2022-2023学年江苏省南通市海安市西片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市海安市西片八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  已知一次函数，当时，的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在▱中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定▱是菱形的只有(    )
 

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  已知中，，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一次函数，若，则它的图象必经过点(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积与点运动的路程之间的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知实数，满足，并且，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_______．

13.  若点与在一次函数的图象上，则______填、或．

14.  九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺绳索比木柱长尺，牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳索用尽设绳索长为尺，则根据题意可列方程为______ ．

15.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是的中点若，，则菱形的面积为______ ．

16.  如图，在平行四边形▱中，，的平分线与的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为______．

17.  如图，直线与轴、轴分别交于点、，的角平分线与轴交于点，则的长为______ ．

18.  如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
若与成正比例，且当时，．
求与的函数解析式．
求当时，的值．

21.  本小题分
如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
求该一次函数的解析式；
求的面积．

 

22.  本小题分
小中：如图，有一张平行四边形纸片，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊把平行四边形纸片对折，使，两点重合，折痕分别交边，于，两点，连接，，则四边形就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．

 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点以为边在第二象限内作正方形．
求点，的坐标；
在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
如图，正方形的边长为，边在轴上，的中点与原点重合，过定点与动点的直线记作．
点坐标为______ ，点坐标为______ ；
若的解析式为，判断此时点是否在直线上，并说明理由；
当直线与边有公共点时，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，．

当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长；
当为边上一点，，求的度数；
过点作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由．

26.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点如果满足，我们就把点称作“和谐点”．
在直线上的“和谐点”为______ ；
求一次函数的图象上的“和谐点”坐标；
已知点，点的坐标分别为，，如果线段上始终存在“和谐点”，直接写出的取值范围是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，
随值的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为．
故选：．
根据一次函数的系数，可得出随值的增大而减小，将代入一次函数解析式中求出值即可．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而减小”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
【解答】
解：正确．对角线垂直的平行四边形的菱形；
B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形；
C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形；
D.正确．可以证明平行四边形的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
【解答】
解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，，

，
点的坐标是：．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
要求的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得根据勾股定理就可以求出的值，进而得到三角形的面积．
这里不要去分别求，的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．

【解答】
，


．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：、将代入得，，整理得，不符合题意；
B、将代入得，，整理得，不符合题意；
C、将代入得，，整理得，符合题意；
D、将代入得，，整理得，不符合题意．
故选：．
将各点的坐标分别代入解析式，使成立的即为正确答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数图象上点的坐标符合一次函数的解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
所以，，
由三角形的三边关系得，，
解不等式得，，
解不等式的，，
所以，不等式组的解集是，
正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．
故选：．
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．
本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．
 

9.【答案】 

【解析】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：；
因为从点到点，的面积一定：，
所以与点运动的路程之间的函数关系是：，
所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是：

故选：．
首先判断出从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：；然后判断出从点到点，的底的一定，高都等于的长度，所以的面积一定，与点运动的路程之间的函数关系是：，进而判断出的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可．
此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点以及从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
解得，
，
，
随着增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
故选：．
根据，可得，根据，，可得，求出取值范围，再根据，一次函数的性质即可求出的最小值．
本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
故答案为：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：经过第二、三、四象限，
，，
，，
；
故答案为；
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
 

13.【答案】 

【解析】解：点与在一次函数的图象上，
，，
，
故答案是：．
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点与分别代入已知函数的解析式，分别求得、的值，然后再比较、的大小．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：绳索长为尺，则根据勾股定理列出方程得：
，
故答案为：．
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解．
本题考查了菱形的性质、由直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：、 分别平分 和
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
 ，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证 ，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，，可得，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，

当时，，解得，则；
当时，，则，
，
平分，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
过点作于，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征求出、点的坐标，则可计算出，再利用角平分线的性质得，然后利用面积法得到，从而可求出的长．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作于点，

是等边三角形，
，，
平行四边形中，，，，
，
是等边三角形，，
，是等边三角形，
为中点，
，为中点，
，
，
，
当点，，在一条直线上，此时最短，
故的最小值为：．
故答案为：
由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值．
此题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


；
原式



． 

【解析】先把括号中的每一项分别同相乘，再把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的加减法则进行计算即可；
从左到右依次计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
把，代入得，解得，
所以，
所以与之间的函数关系式为；
当时，
解答． 

【解析】利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出得到与之间的函数关系式；
计算对应的自变量为的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设，将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
 

21.【答案】解：把，代入得，
，
解得．
所以一次函数解析式为；
把代入得，
所以点坐标为，
所以的面积

． 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
先把点和点的坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式；
先确定点坐标，然后根据三角形面积公式利用的面积进行计算．
 

22.【答案】解：小华的方法对，理由如下：
连接交于，

由折叠可知：，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】连接交于，利用全等三角形的性质证明，再根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
本题考查翻折变换，线段的垂直平分线的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：对于直线，令，得到；令，得到，
，，
在中，，，
根据勾股定理得：；
作轴，轴，可得，

四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
≌≌，
，，
，，
，；
存在，
找出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小，

，
，
设直线的解析式为，
把与坐标代入得：，
解得：，
即直线的解析式为，
令，得到，
即． 

【解析】在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长即可；过作轴垂线，过作轴垂线，分别交于点，，可得三角形与三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等，确定出与坐标即可；
作出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，，此时周长最小，求出此时的坐标即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标，掌握待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理是解本题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：的中点与原点重合，则点、的坐标分别为、，
则点、的坐标分别为、，
故答案为：、；

当时，，
故点不在直线上；

直线过点，则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
则直线的表达式为，
当直线过点时，则，解得，
当直线过点时，则，解得，
故．
的中点与原点重合，则点、的坐标分别为、，进而求解；
当时，，即可求解；
求出直线的表达式，求出点、为临界点时的值即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，其中，确定点、是临界点是本题解题的关键．
 

25.【答案】解：图形如图所示：

四边形是正方形，
，，
，
，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
；

如图中，

由翻折变换的性质可知，，
，
，
，，
；

结论：．
理由：过点作交于点设交于点．

，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；
求出两个等腰三角形的底角的度数，可得结论；
证明，可得结论．
 

26.【答案】和 或 

【解析】解：由题意得：，
解得：或，
在直线上的“和谐点”为：和；

由“和谐点”的定义可知或，
联立，
解得：，
联立，
解得：，
所以一次函数的图象上的“和谐点”坐标为和；

如图为的函数图象的简图，轴，
当时，
令，
解得：，
令，
解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是；
当时，
令，
解得：，
令，
解得：，
由图可知，如果线段上始终存在“和谐点”，的取值范围是，
综上，当或时，线段上始终存在“和谐点”．

根据“和谐点”的定义求出即可；
根据“和谐点”的定义可知或，分别与联立，求出对应的，的值即可；
作出的简图，由题意可知轴，然后分情况讨论：当时，当时，分别求出线段上存在“和谐点”的临界情况，然后根据函数图象可得的取值范围．
本题是一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“和谐点”的定义，熟练应用数形结合的数学思想是解题的关键．