2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共8个小题；每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. 5x3÷x2＝5x B. 2a+3b＝5ab C. （2a2）3＝6a6 D. 3x2y－2 x2y＝1
2. 下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1 B. k＞1 C. k＜1且k≠0 D. k＜-1
4. 点P（1+2a，a-3）在第四象限，a的取值范围是（ ）
A. ＜－3 B. a＞ C. -3＜a＜ D. -＜a＜3
5. 方程的解是（　　）
A. x=2 B. x=﹣2 C. x=0 D. 无解
6. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　）

A. ∠ABD＝∠E B. ∠CBE＝∠C C. AD∥BC D. AD＝BC
7. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．李明的作法如图所示，作线段AB使AB＝C，以AB为直径作⊙O，以B为圆心，a为半径作弧交⊙O于点C，连接AC，△ABC即为所求作的三角形，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A. 90°的圆周角所对的弦是直径 B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理 D. 勾股定理
8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分 ）
9. ﹣2018的倒数是______．
10. 若分式有意义，则的取值范围是______．
11. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________．

12. 黄河是中华文明最主要发源地,中国人称其为母亲河,又有河流中段流经中国黄土高原地区，因此夹带了大量的泥沙，每年会产生差没有多十六亿吨泥沙，其中有十二亿吨流入大海，剩下四亿吨常年留在黄河下游，形成冲击平原，十六亿可用科学记数法示为______
13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是__________．
14. 如图，正方形A1B1C1O,A2B2C2C1，A3B3C3C2, ……，按如图方式放置．点A1,A2，A3，……和点C1,C2，C3……分别在直线y＝x +1和x轴上，则点A6的坐标是____________．

三、解 答 题（本大题共9个小题；共70分．）
15 计算: sin60°+(π－-4）0
16. 先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解．
17. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．

18. 某校举行了“文明在我身边”摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为分().校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们成绩，并绘制了如下没有完整的统计图表.

根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中的值为 ；样本成绩的中位数落在分数段 中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
19. 如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个没有同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.

(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是对称图形的概率;
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,没有放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).
20. 某超市有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
(1)若该起市同时购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件总利润(利润=售价-进价)没有少于600元，但又没有超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货．
21. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其主要成分是CO．在矿难的中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
22. 如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．
（1）求证：FG=FB．
（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．

23. 如图，已知抛物线y＝－与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－3，0）
（1）求b的值及点B的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时，点Q随之停止运动），设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBQ与△ABC相似．

2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共8个小题；每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. 5x3÷x2＝5x B. 2a+3b＝5ab C. （2a2）3＝6a6 D. 3x2y－2 x2y＝1
【正确答案】A

【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
A选项中，因为，所以A中计算正确；
B选项中，因为中的两个项没有是同类项，没有能合并，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算错误；
D选项中，因为，所以D中计算错误.
故选A.
点睛：熟知各选项中所涉及运算的运算法则是解答本题的关键.
2. 下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【详解】左视图是从左边看到的图形，
因为圆柱的左视图是矩形，
圆锥的左视图是等腰三角形，
球的左视图是圆，
正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．
故选B．
3. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1 B. k＞1 C. k＜1且k≠0 D. k＜-1
【正确答案】C

【详解】分析：
根据“一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式”进行分析解答即可.
详解：
∵关于x一元二次方程kx2+2x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴ ，
解得：且.
故选C.
点睛：熟知“在一元二次方程中：（1）当△=时，方程有两个没有相等的实数根；（2）当△=时，方程有两个相等的实数根；（3）当△=时，方程没有实数根”是解答本题的关键.
4. 点P（1+2a，a-3）在第四象限，a的取值范围是（ ）
A. ＜－3 B. a＞ C. -3＜a＜ D. -＜a＜3
【正确答案】D

【详解】分析：
根据平面直角坐标系中，各象限点的坐标的符号特征进行分析解答即可.
详解：
∵点P（1+2a，a-3）在第四象限，
∴ ，
解得.
故选D.
点睛：熟记“在平面直角坐标系中：象限的点的横坐标为正，纵坐标为正；第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限的点横坐标为负，纵坐标为负；第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负”是解答本题的关键.
5. 方程的解是（　　）
A x=2 B. x=﹣2 C. x=0 D. 无解
【正确答案】D

【详解】试题解析：变形可得：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
把的系数化为1得：
检验：把代入最简公分母
∴原分式方程无解．
故选D.
6. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　）

A. ∠ABD＝∠E B. ∠CBE＝∠C C. AD∥BC D. AD＝BC
【正确答案】C

【详解】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°，∠E＝∠C，AB=BD，
则△ABD为等边三角形，
即 AD＝AB=BD,∠ADB=60°
因为∠ABD＝∠CBE=60°，
则∠CBD=60°，
所以∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC.
故选C.
7. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．李明的作法如图所示，作线段AB使AB＝C，以AB为直径作⊙O，以B为圆心，a为半径作弧交⊙O于点C，连接AC，△ABC即为所求作的三角形，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A. 90°的圆周角所对的弦是直径 B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理 D. 勾股定理
【正确答案】B

