2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷

1.     下列方程属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.     如图，MN为的弦，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.     已知关于x的方程的一个根为2，则另一个根是(    )

A.  B.  C. 3 D. 6

6.     如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：
   ①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④；⑤
   其中正确结论有(    )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

7.     抛物线的对称轴是______.
8.     粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为______支．
9.     已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______.
10. 将抛物线向左移一个单位后，那么新的抛物线的表达式是______.
11. 已知一元二次方程：的两个根分别是、，则______ .
12. 如图，于E，若的半径为10，，则______.

13. 如图，AB是的直径，，，则的度数是______ .

14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是______.
15. 如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为______.

16. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕能转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于，…，如此进行下去，直至得到，若顶点在第2021段抛物线上，则______.

17. 用适当的方法解一元二次方程．
    
     
18. 疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
    
    根据所给信息填空：

八年级说他们的最高分人数高于七年级，所以他们的决赛成绩更好，但是七年级说他们的成绩更好，请你说出2条支持七年级的理由．

19. 现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有，，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为
    用列表法或画树状图法列举的所有可能结果．
    若将m，n的值代入二次函数，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
20. 已知二次函数
    用配方法求出顶点坐标；
    求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
    在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当时，x的取值范围．

21. 如图，，分别切AB、BM于点D、切于点F，交BM于点与B不重合
    用直尺和圆规作出AC；保留作图痕迹，不写作法
    若半径为1，，求AC的长．

22. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积弦矢+矢如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．
    计算弧田的实际面积；
    按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与中计算的弧田实际面积相差多少平方米？取近似值为3，近似值为

23. 已知关于x的一元二次方程
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
24. 如图，在中，，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，
    试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
    若，，求阴影部分的面积结果保留

25. 随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
    每天增长的百分率是多少？
    经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
26. 如图所示，已知在中，AB是的直径，弦于D，F是上的点，且，BF交CG于点E，求证：
     

27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴的交点为B、C，直线l：与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
    
    求抛物线的函数表达式；
    过点P作线段轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
    把抛物线绕点O旋转，再向上平移使得新抛物线过中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：顶点式，顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是
故选：
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由题意知，，
，
故选：
根据方程有实数根，得出，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及一元二次方程的意义．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，
，

，
故选：
根据半径相等得到，则，然后根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等是解题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得，解得，
即方程的另一个根是
故选：
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

6.【答案】C 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，

抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，①正确．
抛物线与x轴交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与x轴另一交点为，
当时，，②正确．
，抛物线开口向下，
，③错误．
，
，
时，，
，
，
解得，
④正确，
时，，
，⑤正确．
故选：
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得，再根据时及可判断④，根据时可判断⑤．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】直线 

【解析】解：，
抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线
先将抛物线化为顶点式，然后得到对称轴．
本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟知函数的顶点式，本题也可以利用函数的对称轴公式求得结果．
 

8.【答案】15 

【解析】解：根据题意知，粉笔总数量为支，
则彩色粉笔的数量为支，
故答案为：
用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面圆半径为4，
圆锥的底面圆周长，
则圆锥的侧面积为，
故答案为：
根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．
此题主要考查了圆锥侧面积的计算、圆锥的侧面展开图．掌握扇形面积公式是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左移一个单位后，得到新的抛物线，
新的抛物线的表达式是：，即
故答案为：
直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以
故答案为
根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入思想计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，
 

12.【答案】16 

【解析】解：连接OB，

，
，
在中，，，
，

故答案为：
先连接OB，由于可知，在中利用勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，

又，
，

故答案为：
由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，y的值随x值的增大而增大，

故答案为：
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，
与是等边三角形，
圆的半径为2，
，，
，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：
根据题意得到图中阴影部分的面积，代入数据即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．
 

16.【答案】4041 

【解析】解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：，
第2段抛物线的顶点坐标为：，
第3段抛物线的顶点坐标为：，
第4段抛物线的顶点坐标为：，
故第2021段抛物线的顶点为：，
，
故答案为：
根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律．
本题考查数字规律问题，解题的关键是正确找出抛物线顶点的规律，本题属于中等题型．
 

17.【答案】解：，
移项，得，
提公因式，得，
则或，
，；
，
移项，得，
配方，得，
则，
，
， 

【解析】利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
利用配方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

