2023-2024学年江苏省盐城市盐都区、亭湖区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市盐都区、亭湖区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. x3+1=x2B. x2+x−1=0C. x−3=0D. x+1x−4=0
2.已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. P在圆内B. P在圆上C. P在圆外D. 无法确定
3.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖．有11位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自已的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这1名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是( )
A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数
4.已知x1与x2分别为方程x2+2x−3=0的两根，则x1+x2的值等于( )
A. −2B. 2C. −32D. 32
5.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠AOB的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 65°
6.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )
A. ABBC=ADCD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ∠ACD=∠B
D. AC2=AD·AB
7.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=x2−2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
8.在比例尺为1：38000的扬州旅游地图上，某条道路的长为5cm，则这条道路实际长______km．
9.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是____．
10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=60°，则AC的长为______．
11.如图，△ABC的中线AD，CE交于点G，若AD=6，则AG的长是______．
12.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为______cm(精确到0.1)．
13.圆锥的母线长为7cm，侧面积为21πcm2，则圆锥的底面圆半径r=______cm．
14.将抛物线y=x2+x向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是______．
15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，连接AC，BC，且∠ACB=90°，D为线段BC的中点，将线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=−20x1+1500(0(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
四、解答题：本题共10小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：x2+3x−1=0(公式法)
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根等于−1，求k的值．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，BD=2 3，求图中阴影部分的面积．
20.(本小题8分)
某中学七年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次被抽查的学生有______名；
(2)“很少”所占的百分比a= ______，“常常”对应扇形的圆心角为______；
(3)请你补全条形统计图：
(4)若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？
21.(本小题8分)
为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A.“垃圾分类入户宣传”、B.“消防安全知识宣传”、C.“走访慰问孤寡老人”、D.“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题．
(1)志愿者小李选取A.“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是______．
(2)志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
22.(本小题10分)
已知二次函数的图象的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别是(−1,0)、(0,32).
(1)请在平面直角坐标系内画出示意图；
(2)求此图象所对应的函数关系式；
(3)若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2)．
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
(2)这个圆的半径为______；
(3)直接判断点D(5,−2)与⊙M的位置关系.点D(5,−2)在⊙M ______(填内、外、上)；
(4)在方格中，连接AB，AC，BC，将△ABC以原点O为位似中心，缩小为原来的12，请画出缩小后的图形△A1B1C1．
24.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED/​/AC，连接CD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=12，OP：AP=1：2，求PC的长．
25.(本小题12分)
如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，则∠B= ______°；
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，若AD是∠BAC的平分线，
①判断：△ABD ______(填“是”或“不是”)“准互余三角形”；
②试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长，若不存在，请说明理由；
(3)如图，已知抛物线y=ax2+5ax+4a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若△ABC为“准互余三角形”，求抛物线的解析式．
26.(本小题14分)
已知，正方形ABCD，边长为4，点F是边AB、BC上一动点，以DF为直径作⊙O，
(1)当点F在边AB上时(如图1)
①求证：点O在边AD的垂直平分线上；
②如图2，若⊙O与边BC相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，(不写作法，保留作图痕迹)，并求出AF的长；
③如图3，点F从点A运动到点B的过程中，若H始终是FHD的中点，写出H点运动的轨迹并求出路径长；
(2)当点F在边BC上时(如图4)，若H始终是FHD的中点，连接CH，CHFC=12，连接FH，求：△FCH的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵r=4，d=4.5，
∴d>r，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
根据：①点P在圆外⇔d>r.②点P在圆上⇔d=r.③点P在圆内⇔d本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为5位获奖者的分数肯定是11名参赛选手中最高的，
而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后共有5个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：C．
由于比赛设置了5个获奖名额，共有11名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】A
【解析】解：∵x1与x2分别为方程x2+2x−3=0的两根，
x1+x2=−2．
故选：A．
根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根据根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
故选：C．
利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，三角形面积和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：A、若ABBC=ADCD，不能判定△ACD与△ABC相似，当ABBC=ACCD，结合∠A=∠A可判定△ACD与△ABC相似，故A选项符合题意；
B、若∠ADC=∠ACB，结合∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，故B选项不符合题意；
C、若∠ACD=∠B，结合∠A=∠A可得△ACD∽△ABC；故C选项不符合题意；