【详解】分析：
根据作图过程，“在圆中，直径所对的圆周角是直角”进行分析判断即可.
详解：
由作图过程可知，线段AB是⊙O的直径，∠ACB是⊙O中AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
又∵AB=c，BC=a，
∴△ABC为所求三角形，且∠ACB是直角.
即判断所作△ABC中∠ACB是直角的依据是：“直径所对的圆周角是直角”.
故选B.
点睛：读懂题意，能理解题中的作图过程，且知道“在圆中，直径所对的圆周角是直角”是解答本题的关键.
8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
函数的图象一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D没有正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
二、填 空 题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分 ）
9. ﹣2018的倒数是______．
【正确答案】

【分析】直接根据“互为倒数的两个数的乘积为1”进一步求解即可.
【详解】﹣2018的倒数是，
故答案为.
本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
10. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【正确答案】且##x≠2且x≥-3

【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件解题即可．
【详解】解：由题意得

解得，即且
故且．
本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为___________．

【正确答案】30°

【详解】∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°．
故答案为30°．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．

12. 黄河是中华文明最主要的发源地,中国人称其为母亲河,又有河流中段流经中国黄土高原地区，因此夹带了大量的泥沙，每年会产生差没有多十六亿吨泥沙，其中有十二亿吨流入大海，剩下四亿吨常年留在黄河下游，形成冲击平原，十六亿可用科学记数法示为______
【正确答案】1.6×109

【详解】分析：
根据“科学记数法的定义”进行分析解答即可.
详解：
.
故答案为.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是__________．
【正确答案】矩形

【详解】解：如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是AB、AD、CD、CB的中点，连接AC、BD交于O，

∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故矩形．
14. 如图，正方形A1B1C1O,A2B2C2C1，A3B3C3C2, ……，按如图的方式放置．点A1,A2，A3，……和点C1,C2，C3……分别在直线y＝x +1和x轴上，则点A6的坐标是____________．

【正确答案】（31，32）

【详解】分析：
由题意图形可知，从左至右第1个正方形的边长是1，第2个正方形的边长是2，第3个正方形的边长是4，……，第n个正方形的边长是，由此可得点An的纵坐标是，根据点An在直线y=x+1上可得点An的横坐标为，由此即可求得A6的坐标了.
详解：
由题意图形可知：从左至右的第1个正方形的边长是1，第2个正方形的边长是2，第3个正方形的边长是4，……，第n个正方形的边长是，
∵点An的纵坐标是第n个正方形的边长，
∴点An的纵坐标为，
又∵点An在直线y=x+1上，
∴点An的横坐标为，
∴点A6的横坐标为：，点A6的纵坐标为：，
即点A6的坐标为（31，32）.
故（31，32）.
点睛：读懂题意，“弄清第n个正方形的边长是，点An的纵坐标与第n个正方形边长间的关系”是解答本题的关键.
三、解 答 题（本大题共9个小题；共70分．）
15. 计算: sin60°+(π－-4）0
【正确答案】4

【详解】分析：
代入60°角的正弦函数值，“零指数幂和负整数指数幂的意义及二次根式的相关运算法则”进行计算即可.
详解：
原式＝2-＝4.
点睛：熟记“角的三角函数值、零指数幂的意义：和负整数指数幂的意义：（为正整数）”是解答本题的关键.
16. 先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解．
【正确答案】，

【详解】解：

=
=
=
=
∵a是方程x2+x﹣3=0的解，
∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，
∴原式=．
17. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．

【正确答案】见解析.

【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出，得出对应边相等即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明．
18. 某校举行了“文明在我身边”摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为分().校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下没有完整的统计图表.

根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中的值为 ；样本成绩的中位数落在分数段 中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
【正确答案】(1)，(2)图形见解析；(3) 180幅.

【详解】试题分析：（1）根据统计表中频率的和为1可求解c的值，然后根据按从小到大排列的数据，找到中间一个或两个的平均数即可判断；
（2）分别求出a、b的值，然后补全频数分布直方图；
（3）根据80分以上的频率求出估计值即可.
试题解析：(1)，.
(2)画图如图；
(3)(幅)

答：估计全校被展评的作品数量是180幅.
考点：
19. 如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个没有同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.

