,π2 ，所以 B=π3 .
(2)因为 △ABC 的面积为 3 32 ，
即 12acsinB=3 32 ，
又 B=π3 ， a=3 ，解得 c=2 ，
所以 BM=1 ，在 △BCM 中 CM2=BC2+BM2−2BM⋅BCcsB
=32+12−2×3×1×12=7 ，
所以 CM= 7 .
【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于一般题.
(1)由向量共线的坐标表示得到 2bsinC= 3c ，再由正弦定理将边化角，即可得解；
(2)由面积公式求出 c ，即可得到 BM=1 ，再由余弦定理计算可得.
18.【答案】解：(1)证明：取 BE 的中点 G ，连接 AG 、 FG ，因为 F 为 CE 中点，
所以 GF//BC 且 GF=12BC ，又 AD//BC ， AD=1 ， BC=2 ，
即 AD//BC 且 AD=12BC ，
所以 AD//GF 且 AD=GF ，
所以四边形 ADFG 为平行四边形，
所以 AG//FD ，
又 AG⊂ 平面 EAB ， DF⊄ 平面 EAB ，
所以 DF// 平面 EAB .
(2)因为 AD⊥AB ， AD//BC ，
所以 AB⊥BC ， S△BCD=12×2×1=1 ，
又 AE⊥ 平面 ABCD ，
所以 VE−BCD=13×2×1=23 ，
因为 AD⊥AB ， AD=AB=1 ，
所以 BD= AD2+AB2= 2 ，
由 AE⊥ 平面 ABCD ， AB,AD⊂ 平面 ABCD ，所以 AE⊥AB ， AE⊥AD ，
又 EA=2 ， AD=AB=1 ，
所以 EB=ED= 22+12= 5 ，
所以 S△BED=12× 2× 52− 222=32 ，
设点 C 到平面 BDE 的距离为 h ，
则 VC−BDE=VE−BCD=13×32h=23 ，
解得 h=43 .
【解析】本题考查线面平行的判定，点到平面的距离，属于一般题.
(1)取 BE 的中点 G ，连接 AG 、 FG ，即可得到四边形 ADFG 为平行四边形，从而得到 AG//FD ，即可得证；
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
19.【答案】解：(1)因为 20×75%=15 ，
所以这 20 个数据的第 75 百分位数是从小到大排列的第 15 和第 16 个数的平均数，即 85+862=85.5 ，
即甲社区 20 名居民打分的第 75 百分位数为 85.5 .
(2)由频率分布直方图可知，乙社区 20 名居民打分的平均分为：
55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.15=77 .
(3)甲社区打分不低于 90 分的有 2 人记作 A 、 B ，
乙社区打分不低于 90 分的有 0.015×10×20=3 人，记作 a 、 b 、 c ，
从中任选 2 人的可能结果有 AB 、 Aa 、 Ab 、 Ac 、 Ba 、 Bb 、 Bc 、 ab 、 ac 、 bc 共 10 个可能情况，
其中满足 2 人不在同一社区的有 Aa 、 Ab 、 Ac 、 Ba 、 Bb 、 Bc 共 6 个可能情况，
所以 2 人不在同一社区的概率 P=610=35 .
【解析】本题考查百分位数、平均数的计算，古典概型及其计算，属于一般题.
(1)根据百分位数计算规则计算可得；
(2)根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
(3)利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.
20.【答案】解：(1)由题意得 fx=a⋅b= 3sinx2csx2+cs2x2
= 32sinx+1+csx2=sinx+π6+12 ，
将 fα=23代入 ，得 sinα+π6+12=23 ，
即 sinα+π6=16 ，故 csπ3−α=csπ2−α+π6=sinα+π6=16 .
(2)由题意得 gx=sin[2(x−π6)+π6]+12=sin2x−π6+12 ，
若 x∈0,512π ，则 2x−π6∈−π6,23π ，
所以 sin2x−π6∈−12,1 ，所以 g(x)∈[0,32] ，
当函数 y=gx−k 在 0,512π 上有零点时，实数 k 的取值范围为 [0,32] .
