2021-2022学年江苏省南通市启东市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省南通市启东市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若线段，，能构成直角三角形，则它们的比为

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

2. 如图，在▱中，平分且交于点，，则的大小是

A.
B.
C.
D.

3. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是

A.  B.
C. 随的增大而增大 D. 时，

4. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定≌的是

A.  B.
C.  D.

5. 某天早晨：，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，：赶到了学校如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程结合图象，判断下列结论正确的是

A. 小明修车花了
B. 小明家距离学校
C. 小明修好车后花了到达学校
D. 小明修好车后骑行到学校的平均速度是

6. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是
    

A.  B.  C.  D.

8. 阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：不是广义勾股数；是广义勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数依次正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，▱中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案

A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是

10. 如图，正方形的边长为，在上，且，是上一动点，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共30分）

11. 写出“全等三角形的面积相等”的逆命题                          ．
12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为______ ．
    
    
    
     

13. 在函数中，自变量的取值范围是______．
14. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．
15. 已知某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系．若码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，则码鞋子的长度为______．
16. 九章算术中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处如图，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______ 尺
17. 在平面直角坐标系中，已知点，，以为一边在第一象限内作正方形，则对角线所在直线的函数解析式为______．
18. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 ______ 时，是以为腰的等腰三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共90分）

19. 如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，求此绿地的面积．
    
    
     

20. 一次函数的图象经过，两点．
    此一次函数的解析式；
    求的面积．

21. 如图，在笔直的高速路旁边有、两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得、两点的距离为，现要在之间建一个服务区，使得、两村庄到服务区的距离相等，求的长．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
    求证：四边形是平行四边形；
    如果，求证：四边形是矩形．

24. 李师傅将容量为升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地行驶过程中，货车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计当油箱中剩余油量为升时，货车会自动显示加油提醒设货车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
    直接写出工厂离目的地的路程；
    求关于的函数表达式；
    当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？

25. 已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点直线与直线相交于点，且．
    如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
    如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

26. 对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．
    例如：一次函数，它的“和谐函数”为．
    一次函数的“和谐函数”为______；
    已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故错误；
B、，不能构成直角三角形，故错误；
C、，能构成直角三角形，故正确；
D、，不能构成直角三角形，故错误．
故选C．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

2.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
平分，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质和外角性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
，A错误；
函数值随的增大而减少，C错误；
图象与轴的交点为
，B正确；
图象与轴的交点为
时，，D错误．
故选：．
根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明≌，故不符合题意；
B、添加，可用证明≌，故不符合题意；
C、添加，不能证明≌，故符合题意；
D、添加，可用证明≌，故不符合题意；
故选：．
由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
 

5.【答案】

【解析】解：由横坐标看出，小明修车时间为分钟，故本选项符合题意；
B.由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为米，故本选项不合题意；
C.由横坐标看出，小明修好车后花了到达学校，故本选项不合题意；
D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是：米分钟，故本选项不合题意；
故选：．
根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．
本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：根据已知可得：，．
在中，．
．
故选：．
根据已知可得，利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先把 代入 得 ，则 化为 ，然后解关于 的不等式即可．
【解答】
解：把 代入 得 ，解 ，
则 化为 ，
而 ，
所以 ，
解得 ．   

8.【答案】

【解析】解：不能表示为两个正整数的平方和，
不是广义勾股数，故结论正确；
，
是广义勾股数，故结论正确；
两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如和是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故结论错误；
两个广义勾股数的积是广义勾股数，故结论正确，
正确的是．
故选：．
根据广义勾股数的定义进行判断即可．
本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，方案丙正确；
故选：．
方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证≌，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证≌，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，

点和点关于直线对称，
，
则就是的最小值，
正方形的边长是，，
，
，
的最小值是．
故选：．
此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
要求的最小值，，不能直接求，根据轴对称的性质可得，则就是的最小值，从而找出其最小值求解．
 

11.【答案】面积相等的三角形全等

【解析】

【分析】
首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题；
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【解答】
解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．   

12.【答案】

【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一直角边的平方，
则斜边的平方．
故答案为．
三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积．
本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
 

13.【答案】且

【解析】解：由题意得：，
解得：且，
故答案为：且．
让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为列式求值即可．
考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为．
 

14.【答案】

【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
 

15.【答案】

【解析】解：由某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，设，
码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，
，解得，
，
当时，，
故答案为：．
由题意设，用待定系数法求出与的函数关系式，再将代入即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出与的函数关系式．
 

16.【答案】

【解析】解：依题意画出图形，

设芦苇长尺，
则水深尺，
尺，
尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长尺，水深为尺，
故答案为：．
我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，过点作轴于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
设对角线所在直线的函数解析式为，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质证明≌，进而得到点坐标，根据待定系数法求直线的函数解析式即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明≌，得到点坐标．
 

18.【答案】或

【解析】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得，
，
，
，，
≌，
，
时，作，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
设，则，由翻折得：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分可证得，则≌，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程，有一定难度．
 

19.【答案】解：连接如图所示：
，，，
；
在中，
，，，
，即，
是直角三角形．




；
即绿地的面积为．

【解析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．
 

20.【答案】解：把，代入得到，
解得，
所以直线的解析式为；
直线与轴的交点坐标为，
所以的面积．

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
利用待定系数法求直线的解析式；
先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积．
 

21.【答案】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以：，解得：
所以，应建在距点，
即．

【解析】根据题意设出点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

22.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得到，
一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，
这个一次函数的表达式为．
把代入，求得，
函数与一次函数的交点为，
把点代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
．

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．

【解析】根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：由图象，得时，，
工厂离目的地的路程为千米，
答：工厂离目的地的路程为千米；
设，
将和代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式：，
答：关于的函数表达式：；
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，
解得：小时，
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，解得：小时，
，
随的增大而减小，
的取值范围是．

【解析】由图象直接求出工厂离目的地的路程；
用待定系数法求出函数解析式即可；
当油箱中剩余油量为升时和当油箱中剩余油量为升时，求出的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

25.【答案】证明：设．
四边形是正方形，
．
，，
是等边三角形．
，
在中，，
，
在中，，
，，
；
解：依题意补全图形，如图所示：
，证明如下：
过作交于点，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】证出是等边三角形．得，再由含角的直角三角形的性质得，，，即可得出结论；
依题意补全图形即可；，过作交于点，先证≌，得，再证，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：根据“和谐函数”的定义，
得一次函数的“和谐函数”为，
故答案为：；
函数的“和谐函数”为，
当时，解得或，
点的坐标为，点的坐标为，
又函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，
或，
的取值范围：或．
根据“和谐函数”的定义即可求得；
先求出函数的“和谐函数”，然后求出时的值，再根据题意可得不等式组或，解不等式组即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，理解“和谐函数”的含义并熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．