2022-2023学年江苏省南通市启东市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市启东市八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列角度不是多边形内角和的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下面图标中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，≌，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点若，，则点到边的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 五边形中，，如图，、分别平分、，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知，等腰中，，是高上任一点，是腰上任一点，腰，，，那么线段的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，点为边上一点，过点作交延长线于点，若满足，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11. 下列生产和生活实例：用人字架来建筑房屋；用窗钩来固定窗扇；在栅栏门上斜钉着一根木条；商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有______填写序号．
12. 在中，，，则等于______
13. 正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为______．
14. 如图，已知，再添加一个条件______能判定≌．

15. 如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连接若，，则的长为______ ．

16. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是______．
17. 如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．

18. 如图，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
    把向下平移个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到请你画出；
    分别写出，，三点的对应点在，，的坐标．

20. 本小题分

如图，，，求证：．

21. 本小题分
    如图中，，是高，，求证：．

22. 本小题分

如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数．

23. 本小题分
    如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．
    求证：≌；
    若，求的度数．

24. 本小题分
    如图，在中，平分，，于点，点在上，．
    求证：．
    若，，求的长．

25. 本小题分
    若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”如图，与互为“底余等腰三角形”．
    若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______填“是”或“否”；
    当时，若的“余高”，则______；
    当时，判断与之间的数量关系，并说明理由．

26. 本小题分
    在等边的两边，所在直线上分别有两点，，点为外一点，且，，．
    如图，点，在边，上，，求的长；
    如图，点，在边，上，，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明；
    当点，在，的延长线上时，若等边的周长为，的长为，则的周长为______用含有，的代数式表示．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设第三根木条的长度为，由题意得：
，
解得：．
故选：．
设第三根木条的长度为，利用三角形的三边关系可得，再解不等式，进而可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是三角形的内角和，故选项不符合题意；
B、是四边形的内角和，故选项不符合题意；
C、，则不是多边形的内角和，故选项符合题意；
D、，则是多边形的内角和，故选项不符合题意．
故选：．
根据多边形的内角和公式，多边形的内角和除以所得结果应该是：大于或等于的正整数，据此即可判断．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，全等三角形对应边相等．
因为≌，所以，进而可求出的长．
【解答】

解：≌，
，
．
故选D．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作法得平分，
过点作于，如图，
平分，，，
，．
故选：．
由作法得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，
点与点关于原点对称，
又点的坐标为，
点的坐标为，
故选：．
作出相关对称后可得点与点关于原点对称，那么依据点的坐标为，可得点的坐标．
考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次轴对称，又关于轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．
 

7.【答案】 

【解析】解：在五边形中，，
，
又、分别平分、，
，
中，．
故答案为：．
先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．
本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴的垂线交轴于点，过点作交的延长线于点，

，
，，
，，
，
，
又，，
≌，
，，
，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
故选：．
过点作轴的垂线交轴于点，过点作交的延长线于点，利用证明≌，即可得出与的长，即可推出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图作等关于的对称点，连接作于．

，，
，
点在上，
，
根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
在中，，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图作点关于的对称点，连接作于根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长、交于点，
，，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
延长、交于点，证≌，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意；
商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意；
综上所述：用到三角形稳定性的是．
故答案为：．
根据生活常识对各小题进行判断即可得解．
本题考查了三角形的稳定性，比较简单，要熟悉生活中的物品的形状．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
，
．
．
故答案为：．
根据三角形内角和定理解决此题．
本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
 

13.【答案】： 

【解析】解：正八边形的每个外角的度数是，则内角的度数是，
正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为：：：．
故答案为：：．
根据正多边形的外角和是，每个外角都相等，则用除以边数即可求得外角的度数，然后根据内角和外角互为邻补角求得内角的度数．
本题考查正多边形的计算，理解正多边形的外角和以及每个外角都相等是关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
根据判定≌，可以添加或者；
故答案为：答案不唯一．
根据全等三角形全等的方法判断即可．
此题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，即可得到的长．
本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

16.【答案】或 

【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，
点为的三个内角的角平分线的交点，
平分，
，
由平移得：，
，
，
，
同理可得：，
，
的周长，
即图中阴影部分的周长为，
故答案为：．
因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．
本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，，，，，

点关于直线，的对称点分别是，，
垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
当时，最小，此时最小，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
由轴对称的性质得出，即可求解．
本题考查求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出．
 

19.【答案】解：如图，为所求；

，，． 

【解析】利用点平移的坐标变换规律和关于轴对称的点的坐标特征得到点，，的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点也考查了最短路径问题．
 

20.【答案】证明：因为，
所以，
即，
在和中，
，
所以≌．
所以． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答时证明是关键．首先由可以得出，然后根据全等三角形的判定定理即可证明≌，从而到．
 

21.【答案】证明：，，
，直角三角形中，所对直角边等于斜边的一半，
是高，
，
，
，
，
． 

【解析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出，再求出，再次利用性质解答即可得证．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，两次利用性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：


；
，
，
是的角平分线

． 

【解析】因为是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，是的角平分线，则，故的度数可求．
本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
 

24.【答案】证明：平分，，于，
．
在与中，
，
≌，
．

解：设，则，
平分，，
．
在与中，
，
≌，
，即，
解得，即． 

【解析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点到的距离点到的距离即，再根据证明≌，从而得出；
设，则，再根据题意得出≌，进而可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
 

25.【答案】是   

【解析】解：如图，连接、，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
与互为“底余等腰三角形”，
故答案为：是．
如图，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
故答案为：．
，
理由：如图，作于点，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
连接、，由，得，，，，即可由，推导出，则，所以，则与互为“底余等腰三角形”，于是得到问题的答案．
当时，则和都是等腰直角三角形，先证明≌，再证明，则，于是得到问题的答案；
作于点，由，得，再证明≌，得，则．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
．
，，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
，
是等边三角形，．
在中，，
．
，
理由如下：延长至点，使，连接．

在和中，
．
≌．
，．
，
，
即，
．
在和中，
，
≌．
．
．
．
过作，边交线段于点，
由知，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，

，
三角形的周长

．
，，
三角形的周长
故答案为：
证明≌由全等三角形的性质得出，证出是等边三角形，由直角三角形的性质可得出答案；
延长至点，使，连接证明≌由全等三角形的性质得出，证明≌由全等三角形的性质得出则可得出结论；
过作，边交线段于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
此题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．