若AC2=AD·AB，即ACAD=ABAC，结合∠A=∠A可得△ACD∽△ABC；故D选项不符合题意；
故选：A．
根据相似三角形的判定逐一判断即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．
7.【答案】B
【解析】解：∵y=x2−2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∵1−(−2)>2−1>1−1，
∴y1>y3>y2．
故选：B．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8.【答案】1.9
【解析】解：根据题意得：
5÷138000=190000(厘米)，
190000厘米=1.9千米．
故答案为：1.9．
根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
9.【答案】23
【解析】解：在这6个数字中，小于5的有4个，
∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是46=23，
故答案为：23．
直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10.【答案】2 3
【解析】解：∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，则AC=2AM，∠AOM=12∠AOC=60°，如图，
∴AM=OA⋅sin60°= 3，
∴AC=2AM=2 3．
故答案为：2 3．
连接AC、OA、OC，过点O作OM⊥AC，由AM=OA⋅sin60°可求结果．
本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵△ABC的中线AD，CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴AG=23AD=23×6=4，
故答案为：4．
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．
本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．
12.【答案】2.5
【解析】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，
由题意得，x：4= 5−12，
解得，x=2 5−2≈2.5，
故答案为：2.5．
设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为 5−12列式计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为 5−12是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：根据题意得12×2π×r×7=21π，
即得r=3，
所以圆锥的底面圆半径r为3cm．
故答案为3．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到12×2π×r×7=21π，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】y=(x−52)2−14
【解析】解：∵y=x2+x=(x+12)2−14，
∴将抛物线y=x2+x向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是y=(x+12−3)2−14，即y=(x−52)2−14，
故答案为：y=(x−52)2−14．
根据“左加右减”的法则解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．
15.【答案】1+ 17
【解析】解：取AB中点F，连接CF.过点B作BG⊥AB．
使BG=12BF=12×12AB=14×4=1．
连接EG，AG．
∵∠ACB=90°，F是AB中点，
∴CF=12AB=12×4=2．
∵∠EBC=90°，∠GBA=90°，
∴∠EBG=90°−∠GBD，
∠GBF=90°−∠GBD．
∴∠EBG=∠CBF．
∴BFBC=12．BGBF=12．
∴△BFC～△BGE．
∴EGCF=BEBC=12．
∴EG=12CF=1．
∵∠GBA=90°．
∴由勾股定理得：GA= AB2+BG2= 42+12= 17．
当E，G，A三点共线时，AE最大，
∴AE=FG+GA=1+ 17．
故答案为：1+ 17．
取AB中点F，连接CF.过点B作BG⊥AB.连接EG，AG.证明△BFC～△BGE.由勾股定理求出GA，当E，G，A三点共线时，AE最大．
本题考查了旋转的性质，解题关键在于了解旋转的性质．
16.【答案】解：(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，
由题意得，x⩾11920−x①−20x+1500⩾1200②,
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
(2)设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y2=−10x2+1300=−10(20−x)+1300=10x+1100，
则W=(1760−y1)x1+(1700−y2)x2
=1760x−(−20x+1500)x+(1700−10x−1100)(20−x)
=1760x+20x2−1500x+10x2−800x+12000
=30x2−540x+12000
=30(x−9)2+9570，
当x>9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30(15−9)2+9570=10650(元)，
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【解析】(1)设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为(20−x)台，然后根据题意列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
(2)设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，(1)关键在于确定出两个不等关系，(2)难点在于列出利润的表达式．
17.【答案】解：∵a=1，b=3，c=−1
△=b2−4ac=13>0
∴x=−b± b2−4ac2a=−3± 132
x1=−3+ 132，x2=−3+ 132．
【解析】根据公式法，可得方程的解．
本题考查了解一元二次方程，利用公式法是解题关键，要用根的判别式．
18.【答案】(1)证明：∵Δ=(k+5)2−4(6+2k)
=k2+2k+1
=(k+1)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
(2)解：∵x=k+5±(k+1)2，
∴x1=2，x2=k+3，
∵此方程恰有一个根等于−1，
∴k+3=−1，
解得k=−4，
即k的值为−4．
【解析】(1)计算根的判别式得到Δ=(k+1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)解方程得到x1=2，x2=k+3，则k+3=−1，求出k的值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
19.【答案】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD=2 3，
∵∠BOC=2∠BDC=60°，OB=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB=OC=BC=BD=OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OD//BC，
∴S阴影部分=S扇形OBC，
=60π×(2 3)2360
=2π．
答：阴影部分的面积为2π．
【解析】根据圆周角定理、菱形的判定和性质以及等边三角形的判定可求出圆的半径以及圆心角度数，再根据平行线的性质将阴影部分转化为扇形BOC即可．
本题考查扇形面积的计算，圆周角定理、菱形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法，圆周角定理、菱形的判定和性质是正确解答的关键．
20.【答案】200 12% 108°
【解析】解：(1)本次被抽查的学生有：44÷22%=200(名)，
故答案为：200；
(2)很少”所占的百分比a=24200×100%=12%；
“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．
故答案为：12%；108°；
(3)200×30%=60(名)，
补全条形统计图如下：
(3)∵3000×72200=1080(名)，
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1080名．
(1)首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；
(2)根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可；
(3)求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可；
(4)用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，
∴小张和小李选择相同主题的概率为416=14．
【解析】【分析】
(1)直接根据概率公式求解即可；
【解答】
解：志愿者小李选取A.“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：
(1)∵对称轴为x=1，A为(−1,0)，
∴B为(3,0)，
∵C(0,32).
