精品解析：广东省深圳市翠园教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

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2022-2023学年广东省深圳市翠园教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分）
1. 下列方程中①；②；③；④；⑤，一元二次方程有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，然后逐个判断即可．
【详解】解：一元二次方程有①；②；④；⑤，共4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 已知，，且，下列各式正确的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质，对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵，
∴，
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵，
∴＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3. 下列说法：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形；
其中正确的有（　　）个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
（4）两组对角相等四边形是平行四边形，正确，符合题意；
（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定方法，熟悉掌握菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定方法是解题的关键．
4. 按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长．2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据该企业4月份的利润及利润平均月增长率，可得出该企业5月份的利润是万元，6月份的利润是万元，结合该企业第二季度的总利润达到500万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为，
该企业5月份的利润是万元，6月份的利润是万元．
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. 某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴获得前两名的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，以及小李和小吴获得前两名的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】将另外两名同学分别记为甲、乙，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小李和小吴获得前两名的结果有2种，
∴小李和小吴获得前两名的概率为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，熟练掌握列表法和树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6. 若两个数的和为，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以，为根的一元二次方程的形式是，根据这个公式直接代入即可得到所求方程．
【详解】解：A、中，，，符合题意；
B、中，，，不合题意；
C、中，，，不合题意；
D、中，，，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，的两根分别为，，则，．
7. 在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则
①△ABC的各边长分别为1、、．
②△ACD的各边长分别为1、、2 ；
③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ；
④△AEF的各边长分别为2、2、6；
⑤△AGH的各边长分别为、2、；
∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9. 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=8，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF=，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF= ．
故选B．

【点睛】本题考查了正方形性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理．
10. 如图，的面积为40cm2，，，则四边形的面积等于（　　）

A cm2 B. 9cm2 C. cm2 D. 8.5cm2
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据，可知，，，根据△ABC的面积等于即可得出 ，，，，根据面积列出方程解出的面积即可解答．
【详解】如图所示，连接 ，

，
，
，
，
的面积等于，
，，
，，
设，，
则，
∴ ，
解得 ，
∴四边形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形面积计算及二元一次方程组的应用，熟知当高相等时底边之比等于三角形面积之比是解答此题的关键．
二、填空题（共5小题，每题3分）
11. 如果，那么＝_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了比例的性质，准确熟练进行计算是解题的关键．
12. 如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________.

【答案】
【解析】
【分析】设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m，代入求解即可．
【详解】解：设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m，
∵，
∴，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键．
13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，牢固掌握一元二次方程的定义是做出本题的关键．
14. 等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为 ___________．
【答案】11或13##13或11
【解析】
【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出等腰三角形周长．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
当3是腰时，三边长为3，3，5，符合三角形三边关系，周长为；
当3是底边时，三边长为3，5，5，符合三角形三边关系，周长为．
则这个三角形的周长为11或13．
故答案为：11或13．
【点睛】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角线三边关系等知识，熟练掌握完全平方式，用于分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
15. 如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论 ___________．

【答案】②④##④②
【解析】
【分析】通过证明，由相似三角形的性质可求，故①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，故②正确；由勾股定理可求，故③错误；分别求出，，即可判断④，即可求解．
【详解】解：矩形和矩形，，，，，
，，，
，，
，
，
，故①错误；
如图：设与交于点，

，
，
又，
，
，故②正确；
如图，连接，，，，

，，，，
，，
，
，，，，
，
，故③错误；
如图，过点作于，直线于，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，，
．故④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
17. “双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求．为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40-70分钟以内完成”，C表示“70-90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是______人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是______；C类扇形所占的百分比是______．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40，108，45%
（2）
【解析】
【分析】（1）先由A的人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以B的学生所占比例得所占的圆心角的度数；先求出C的人数，再除以总人数乘以100%即可得到百分比；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：这次调查的总人数是6÷15%=40人；
扇形统计图中，B类扇形的圆心角是360°×=108°；
C类的人数为40-6-12-4=18人，∴C类扇形所占的百分比是；
故答案为：40，108，45%；
【小问2详解】
解：列树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴P（恰好是1名男生和1名女生）=．
【点睛】此题考查了利用部分的数量及百分比求总体的数量，求扇形圆心角的度数，列举法求事件的概率，正确掌握各知识点并理解统计图得到相关信息是解题的关键．
18. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
（2）以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）填空：点A2的坐标 ；△ABC与△A2B2C2的周长比是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
【小问1详解】
如图，△A1B1C1即为所作；
【小问2详解】
如图，△A2B2C2即为所作；
【小问3详解】
如图，点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2．
故答案为：(3，6)；1：2．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
19. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求△BMD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据线段垂直平分线性质得出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，再根据菱形的判定定理即可求证；
（2）根据矩形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，再求出，最后根据三角形的面积公式求出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴平行四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：．
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，勾股定理等知识．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键．
20. 为促进新旧功能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台）满足如图所示的一次函数关系．

（1）求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？
【答案】（1）
（2）该设备的销售单价应是26 万元
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取不大于28的值即可得出结论．
【小问1详解】
设y与x的函数关系式为,
依题意，得，
解得，
所以y与x的函数关系式为．
【小问2详解】
依题知．
解得
∵设备的销售单价不得高于28万元/台
∴
∴该设备的销售单价应是26 万元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键．
21. 在ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）．

【答案】（1）CF与BD位置关系是垂直，见解析；（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）由∠ACB＝45°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°；可得∠BAC＝90°，由正方形ADEF，可得∠DAF＝90°，AD＝AF，∠DAF＝∠DAC+∠CAF；∠BAC＝∠BAD+∠DAC；则∠CAF＝∠BAD．可证△DAB≌△FAC，得∠ACF＝∠ABD＝45°，可得∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答：①点D在线段BC上运动，已知∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣x，可证△AQD∽△DCP，可得 ，即 ，即可求解；
②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，即，即可求解．
【详解】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；理由如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC=90°，
在正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD=45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC，
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，

∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD；
（3）如图，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴∠CAQ=45°，
∴∠CAQ=∠BCA，
∴AQ=CQ,
∵AC＝，
∴ ，
∴AQ＝CQ＝4，
∵CD＝x，
∴DQ＝4﹣x，
在正方形ADEF中，∠ADE=90°，
∴∠CDP+∠ADQ=90°，
由（2）得：CF⊥BC，
∴∠CDP+∠CPD=90°，
∴∠CPD=∠ADQ，
△AQD∽△DCP，
∴，即，
∴；
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
∵AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了正的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识，并会利用分类讨论的思想是解题的关键．
22. 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，

∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．