专题11 分式方程 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练

专题11 分式方程 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练

一、单选题

1．（2022·济宁）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（　　）

A． B．

C． D．

2．（2022·潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：）.2022年3月当月增速为，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（2022·泰安）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

4．（2022·台儿庄模拟）若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）

A． B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6

5．（2022·淄川模拟）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　）

A．方程的解是x＝m－6 B．当m＜6时，方程的解是负数

C．当m＞6时，方程的解是正数 D．以上说法均不符合题意

6．（2022·泰安模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

7．（2022·济宁模拟）关于x的方程有增根，则m的值是（　　）

A．0 B．2或3 C．2 D．3

8．（2022·芝罘模拟）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A． B． C．且 D．且

9．（2022·乐陵模拟）某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（　　）

A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成

B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成

C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成

D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成

10．（2022·莒南模拟）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）

A．6 B．0 C．1 D．9

二、填空题

11．（2022·济南）代数式与代数式的值相等，则x＝　     　．

12．（2022·崂山模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某公司计划制作48盒粽子送给福利院，为了尽快让福利院拿到粽子，在实际加工过程中加快了制作速度，平均每天多制作了6盒，因此提前4天完成任务，设原计划x天完成，那么根据题意可以列出的方程为：　            　 ．

13．（2022·郯城模拟）分式方程的解是　     　．

14．（2022·郯城模拟）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元，根据题意，则原计划每间直播教室的建设费用是　     　．

15．（2022·长清模拟）方程的解为 　     　．

16．（2022·济南模拟）分式方程的解是　     　．

17．（2022·惠民模拟）关于x的方程的解为　     　．

18．（2022·寿光模拟）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟．设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为　                 　．

19．（2022·莱芜模拟）代数式与代数式的和为1，则x=　     　．

20．（2022·青岛模拟）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是　     　元．

三、计算题

21．（2022·章丘模拟）解方程：.

22．（2022·泗水模拟）解方程：

23．（2021·博山模拟）解方程：

四、综合题

24．（2022·菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．

（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元?

（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?

25．（2022·聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

26．（2022·枣庄模拟）以下是小明同学解方程的过程．
方程两边同时乘(x-3)，得1-x=-1-2 第一步
解得x=4 第二步
检验：当x=4时，x-3 =4-3 =1≠0. 第三步
所以，原分式方程的解为x=4. 第四步

 

（1）小明的解法从第　     　步开始出现错误

（2）写出解方程的正确过程．

27．（2022·崂山模拟）A、B两地相距19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变。甲从A地向B地出发，当甲运动一段时间后，乙从B地向A地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y（km）与乙运动时间t（h）满足一次函数关系式，其图象如图所示．