∴抛物线图象示意图如图所示：
(2)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵图象过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,32)三点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=32，
解得：a=−12b=1c=32，
∴抛物线解析式为：y=−12x2+x+32；
(3)根据题意可知当P为顶点时△ABP的面积最大，
∵y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2
∴其顶点坐标为(1,2)，
∵A(−1,0)、B(3,0)、
∴AB=4，，△ABP的AB边上的高为2，
∴S△ABP=12×4×2=4，
即△ABP面积的最大值为4．
【解析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握应用待定系数法的关键是点的坐标，在(3)中知道当P为顶点时△ABP的面积最大是关键．
(1)根据对称性可求得B点坐标为(3,0)，再根据A，B，C三点位置，可画出示意图；
(2)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可求得解析式；
(3)根据题意AB不变，则当点P离x轴距离越远，则△ABP的面积越大，可知点P为顶点，求得顶点坐标，再计算出△ABP的面积即可．
23.【答案】(2,0) 2 5 内
【解析】解：(1)连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点M，
则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
点M的坐标为(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(2)连接AM，
由勾股定理得，AM= 22+42=2 5，
∴这个圆的半径为2 5．
故答案为：2 5．
(3)连接DM，
由勾股定理得，DM= 32+22= 13，
∵ 13<2 5，
∴点D(5,−2)在⊙M内．
故答案为：内．
(4)如图，△A1B1C1即为所求．
(1)连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案．
(2)连接AM，利用勾股定理求出AM的值，即可得出答案．
(3)连接DM，利用勾股定理求出DM的值，与⊙M的半径作比较，即可得出结论．
(4)利用位似的性质作图即可．
本题考查作图−位似变换、垂径定理、点与圆的位置关系，熟练掌握位似的性质、垂径定理、点与圆的位置关系是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，

∵BD切⊙O于点B，
∴∠OBD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵ED/​/AC，
∴∠BOD=∠OAC，∠COD=∠OCA，
∴∠BOD=∠COD，
在△BOD和△COD中，
OB=OC∠BOD=∠CODOD=OD，
∴△BOD≌△COD(SAS)，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=12，AB是⊙O的直径，
∴OB=OA=6，
∵OP：AP=1：2，
∴OP=2，AP=4，
∵∠APC=90°，OC=6，
∴PC= OC2−OP2= 62−22=4 2．
【解析】(1)连接OC，证明△BOD≌△COD，可得∠OCD=∠OBD=90°，进而可得CD是⊙O的切线；
(2)根据AB=12，OP：AP=1：2，可得OP=2，AP=4，再根据勾股定理即可求PC的长．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及垂径定理，掌握直角三角形的边角关系，垂径定理以及切线的判定和性质是正确解答的关键．
25.【答案】20 是
【解析】解：(1)∵△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，
∴2∠B+∠A=90°，
解得：∠B=20°，
故答案为：20；
(2)①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
故答案为：是；
②在边BC上存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”，理由如下：
如图1，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴2∠B+∠BAE=90°，