【解析】本题考查正弦型函数的零点，正弦型函数的图象变换，三角恒等变换、向量数量积的应用，属于一般题.
(1)应用数量积的坐标运算并结合三角恒等变换可得 fx 的表达式，代入 fα=23 可得 sinα+π6=16 ，利用诱导公式化简求值，得出答案.
(2)根据三角函数图象的变换规律可得 y=gx 的表达式，结合x的范围求得 y=gx 的值域，进而求得答案.
21.【答案】解：(1)设事件 A 为“第三局结束甲获胜”，
由题意知，甲每局获胜的概率为 12 ，不获胜的概率为 12 .
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
故 PA=12×12×12+12×12×12=14 .
(2)由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为 13 ，
平的概率为 1−12−13=16 ，负的概率为 12 ，
设事件 B 为“乙最终以 2 分获胜”．
若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率 P1=13×13=19 .
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜).
此时的概率 P2=13×23×13+23×13×13=427 .
若第四局结束乙以 2 分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：
(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，
(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜).
此时的概率 P3=13×16×16×13×3+13×16×12×13×6=7108
故 PB=P1+P2+P3=19+427+7108=35108 .
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于一般题.
(1)对甲来说共有两种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜)，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
(2)以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
22.【答案】解：(1)证明：在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，
则O为BD的中点，AC⊥BD，
在三棱锥G−ABC中，AC⊥OG，AC⊥OB，
OG∩OB=O，OG,OB⊂平面BOG，
所以AC⊥平面BOG，
又BG⊂平面BOG，所以AC⊥BG.
(2)在菱形ABCD中，连接EF交AC于点H，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF//BD且EF=12BD，所以EF⊥AC，
在三棱锥G−ABC中，EH⊥AC，FH⊥AC，
所以∠FHE是二面角G−AC−B的平面角，
即∠FHE=α，
过M作MM1⊥EH于点M1，过M作MM2⊥FH于点M2，
因为AC⊥平面EFH，MM1⊂平面EFH，
所以AC⊥MM1，
又EH⊥MM1，AC∩EH=H，AC,EH⊂平面ABC，
所以MM1⊥平面ABC，
同理可证MM2⊥平面ACG，
所以MM1、MM2分别为三棱锥M−ABC、M−AGC的高，
因为菱形ABCD边长为4，∠ABC=60∘，
所以OD=OB=2 3，所以FH=EH= 3，
在△EFH中EF2=EH2+FH2−2EH⋅FHcsα=6−6csα，
所以EF= 6−6csα=2 3sinα2，
因为∠HEF=∠HFE=π−α2，
所以MM1=MEsinπ−α2=MEcsα2，MM2=MFsinπ−α2=MFcsα2
所以MM1+MM2=MEcsα2+MFcsα2=EFcsα2=2 3sinα2csα2= 3sinα，
所以V=13S△ABC×MM1 +13S△ACG×MM2
=13S△ABC×MM1 +MM2
=13×4 3× 3sinα=4sinα，
因为α∈0,π，所以当α=π2时，V取最大值4.
【解析】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，第二问解答的关键是用α的式子表示出MM1、MM2，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算出体积最大值.
(1)在菱形ABCD中连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，即可得到AC⊥OG，AC⊥OB，从而得到AC⊥平面BOG，即可得证；
(2)在菱形ABCD中，连接EF交AC于点H，即可得到∠FHE是二面角G−AC−B的平面角，即∠FHE=α，过M作MM1⊥EH于点M1，过M作MM2⊥FH于点M2，即可得到MM1⊥平面ABC，MM2⊥平面ACG，则MM1、MM2分别为三棱锥M−ABC、M−AGC的高，即可用α表示出MM1，MM2，再由锥体的体积公式及二倍角公式计算可得.
相关试卷
New”2022-2023学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）： 这是一份New”2022-2023学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
New”2022-2023学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）： 这是一份New”2022-2023学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省威海市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）： 这是一份2022-2023学年山东省威海市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
