广东省惠州一中教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年广东省惠州一中教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )

A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定

3.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    将抛物线向上平移个单位后所得的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    抛物线与轴只有一个公共点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点有以下四个结论：，，，若顶点坐标为，当时，有最大值为、最小值为，此时的取值范围是其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 关于原点对称点的坐标是______ ．
12. 方程的根为______．
13. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式每两队之间赛一场现计划安排场比赛，应安排______个球队参赛．
14. 如图，点，，在上，度，度，则          度．
     

15. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：．
17. 本小题分
    如图，是的直径，，求的度数．

18. 本小题分
    已知：二次函数
    用配方法将函数关系式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
    画出所给函数的图象．

19. 本小题分
    如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？

20. 本小题分
    如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
    求证：；
    求的度数．

21. 本小题分
    要修建一个圆形水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离地中心．
    求抛物线解析式；
    水管应多长．

22. 本小题分
    如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．
    求证：为的切线；
    若，，求的半径．

23. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
    点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得．
故选：．
根据关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
故选：．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于．
本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
，，
，
，故正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于，
因此将代入得，，
即，故正确；
，
，
从图中可以看出，当时，函数值小于，
，
，故正确；
二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为，
当时，；
根据二次函数的对称性，得到，故正确；
综上所述，均正确，故有个正确结论，
故选A．
：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；
：结合图象发现，当时，函数值大于，代入即可判断；
：结合图象发现，当时，函数值小于，代入即可判断；
：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
则，．
故答案为，．
本题考查直接开平方法解一元二次方程．
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：设应安排个球队参赛，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
应安排个球队参赛．
故答案为：．
设应安排个球队参赛，利用比赛总场数参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，
，
又
，
，
，
故答案为：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，
，，
，
由旋转的性质可得，，
，
，
旋转角的度数是；
故答案为：．
先求出的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
不论为何值，都不能为负数，
此方程无解． 

【解析】移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
 

17.【答案】解：为直径

相同的弧所对应的圆周角相等，且

． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形，再根据同弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得的度数．
考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．
 

18.【答案】解：，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为．
如图，
 

【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
根据二次函数解析式作图．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数解析式间的转换．
 

19.【答案】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
所以，
答：道路的宽应为米． 

【解析】要求路宽，就要设路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
由旋转可得，
在和中，
，
≌．
．
由中结论可得，
又，
，
，
． 

【解析】利用，可证得，结合、，用““可证≌；
由可得，从而，再利用三角形外角关系可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为轴，与水管垂直的为轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：，代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：；

令，则．
故水管长为． 

【解析】以池中心为原点，竖直安装的水管为轴，与水管垂直的为轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得值；
由题意可得，时得到的值即为水管的长．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：如图，过点作于，连接，，则，

，
四边形是矩形，
，，
设的半径为，
中，，，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径是． 

【解析】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是本题的关键．
如图，连接，先根据四边形内接于，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
如图，过点作于，连接，，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，设的半径为，根据勾股定理列方程可得结论．
 

23.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
；
连接交对称轴于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
点的坐标为或． 

【解析】解析：用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
分两种情况讨论：
当时，，
点与点重合，
； 
当时，，
过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
同角的余角相等，
在和中，
≌
，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的左侧，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．