高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度优质导学案及答案

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7.1.2 弧度制








在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫做什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？





1．弧度制的概念


(1)角度制：规定周角的eq \f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．


(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．


思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？


[提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．


2．角度制与弧度制的换算


(1)角度制与弧度制的换算


(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系


(3)任意角的弧度数与实数的对应关系


正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．


思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？


[提示] 利用1°＝eq \f(π,180)rad≈0．017 45 rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57．30°进行弧度与角度的换算．


3．扇形的弧长公式及面积公式


(1)弧度制下的弧长公式：


如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r)，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|．





(2)扇形面积公式：


在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝eq \f(|α|,2π)·πr2＝eq \f(1,2)lr．


4．引入弧度制的意义


角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )


(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )


(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( )


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．将下列弧度与角度互化．


(1)－eq \f(2π,9)＝ ；


(2)2 rad≈ ；


(3)72°＝ ；


(4)－300°＝ ．


(1)－40° (2)114．6° (3)eq \f(2π,5) rad (4)－eq \f(5π,3) rad


[(1)－eq \f(2π,9) rad＝－eq \f(2,9)×180°＝－40°．


(2)2 rad＝2×eq \f(180°,π)≈114．6°．


(3)72°＝72×eq \f(π,180) rad＝eq \f(2π,5) rad．


(4)－300°＝－300×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(5π,3) rad．]


3．(一题两空)半径为1，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形的弧长为 ，面积为 ．


eq \f(2π,3) eq \f(π,3) [∵α＝eq \f(2π,3)，r＝1，∴弧长l＝α·r＝eq \f(2π,3)，


面积＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×1＝eq \f(π,3)．]








【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：


(1)－450°；(2)eq \f(π,10)；(3)－eq \f(4π,3)；(4)112°30′．


[思路点拨] 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．


[解] (1)－450°＝－450×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(5π,2) rad．


(2)eq \f(π,10) rad＝eq \f(π,10)×eq \f(180°,π)＝18°．


(3)－eq \f(4π,3) rad＝－eq \f(4π,3)×eq \f(180°,π)＝－240°．


(4)112°30′＝112．5°＝112．5×eq \f(π,180) rad＝eq \f(5π,8) rad．





角度制与弧度制换算的要点





提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．





eq \([跟进训练])


1．将下列角度与弧度进行互化．


(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5)．


[解] (1)20°＝eq \f(20π,180) rad＝eq \f(π,9) rad．


(2)－15°＝－eq \f(15π,180) rad＝－eq \f(π,12) rad．


(3)eq \f(7π,12) rad＝eq \f(7π,12)×eq \f(180°,π)＝105°．


(4)－eq \f(11π,5) rad＝－eq \f(11π,5)×eq \f(180°,π)＝－396°．


【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．





[思路点拨] 先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．


[解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))．


(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))．


(3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))．





表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.


提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.





eq \([跟进训练])


2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．





(1) (2)


[解] (1)由题图(1)，以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，


所以阴影部分内的角的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z))))．


(2)由题图(2)，以OA为终边的角为eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．


不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，


则M1＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z))．


所以阴影部分内的角的集合为


M1∪M2＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z))．


[探究问题]


1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？


[提示] 公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．


2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．


[提示] 已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝eq \f(1,2)lr；又如已知S，α，可利用S＝eq \f(1,2)|α|r2，求r，进而求l＝|α|r．


【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？


[思路点拨]





[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，


依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq \f(20－2r,r)．


由l＝20－2r>0及r>0得0

∴S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)·eq \f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r


＝－(r－5)2＋25(0

∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25．


此时l＝10，α＝2，


故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．





1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积．


[解] 设扇形弧长为l，因为72°＝72×eq \f(π,180) rad＝eq \f(2π,5)(rad)，


所以l＝αr＝eq \f(2π,5)×20＝8π(cm)，


所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×8π×20＝80π(cm2)．


2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．”


[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，


依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝10， ①,\f(1,2)lr＝4. ②))


①代入②得r2－5r＋4＝0，


解得r1＝1，r2＝4．


当r＝1时，l＝8(cm)，


此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．


当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2) rad．





灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.


提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.


2看清角的度量制，选用相应的公式.


3扇形的周长等于弧长加两个半径长.





eq \([跟进训练])


3．地球赤道的半径约是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是 km(精确到0．01 km)．


1.85 [因为1′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,60)))eq \s\up12(°)＝eq \f(1,60)×eq \f(π,180)，所以l＝α·R＝eq \f(1,60)×eq \f(π,180)×6 370≈1.85(km)．]








1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．


2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式


(1)π＝180°；(2)1°＝eq \f(π,180) rad (3)1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)．


3．本节课要重点掌握以下规律方法


(1)弧度制的概念辨析；


(2)角度与弧度的换算；


(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．


4．本节课的易错点


表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．





1．(多选题)下列转化结果正确的是( )


A．60°化成弧度是eq \f(π,3)


B．－eq \f(10,3)π化成度是－600°


C．－150°化成弧度是－eq \f(7,6)π


D．eq \f(π,12)化成度是15°


ABD [对于A,60°＝60×eq \f(π,180)＝eq \f(π,3)；对于B，－eq \f(10,3)π＝－eq \f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180)＝－eq \f(5,6)π；对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(1,12)×180°＝15°．故ABD正确．]


2．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ．


2 [设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm．


由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝4，,\f(1,2)lr＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝2，,r＝1.))


所以α＝eq \f(l,r)＝2．


因此扇形的圆心角的弧度数是2．]


3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z)))) [若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z．]


4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3π,5)，β2＝－eq \f(π,3)．


(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；


(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．


[解] (1)∵180°＝π rad，


∴α1＝－570°＝－570×eq \f(π,180)＝－eq \f(19π,6)


＝－2×2π＋eq \f(5π,6)，


α2＝750°＝750×eq \f(π,180)＝eq \f(25π,6)＝2×2π＋eq \f(π,6)．


∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．


(2)β1＝eq \f(3π,5)＝eq \f(3π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝108°，


设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，


则由－720°≤θ＜0°，


即－720°≤108°＋k·360°＜0°，


得k＝－2，或k＝－1．


故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°．


β2＝－eq \f(π,3)＝－60°，


设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，


则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0．


故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义．


2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)


3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养．
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180)rad≈0．017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))度≈57．30°
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
eq \f(π,180)
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
角度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
角度制与弧度制的互化
用弧度制表示角的集合
扇形的弧长及面积问题