(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是对称图形的概率;
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,没有放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).
【正确答案】（1）.（2）公平

【分析】（1）首先根据题意概率公式可得答案；
（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】解：（1）共有4张牌，正面是对称图形的情况有3种，
所以摸到正面是对称图形的纸牌的概率是；
（2）列表得：
生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．


A

B

C

D

A



（A，B）

（A，C）

（A，D）

B

（B，A）



（B，C）

（B，D）

C

（C，A）

（C，B）



（C，D）

D

（D，A）

（D，B）

（D，C）




20. 某超市有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
(1)若该起市同时购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润(利润=售价-进价)没有少于600元，但又没有超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货．
【正确答案】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，依题意得
┄┄┄┄┄┄┄2分
解得，
答：能购进甲种商品40件，乙种商品40件．┄┄┄┄┄4分
（2）设购进甲种商品a件，依题意得
┄┄┄┄┄┄┄6分
解得，38≤x≤40
∵a取正整数 ∴a=38,39,40 ┄┄┄┄┄┄┄8分
∴共有三种进货，具体如下：
①购进甲种商品38件，乙种商品42件；
②购进甲种商品39件，乙种商品41件；
③购进甲种商品40件，乙种商品40件；┄┄┄┄┄┄┄9分

【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品为80－x件，根据等量关系：甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元即可列出方程，解出即可；
（2）设购进甲商品a件，根据总利润没有少于600元，但又没有超过610元，即可列出没有等式组，解出即得a的范围，从而得到相应的进货．
21. 近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害是瓦斯，其主要成分是CO．在矿难的中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
【正确答案】（1），自变量x的取值范围是x＞7；（2）撤离的最小速度为1.5km/h；（3）矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.

【详解】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(没有取=0没有扣分，=7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点（7,46），
∴. ∴,
∴，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当=34时，由得,6x+4=34，x ="5" .
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2="1.5(km/h)"
(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井
（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为
用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量的取值范围；因为爆炸后浓度成反比例下降，过点（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量的取值范围．
（2）将=34代入函数求得时间，即可求得速度
（3）将=4代入反比例函数求得x,再减7求得
22. 如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．
（1）求证：FG=FB．
（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠OAB=∠OBA，根据切线的性质，可得∠FBG+OBA=90°，根据等式的性质，可得∠FGB=∠FBG，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠ACF=∠F，根据等角的正切值相等，可得AE，根据勾股定理，可得答案．
（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°．
∵FB与⊙O相切，
∴∠FBO=90°，
∴∠FBG+OBA=90°，
∴AGC=∠FBG，
∵∠AGC=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB；
（2）如图
，
设CD=a，
∵OA⊥CD，
∴CE=CD=a．
∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F，
∵tan∠F=，
tan∠ACF==，即，
解得AE=a，
连接OC，OE=4﹣a，
∵CE2+OE2=OC2，
∴（a）2+（4﹣a）2=4，
解得a=，
CD=．
点睛：本题主要圆的相关证明、求解问题，涉及的知识有等腰三角形的性质及判定、切线的性质、勾股定理等.利用已知条件并图形进行推理是解题的关键.
23. 如图，已知抛物线y＝－与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－3，0）
（1）求b的值及点B的坐标；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时，点Q随之停止运动），设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBQ与△ABC相似．

【正确答案】（1），B的坐标为（1，0）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）当t＝1秒或秒时，△PBQ与△ABC相似．

【分析】（1）将点A的坐标代入中可解得b的值，由此可得抛物线的解析式，在所得解析式中令y=0得到关于x的方程，解方程即可求得点B的坐标；
（2）由（1）中所得抛物线的解析式可求得点C的坐标，点A、B的坐标可求得OA、OB、OC和AB的长度，这样由勾股定理可求得AC和BC的长，再证AB2=AC2+BC2可得△ABC是直角三角形；
（3）由题意用含t的代数式表达出BP和BQ的长度，∠ABC是公共角，∠ACB=90°，分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况进行讨论即可求得△PBQ与△ABC相似时对应的t的值．
【详解】解：（1）将点A（－3，0）代入抛物线可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令y＝0，得，解得x1＝-3， x2=1，
∴点B的坐标为：（1，0）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
对于抛物线，令x＝0，得y＝，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=，OA=3，OB=1，AB=4，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC=，
在Rt△COB中，由勾股定理可得BC=2，
∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由题意可得：AP＝2t，BP＝4－2t，BQ＝t，CQ＝2－t，
∵在△ABC和△PBQ中，∠ABC和∠PBQ是公共角，∠ACB=90°，
∴若△PBQ与△ABC相似，则∠PQB＝90°或∠QPB＝90°，
①当∠PQB＝90°时，易得AC∥PQ，则△PQB～△ACB，
∴ ，即，解得t＝1；
②当∠QPB＝90°，则△QPB～△ACB，
∴ ，即，解得；
综上所述：当t＝1秒或秒时，△PBQ与△ABC相似．
这是一道二次函数与几何图形综合的题目，（1）熟悉“二次函数与一元二次方程的关系并能由此求得点B、C的坐标”是解答第1题和第2小题的关键；（2）读懂题意，熟悉相似三角形的判定方法，根据已知条件知道存在∠PQB＝90°或∠QPB＝90°两种情况使△PBQ与△ABC相似是解答第3小题的关键．















2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
第Ⅰ卷（选一选 共42分）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1. 在﹣1，﹣2，0，1四个数中最小的数是（ ）
A. -1 B. -2 C. 0 D. 1
2. 如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（ ）


A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
3. 下面的计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )


A B. C. D.

