数学必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试同步训练题

专题强化练7　指数型函数与对数型函数的性质及应用

一、选择题

1.(2019江苏如皋中学高一上学期月考,)函数f(x)=的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(1,3) B.(1,3]

C.(1,2) D.(1,2)∪(2,3]

2.()已知函数y=+1的定义域为[-3,2],则该函数的值域为(　　)

A. B.

C. D.[3,13]

3.()函数y=lo的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-4) D.(2,+∞)

4.(2019河南九校联盟高一上学期联考,)已知函数f(x)=lo(x2-ax-a)对任意两个不相等的实数x1,x2∈,都满足不等式>0,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]

C. D.

5.(2020黑龙江大庆实验中学高一上学期月考,)在平面直角坐标系中,集合A={(x,y)|y=|log2x|},B=,若集合A∩B中所有点的横坐标之积为m,则(　　)

A.m=1 B.m∈(0,1)

C.m∈(1,2) D.m∈(2,+∞)

6.(2020浙江嘉兴第一中学、湖州中学高一上学期联考,)已知函数f(x)=2 019x+ln(+x)-2 019-x+1,则关于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集为(　　)

A. B.

C. D.

7.()已知x∈,a=ln x2,b=(ln x)2,c=ln x,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>c>a

C.c>b>a D.a>c>b

8.(2019云南曲靖会泽第一中学高一上学期期中,)已知a(a+1)≠0,若函数f(x)=log2(ax-1)在(-3,-2)上为减函数,且函数g(x)=在R上有最大值,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.∪

9.(2019河南洛阳高一上学期期末,)若函数f(x)=(a>0,a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(2,+∞)

C.(1,] D.(,2]

二、填空题

10.(2020江西宜春高安中学高一上学期期中,)已知函数f(x)的定义域为D,如果满足①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N*,n>1),那么称y=f(x)为“域n倍函数”,若函数f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)是“域2倍函数”,则t的取值范围为　　　　. 

11.()已知函数f(x)=若对任意的x1∈[2,+∞),都存在唯一的x2∈(-∞,2)满足f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为　　　　　　. 

三、解答题

12.(2019江苏常州高级中学高一期中,)已知f(x)=loga(a>0,a≠1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性并证明;

(3)求使f(x)>0的x的取值范围.

答案全解全析

专题强化练7　指数型函数与对数型

函数的性质及应用

一、选择题

1.D　要使函数有意义,需满足

解得1<x≤3,且x≠2,故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3].

2.A　令t=,

则y=t2-t+1=,

当x∈[-3,2]时,t=是减函数,

则t∈,故y=t2-t+1=的最大值为57,最小值为,所以所求值域是.

3.C　y=lo(x2+2x-8),由x2+2x-8>0得x<-4或x>2,原函数的单调递增区间为y=x2+2x-8在定义域内的单调递减区间,即为(-∞,-4).

4.C　因为>0,所以f(x)=lo(x2-ax-a)在上是增函数.

令u=x2-ax-a,因为y=lou是减函数,

所以u=x2-ax-a在上单调递减,

且u=x2-ax-a>0在上恒成立,

所以

解得-1≤a≤.故选C.

5.B　作出函数y=|log2x|与y=的图象(如图).

设y=|log2x|与y=的图象相交的两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

不妨令x1<x2,

则0<x1<1<x2.

∵y=在R上递减,

∴|log2x1|>|log2x2|,

即-log2x1>log2x2,

∴log2(x1x2)<0,∴0<x1x2<1,

即m=x1x2∈(0,1),故选B.

6.C　因为f(x)=2 019x+ln(+x)-2 019-x+1,

所以f(-x)=2 019-x+ln(-x)-2 019x+1,

所以f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x2)+2=2,

所以关于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2可化为f(2x-1)>2-f(2x)=f(-2x).

又因为y=2 019x-2 019-x在R上单调递增,y=ln(+x)在R上单调递增,

所以f(x)=2 019x+ln(+x)-2 019-x+1在R上单调递增,

所以2x-1>-2x,解得x>.

故选C.

7.B　由题意知x∈,a=ln x2,b=(ln x)2,c=ln x,令t=ln x,则t∈(-1,0),

故a=2t,b=t2,c=t.

函数y=2t,y=t2,y=t的图象如图,

当t∈(-1,0)时,由图象可知2t<t<t2,即b>c>a,故选B.

8.A　∵f(x)=log2(ax-1)在(-3,-2)上为减函数,

∴a<0,且ax-1>0在(-3,-2)上恒成立,

∴-2a-1≥0,∴a≤-.

又∵g(x)在R上有最大值,且g(x)在上单调递增,

∴g(x)在上单调递减,且log|a|≤=2,

∴

解得-≤a<0或0<a≤,

综上所述,-≤a≤-,故选A.

9.D　当x≤2时,0<2x≤4,故4≤8-2x<8.

因为函数f(x)的值域是[4,+∞),所以y=3+logax在(2,+∞)上单调递增,故a>1,

所以4≤3+loga2<8,解得<a≤2.

故选D.

二、填空题

10.答案　

解析　由题意可知f(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)为增函数,由“域n倍函数”的定义可知即方程f(x)=2x有两个不等的实根,即方程ax+t=a2x有两个不同的实根.令u=ax>0,则方程u2-u-t=0(u>0)有两个不等的正实根,所以解得t∈.

11.答案　[-2,6)

解析　当x1∈[2,+∞)时,∈.当x2∈(-∞,2)时,若a≥2,则f(x)=在(-∞,2)上是单调递增函数,所以f(x2)∈.若对任意的x1∈[2,+∞),都存在唯一的x2∈(-∞,2)满足f(x1)=f(x2),则⊆,即,

即a-2<4,解得a<6,

又因为a≥2,所以a∈[2,6).

若a<2,则f(x)=

f(x)在(-∞,a)上是单调递增函数,此时f(x)∈(0,1),

f(x)在[a,2)上是单调递减函数,此时f(x)∈.若满足题意,则≤,故a≥-2,又因为a<2,所以a∈[-2,2).

综上,a∈[-2,6).

三、解答题

12.解析　(1)由>0,解得x∈(-1,1),

故f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.

(2)函数f(x)是奇函数.证明如下:

因为f(-x)=loga=-f(x),且定义域(-1,1)关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数.

(3)若a>1,则由f(x)>0,得>1,

解得0<x<1;

若0<a<1,则由f(x)>0,得0<<1,

解得-1<x<0.

综上,当a>1时,x的取值范围为(0,1);

当0<a<1时,x的取值范围为(-1,0).