高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第2章 常用逻辑用语本章综合与测试精品学案设计

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


【例1】 (1)设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


(2)“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．


(1)A (2)充要 [(1)当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp．


(2)当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y 轴对称；若二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象对称轴为x＝－eq \f(a,2)，其关于y 轴对称，则－eq \f(a,2)＝0，解得a＝0．


综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件．]





条件的充要关系的常用判断方法


1定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.


2等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.


3利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.





eq \([跟进训练])


1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )


A．a＞b＋1 B．a＞b－1


C．a2＞b2 D．a3＞b3


A [a＞b＋1⇒a＞b，a＞ba＞b＋1．]





【例2】 已知非空集合A＝{x|2a－3

(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；


(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．


[解] (1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，


所以A⊆B，又A≠∅，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3≥－5，,3a＋1≤4，,2a－3<3a＋1，)) 解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．


(2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3＝－5，,3a＋1＝4，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,a＝1，)) 则方程组无解．


故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件．





利用条件的充要性求参数范围的两个策略


(1)转化为集合关系解决此类问题，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．


(2)利用命题的等价性转化解决，利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．


(3)充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性．





eq \([跟进训练])


2．求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|．


[证明] 充分性：因为a>|b|，所以a>0，


即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，


所以a>|b|是a2>b2的充分条件，


因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|，


所以a>|b|不是a2>b2的必要条件．


综上：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|．





【例3】 (1)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，－1) B．(－1,3)


C．(－3，＋∞) D．(－3,1)


(2)已知p：∃x0∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为( )


A．m≥2 B．m≤－2


C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2


(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)＞0，由题意知，命题的否定为真命题，


则Δ＝(a－1)2－4×2×eq \f(1,2)＜0，


则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B．


(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2．


因此，由p，q均为假命题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))


即m≥2，故选A．]





含量词的命题中求参数范围的讨论步骤


1先根据条件推出每一个命题的真假．


2求出每个命题为真命题时参数的取值范围．


3最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．





eq \([跟进训练])


3．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．


[解] 由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令y＝x2－2ax＋2≥a恒成立，


所以y＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，ymin≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，


ymin＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2，a≥－1，,1＋a2＋2－a2，a＜－1.))


由f(x)的最小值ymin≥a，


知a∈[－3,1]．即所求实数a的取值范围是[－3,1]．


充分条件与必要条件的判断
充分、必要、充要条件的应用
利用命题的真假求参数的取值