第十七单元 勾股定理单元复习-2021-2022学年八年级数学下册期中期末阶段测试《高效冲刺全能大考卷》（人教版）

这是一份第十七单元 勾股定理单元复习-2021-2022学年八年级数学下册期中期末阶段测试《高效冲刺全能大考卷》（人教版），文件包含第十七单元勾股定理单元复习解析版docx、第十七单元勾股定理单元复习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
第十七单元 勾股定理单元复习
考点1 勾股定理
1．（2021春•柳南区校级期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则斜边的长为（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，
∴斜边的长为：．
故选：B．
2．（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
3．（2021秋•方城县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
【答案】B
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．（2021•饶平县校级模拟）在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．±5
【答案】C
【解答】解：∵点P（3，4），
∴点P到原点的距离是＝5．
故选：C．
5．（2021春•饶平县校级期末）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：＝5（cm），
∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）；
故选：C．
6．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）

A．2π B．3π C．4π D．8π
【答案】A
【解答】解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故选：A．
7．（2021秋•淮安区期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为　　．
【答案】24
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
8．（2021春•咸安区期末）如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 　　m．

【答案】13
【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5，竖直距离为3+9＝12，
∴AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
故答案为13．
9．（2020秋•砚山县期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

【答案】4
【解答】解：由勾股定理，得
路长＝＝5，
少走（3+4﹣5）×2＝4步，
故答案为：4．
10．（2021春•柳南区校级期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为　 　．
【答案】3或
【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．


考点2 勾股定理应用
11．（2020秋•通州区期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（　　）

A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△OAB中，OA＝2，AB＝1，
∴OB＝＝＝．
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．
故选：B．
12．（2021秋•常宁市期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
13．（2021秋•晋中期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【解答】解：设AE＝x，由折叠可知：ED＝BE＝9﹣x，
∵在Rt△ABE中，32+x2＝（9﹣x）2
∴x＝4，
∴S△ABE＝AE•AB＝×3×4＝6（cm2）
故选：A．
14．（2021•碑林区校级四模）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AC边上的高为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：△ABC的面积：2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2＝，
AC＝＝，
设AC边上的高为x，由题意得：
•x＝，
x＝，
故选：C．
15．（2021秋•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；
故橡皮筋被拉长了4cm．
故选：A．
16．（2021秋•淇县期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　）

A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
【答案】B
【解答】解：∵车宽1.6米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡车的外形高必须低于2.9米．
故选：B．
17．（2021秋•芝罘区期末）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（　　）

A．12m B．13m C．15m D．24m
【答案】B
【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB＝＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：B．

18.（2021秋•桓台县期末）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（　　）

A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里
【答案】D
【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），
根据勾股定理得：＝26（海里）．
答：离开港口2小时后两船相距26海里，
故选：D．

19．（2021•宁陵县模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　．

【答案】10
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故答案为：10．
20．（2021春•饶平县校级期末）已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC的面积．

【答案】2+2
【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，
∴AD＝AB＝2；
BD＝＝2
又∵∠C＝45°，
∴DC＝AD＝2
∴BC＝BD+CD＝2+2
∴S△ABC＝AD•BC＝2+2


21．（2021秋•常宁市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

【答案】（1） 350 （2）150m
【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
22．（2021秋•兴义市期末）在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

【答案】（1）24米 （2）滑动8米
【解答】解：（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，
即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为24米．
（2）当梯子顶端下降4米后，梯子底部到墙的距离变为252﹣（24﹣4）2＝152，
15﹣7＝8所以，梯子底部水平滑动8米即可．

23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．

【答案】（1）AF=7 （2）略
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；

（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH

在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
24．（2019春•武昌区期中）如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2，点F是AD的中点，求CF的长．

【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB2＝2AC2，
∴∠ECA＝∠DCB，
连接BD，如图1所示：
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）解：如图2，过点C作CH⊥DE于H，如图2所示：
∵AC2+BC2＝2AC2，AE2+AD2＝AB2，AE＝2，AC＝2，
∴AD＝6，
∴DE＝AE+AD＝8，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝3，
∵△ECD都是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝8，
∴CH＝DH＝EH＝4，
∴HF＝DH﹣DF＝1，
∴CF＝＝＝


25．（2021秋•渭城区期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

【答案】m．
【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC＝AC，
设BC＝AC＝xm，
则OC＝（8﹣x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2＝BC2，
∴32+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝．
∴机器人行走的路程BC为m．
26．（2021秋•榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．
（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？

【答案】（1）出发3秒钟 （2）会
【解答】解：（1）出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，
∵AC＝40米，AB＝30米，
∴AC1＝28米，AB1＝21米，
∴B1C1＝＝35米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）设出发t秒，两赛车距A点的距离之和为35米，
根据题意得，40﹣4t+30﹣3t＝35，
解得t＝5，
此时AC12+AB12＝202+152＝252，
∴C1B1＝25米，
答：当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号将会产生相互干扰．

27．（2021秋•电白区期末）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】（1）略 （2） 会 （3）3.5h
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响．
理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D．
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝240（km），
∵250＞240，
∴海港C受到台风影响；

（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口．
在Rt△CED中，由勾股定理得
ED＝＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷40＝3.5（h）．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h．


考点3 勾股定理证明
28．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）

A．14 B．13 C．14 D．14
【答案】D
【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
29．（2021•商河县校级模拟）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D
30．（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　）

A．7 B．8 C．7 D．7
【答案】C
【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长＝12﹣5＝7，
∴EF＝；
故选：C．
31．（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

【答案】略
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．


考点4 勾股定理逆定理
32．（2020秋•延庆区期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，13
【答案】D
【解答】解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D
33．（2021秋•新郑市期末）下列四组数，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．6，7，8 D．32，42，52
【答案】B
【解答】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B．∵32+42＝25＝52，∴3、4、5是勾股数；
C．∵62+72＝78≠82，∴6、7、8不是是勾股数；
D．（32）2+（42）2＝337≠（52）2，∴32，42，52不是勾股数；
故选：B．
34．（2020秋•商河县校级期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）

A．AB＝ B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，
则＝5，
即＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．

35．（2021秋•沐川县期末）如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝，AC＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
36．（2021秋•邗江区期末）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．

【答案】 （1）略 （2）略
【解答】解：（1），，；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，AC2＝52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
37．（2021春•茅箭区校级期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？

【答案】（1）144m2 （2）14400元
【解答】解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．

（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．

38．（2021秋•阜宁县期末）如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP＝　 cm时，△BAP为直角三角形．

【答案】或2　
【解答】解：当∠APB＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴BP1＝AP1，
∴P1B2+P1A2＝4，
∴BP1＝；
当∠BAP＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴BP2＝＝＝2．
故答案为：或2．

39．（2019秋•崇川区校级期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
【答案】略
【解答】解：（1）如图①所示：

（2）如图②③所示．

40．（2021秋•东坡区期末）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．

【答案】（1）略 （2）AE的长为．
【解答】（1）证明：连结CE，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：AE＝，
∴AE的长为．


41．（2021春•饶平县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1） BC＝8 （2）t＝4或t＝ (3)，t＝5或t＝8或t＝
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．