∵∠B+∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠B，
∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，
∴ACBC=ECAC，
即34=EC3，
∴CE=94，
∴BE=BC−EC=4−94=74；
(3)已知抛物线y=ax2+5ax+4a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
令y=0，则0=ax2+5ax+4a=a(x+1)(x+4)，
解得：x1=−1，x2=−4，
∴A(−4,0)，B(−1,0)，
∴OA=4，OB=1，AB=3；
令x=0，则y=4a，
∴C(0,4a)，
∴OC=4a；
当2∠CAB+∠ACB=90°时，
如图2，
由(2)知，△OCB∽△OAC，
∴OCOA=OBOC，即OC4=1OC，
解得：OC=2，
∴4a=2，
解得：a=12，
此时抛物线解析式为y=12(x+1)(x+4)；
当∠CAB+2∠ACB=90°时，
又∵∠CAB+∠ACO=90°，
∴∠ACO=2∠ACB，
即CB是∠ACO的角平分线，
作BM⊥AC于点M，则BM=OB=1，
∴12AC⋅BM=12AB⋅OC，
即12× 42+OC2×1=12×3×OC，
解得：OC= 2，
∴4a= 2，
解得：a= 24，
此时抛物线解析式为y= 24(x+1)(x+4)；
综上，抛物线解析式为y=12(x+1)(x+4)或y= 24(x+1)(x+4)．
(1)根据“准互余三角形”的定义得2∠B+∠A=90°，即可得出答案；
(2)①由直角三角形的性质得∠B+∠BAC=90°，再由角平分线的性质得∠BAC=2∠BAD，则∠B+2∠BAD=90°，即可得出结论；
②证明△CAE∽△CBA，得ACBC=ECAC，求出CE=94，即可得出BE的长；
(3)分两种情况：2∠CAB+∠ACB=90°，∠CAB+2∠ACB=90°，然后进一步解答即可．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)①证明：如图1，

连接OA，
∴OA=OD，
∴点O在AD的垂直平分线上；
②解：如图2，

作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于G，连接DE，作DE的垂直平分线，交EF于O，
则点O就是求作的圆心，
设OD=OE=x，则OG=4−x，
∴x2−(4−x)2=22，
∴x=52，
∴DF=2OD=5，
∴AF= DF2−AD2= 52−42=3；
③解：如图3，

作AD的垂直平分线OV，交AD于V，在OV上截取VW=DV=2，连接DH，WH，
∵H是FHD的中点，
∴∠DOH=90°，DVDW=ODDH=1 2，∠VDW=∠ODH=45°，
∴∠DOV=∠WDH，
∴△DOV∽△DWH，
∴∠DWH=∠DVO=90°，
∴W、H在直线AC上，点H运动轨迹是线段WC，
∵W是正方形ABCD的中心，
∴WC= 22CD=2 2，
∴点H的运动路径长为：2 2；
(2)如图4，

链接DH，作HT⊥BC，交BC的延长线于T，
∵H是FHD的中点，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠HCT=∠FDH=45°，
∴CT=HT，
设CT=HT=x，则CH= 2x，CF=2CH=2 2x，
∴FT=CF+CT=(2 2+1)x，
∴FH2=TH2+FT2=(2 2+1)2x2+x2=(10+4 2)x2，
∴DF2=2(10+4 2)x2，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
(2 2x)2+42=2(10+4 2)x2，
∴x2=43+2 2，
∴S△FCH=12CF⋅FH=12×2 2x⋅x= 2x2= 2×43+2 2=12 2−16．
【解析】(1)①连接OA可得出OA=OD，进而得出结论；
②作BC的垂直平分线EF，交BC于E，交AD于G，连接DE，作DE的垂直平分线，交EF于O，则点O就是求作的圆心，设OD=OE=x，则OG=4−x，从而x2−(4−x)2=22，进而求得结果；
③AD的垂直平分线OV，交AD于V，在OV上截取VW=DV=2，连接DH，WH，可证得△DOV∽△DWH，从而∠DWH=∠DVO=90°，从而得出W、H在直线AC上，点H运动轨迹是线段WC，进一步得出结果；
(2)链接DH，作HT⊥BC，交BC的延长线于T，设CT=HT=x，则CH= 2x，CF=2CH=2 2x，从而FT=CF+CT=(2 2+1)x，进而得出DF2=2(10+4 2)x2，
在Rt△DCF中，可得出(2 2x)2+42=2(10+4 2)x2，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．