（1）根据图像求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和；

（2）已知甲由A地运动到B地所用时间是乙由B地运动到A地所用时间的倍．求甲由A地运动到B地所用时间是多少小时？

答案解析部分

1．【答案】C

【解析】【解答】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h，

根据题意所列方程是

故答案为：C

 【分析】根据 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地 ，列方程求解即可。

2．【答案】D

【解析】【解答】解：设2021年3月原油进口量为x万吨，

则2022年3月原油进口量比2021年3月增加（4271-x）万吨，

依题意得：，

故答案为：D．

【分析】设2021年3月原油进口量为x万吨，则2022年3月原油进口量比2021年3月增加（4271-x）万吨，根据题意即可列出方程。

3．【答案】D

【解析】【解答】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，

分解因式得：（a-4）（a+1）=0，

解得：a=-1或a=4，

经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，

当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．

故答案为：D．

【分析】先求出分式方程的解，再根据不等式只有4个整数解即可得到3≤b＜4，从而可得答案。

4．【答案】B

【解析】【解答】解：去分母得，2x－b＝3x－6，

∴x＝6－b，

∵x≥0，

∴6－b≥0，

解得，b≤6，

又∵x－2≠0，

∴x≠2，

即6－b≠2，b≠4，

则b的取值范围是b≤6且b≠4，

故答案为：B．

【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可。

5．【答案】C

【解析】【解答】解：，

去分母得：，

解得：，

∵当，即时，方程产生增根，

∴当时，方程的解是x＝m－6，故A不符合题意；

当m＜6时，，

∵当时，方程产生增根，

∴，即，

∴当m＜6且时，方程的解是负数，故B不符合题意；

当m＞6时，，

∵当时，方程产生增根，

∴，即，

∴当m＞6时，方程的解是正数，故C符合题意；D不符合题意；

故答案为：C

【分析】先求出分式方程的解，再逐项判断即可。

6．【答案】C

【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，

由题意得：．

故答案为：C

【分析】根据“ 所需的时间比规定时间少3天 ”列出方程即可。

7．【答案】D

【解析】【解答】解：去分母得：，

∴，

∵关于x的方程有增根，

∴x－2=0，

解得：x＝2

∴．

故答案为：D．

【分析】利用分式方程的增根的定义求解即可。

8．【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可知

解关于x的方程得：，

∵关于x的方程的解为正数，

∴ ，
解得：且．

故答案为：D．

【分析】先求出分式方程的解，再根式分式的方程的解为正数列出不等式求解即可。

9．【答案】D

【解析】【解答】解：∵实际每天改造人行道x米，

∴（x－10）表示原计划每天改造人行道的长度，

∴表示原计划改造人行道所需时间， 表示实际改造人行道所需时间．

又∵，

∴每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．

故答案为：D．
【分析】先根据题意可得表示原计划改造人行道所需时间， 表示实际改造人行道所需时间，再根据题意列出方程即可得到答案。

10．【答案】D

【解析】【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣1﹣x＝3，

解得：x＝，

由分式方程的解为整数解，得到a﹣1＝±1，a﹣1＝±2，a﹣1＝±4，

解得：a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3（舍去），

则满足条件的所有整数a的和是9，

故答案为：D．

【分析】先求出分式方程的解x＝，再根据分式的方程的解为整数可得a﹣1＝±1，a﹣1＝±2，a﹣1＝±4，最后求出a的值即可。

11．【答案】7

【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的值相等，

∴，

去分母

，

去括号号

，

解得，

检验：当时，，

∴分式方程的解为．

故答案为：7．

【分析】先求出，再解方程求解即可。

12．【答案】

【解析】【解答】解：依题意得，，

故答案为：．

 【分析】设原计划x天完成，根据题意直接列出方程即可。

13．【答案】x=1

【解析】【解答】解：，

，

x+2-1=3-x，

解得：x=1，

检验：当x=1时，3-x≠0，

∴x=1是原方程的根，

故答案为：x=1．

【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.

14．【答案】500元

【解析】【解答】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：，

解得：x=500，

经检验：x=500是原方程的解，

所以，原计划每间直播教室的建设费用是500元，

故填：500元．

【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际比原计划多建设了两间教室”列出方程并解之即可.

15．【答案】

【解析】【解答】解：去分母得：x=2，

经检验x=2是原方程的解，

∴方程的解为x=2，

故答案为：x=2．

【分析】利用分式方程的解法求解即可。

16．【答案】2

【解析】【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），

整理得：3x﹣3＝x2+x﹣x2+1，

解得：x＝2，

检验：把x＝2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，

∴分式方程的解为x＝2．

故答案为：2．

【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

17．【答案】

【解析】【解答】解：去分母得：，

整理得：，

解得：，

经检验：，

是原方程的解．

故答案为：．

【分析】利用分式方程的解法求解即可。

18．【答案】

【解析】【解答】由题意得，实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为(1+25%)x千米/小时，则列出方程：

，

故答案为：．

【分析】根据“通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟”列出方程即可。

19．【答案】1

【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的和为1，

∴，

去分母得，

，

去括号得，

，

移项并合并同类项得，

，

解得，

经检验，是原方程的解，

∴，

故答案为：1．

【分析】根据题意列出方程，再求解即可。

20．【答案】4

【解析】【解答】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元

今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元

∴

整理得x2-x-12=0

解得x=4或x=-3

经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．

故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．

故答案为：4．

【分析】设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，根据题意列出方程，再求解即可。

21．【答案】解：，

去分母，得2x-(x-1)=-4，

去括号，得2x-x+1=-4，

移项、合并同类项，得x= -5，

经检验，x= -5是原方程的根．

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

22．【答案】解：解方程两边同乘得，

解得，

经检验得是原方程得解．

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

23．【答案】解：方程两边同乘 ，得 ， 

移项及合并同类项，得 ，

系数化为1，得 ，

经检验， 是原分式方程的解，

∴原分式方程的解是 ．

【解析】【分析】将分式方程化为整式方程求出  ， 再检验求解即可。

24．【答案】（1）解：设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元

根据题意得．

解得x＝80．

经检验x＝80是原分式方程的解．

∴1.5x＝120（元）．

∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元

答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．

（2）解：设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，

根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．

解得a≤100．

答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．

【解析】【分析】（1）先求出 ，再解方程即可；
（2）根据题意先求出 120a+80（300﹣a）≤28000，再求解即可。

25．【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

此时，60×（1+20%）=72（米）．

答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；

（2）解：设以后每天改造管网还要增加米，

由题意得：，

解得：．

答：以后每天改造管网至少还要增加36米．

【解析】【分析】（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据题意列出方程求解即可；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，根据题意列出不等式求解即可。

26．【答案】（1）以

（2）解：方程两边同时乘（x－3），得1－x＝－1－2x＋6，

解得x＝4.

检验：当x＝4时，x－3≠0.

所以，原分式方程的解为x＝4.

【解析】【分析】利用分式方程的解法求解即可。

27．【答案】（1）解：设y与t的函数关系式为，则

，解得，

∴y与t的函数关系式为；

两人的速度和为：（km/h）；

（2）解：设甲的速度为，乙的速度为，则

，

由（1）可知，

解得：，；

经检验，，是原方程的解；

∴甲由A地运动到B地所用时间是（小时）；

【解析】【分析】（1）设y与t的函数关系式为，再将点（2，0）和（0，16）代入求出k、b的值即可；
（2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程，再结合求出答案即可