18.【答案】85 70 85 100 

【解析】解：七年级5位选手的成绩为75、80、85、85、100，
其中位数为85分，方差为，
八年级5位选手的成绩为70、75、80、100、100，
所以其平均数为分，众数为100分，
故答案为：85、70、85、100；
①七年级成绩的方差小于八年级，成绩比八年级稳定；
②七年级的中位数比八年级高，所以七年级成绩好一些．
根据中位数、方差、平均数及众数的定义求解即可；
根据方差和中位数的意义求解即可．
本题主要考查中位数、方差、平均数及众数，解题的关键是掌握、方差、平均数及众数的定义，方差和中位数的意义．
 

19.【答案】解：画树状图如下：

共有20种可能的结果；
共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，
二次函数顶点在坐标轴上的概率为 

【解析】画出树状图即可；
共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及二次函数的性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：因为，
所以抛物线的顶点坐标为；

当时，，
解得，，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为，；

函数图象如图：

由图象可知，当时， 

【解析】把通过配方得到，从而得到抛物线的顶点坐标；
通过解方程得该二次函数与x轴的交点坐标；
利用描点法画出二次函数图形，然后利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

21.【答案】解：如图，直线AC即为所求．


连接OE，
分别切AB、BM于点D、E，
，
，
四边形OEBD是矩形，
，
四边形OEBD是正方形，
，
，
、AB、BC都是的切线，
，，
设，则，，
在中，，
，
，
 

【解析】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
以A为圆心，AD为半径画弧交于F，作直线AF交BM于点C，直线AC即为所求．
设，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
 

22.【答案】解：，OD为半径，
，
，
在中，，
设，则，
，
解得：或不符合题意，舍去，
，
弧田的实际面积

，
弧田的实际面积为；
圆心到弦的距离等于1，
矢长为1，
弧田面积
，
两者之差为：

 

【解析】扇形AOB的面积减去的面积就是弧田的实际面积；
先根据弧田面积弦矢+矢计算出弧田的面积，再与中的结果相减，即可相差的值．
本题考查了扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，
方程总有两个实数根；
，
，
，
方程两个根的绝对值相等，

或 

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：直线BC与相切；
理由如下：
连接OD，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
而OD为半径，
为的切线；
，，
，
在中，，
阴影部分的面积

 

【解析】连接OD，如图，证明，则可判断，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定定理得到BC为的切线；
先利用圆周角定理得到，再根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算．
本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离也考查了扇形的面积公式．
 

25.【答案】解：设每天增长的百分率是x，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每天增长的百分率是
设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意舍去
答：应该增加5条生产线． 

【解析】设每天增长的百分率是x，利用第三天的产量=第一天的产量每天增长的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天，根据该厂要保证每天生产口罩3900万个，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要节省投入，即可得出应该增加4条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：连接BC，

是直径，弦于点D，
，
，
，
，
 

【解析】连接BC，根据垂径定理得到，等量代换得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
本题考查了圆心角，弦，弧，等腰三角形的判断，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：直线1：与抛物线相交于点C，
点坐标为，
把，代入函数解析式得：
，解得，
抛物线的函数表达式
设，
轴，
纵坐标为，
点M在直线l：上，
，
，
当时PM最大，最大值，此时P点坐标
抛物线的函数表达式，
顶点坐标，与x轴的交点，，
把抛物线绕点O旋转，
旋转前后对应点关于原点对称，
新抛物线的项点为，与x轴的交点为，，
设新抛物线解析式为，
向上平移使得新抛物线过中的点，
设平移后解析式为，
，解得，
平移后解析式为，
是平移后抛物线与y轴的交点，
，
为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
设，，
以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，
线段BE可能是对角线也可能是边，
①当BE是对角线时，
菱形BFEG对角线BE，FG互相垂直平分，
，，
的中点坐标为，
的中点坐标也是FG的中点，
，
，
，
解得：，即G点坐标；
②当BE为边长时，，
由距离公式得，，
解得：，
菱形BFGE对角线互相垂直平分，
由中点坐标公式可得，或；
综上，满足题意的点G的坐标为：或或 

【解析】先求出C点坐标为，再把，代入函数解析式，求解即可；
设，因为轴且点M在直线l：上，所以，则，再根据二次函数的最值求法求解即可；
因为抛物线的函数表达式，所以顶点坐标，与x轴的交点，，由旋转可得，新抛物线的项点为，与x轴的交点为，，所以设新抛物线解析式为，因为向上平移使得新抛物线过中的点，设平移后解析式为，所以，解得，所以平移后解析式为，所以；设，，若以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，则需要分线段BE是对角线或BE是边两种情况，分别根据菱形的性质求解即可．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、菱形的性质及应用等知识，解题的关键是利用菱形对角线互相平分列方程组解决问题．