5. 小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 抽样了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）
码号
33
34
35
36
37
人数
7
6
15
1
1
这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 35，35 B. 35，37 C. 15，15 D. 15，35
7. 如果n边形每一个内角等于与它相邻外角2倍，则n的值是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 没有等式组的解集在数轴上应表示为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法没有正确的是（　　）

A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形
D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
11. 某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
12. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A. 73 B. 81 C. 91 D. 109
13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数的值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
14. （2017怀化）如图，两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，则的值是（ ）

A 6 B. 4 C. 3 D. 2
第Ⅱ卷（非选一选 共78分）
二、 填 空 题 (本大题共5个小题.每小题3分，共15分)
15. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______．
16. 化简：
17. 在△ABC中，，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为__________．



18. 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF= 2，则∠A=_______度.

19. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的值为______．
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：
21. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
正确字数
人数
















根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中， ，_ ；并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数_ ；
（3）若该校共有名学生，如果听写正确的个数少于个定为没有合格，请你估计这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数．
22. 如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高AB(结果保留根号).

23. 如图，以AB边为直径的⊙O点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

24. 某商店10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划购进两种型号电脑共100台，其中B型电脑的进货量没有超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使总利润？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑下调m（0＜m＜100）元，且限定商店至多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价没有变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑总利润的进货．
25. 已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则

线段BM、DN和MN之间数量关系是______；
当绕点A旋转到时如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系；写出猜想，并加以证明；
当绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系；请直接写出你的猜想．
26. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有值？若存在，求出这个值；若没有存在，请说明理由；
（3）求为直角三角形时点P的坐标

2022-2023学年山东省聊城市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
第Ⅰ卷（选一选 共42分）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1. 在﹣1，﹣2，0，1四个数中最小的数是（ ）
A. -1 B. -2 C. 0 D. 1
【正确答案】B

【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数值大的反而小的原则解答．所以解答此题可以根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数即可．
【详解】∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣2．
故选B．
2. 如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（ ）


A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
【正确答案】B

【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠CBE=∠A+∠C=59°，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠CBE=59°；
故选B．
3. 下面的计算正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A. ，故A选项错误；B. 5a-a=4a，故B选项错误；C. ，正确；D. ，故D选项错误，
故选C.
4. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )


A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】找到从上面看所得到的图形即可：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环．
故选C

5. 小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的等可能性结果是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA）共6种
爸爸和妈妈相邻结果是：（ABC），（ACB），（BCA），（CBA）共4种
∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：．
故选：D．
本题考查了列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，写出所有的等可能性结果．
6. 抽样了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）
码号
33
34
35
36
37
人数
7
6
15
1
1
这组数据中位数和众数分别是( )
A. 35，35 B. 35，37 C. 15，15 D. 15，35
【正确答案】A

【详解】分析：
根据“中位数”和“众数”的定义进行分析、计算即可.
详解：
（1）∵将这30个数据按从小到大的顺序排列后，第15和第16个数都是35，
∴这组数据的中位数为：（35+35）÷2=35；
（2）∵这组数据中出现次数至多的数是35，
∴这30个数据的众数是35.
点睛：熟记“众数和中位数的定义和计算方法”是正确解答本题的关键.
7. 如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】C

【详解】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
8. 没有等式组的解集在数轴上应表示为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】分别求出没有等式组中每一个没有等式的解集，然后根据没有等式组解集的确定方法确定出没有等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得答案.
【详解】，
解没有等式得：，
解没有等式得：，
没有等式组的解集为，
在数轴上表示没有等式组的解集为

故选B．
本题考查了解一元没有等式组，在数轴上表示没有等式组的解集等，熟练掌握没有等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小无解了”是解题的关键.注意：在数轴上表示没有等式组的解集时，包括该点时用实心点，没有包括该点时用空心点．
9. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故选B．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
10. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法没有正确的是（　　）

A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形
C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形
D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
【正确答案】D

【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐项进行判断即可．
【详解】A．四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌ ，
，
，
四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确；
B．四边形CEDF是平行四边形，
，
四边形CEDF是矩形，故B选项正确；
C．四边形CEDF是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是菱形，故C选项正确；
D．当时，没有能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误，
故选D．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
11. 某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．
【详解】解：设原计划每天生产x台机器，根据题意得：

故选B．
读懂题意，用含x的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为天和现在生产600台机器所需时间为天是解答本题的关键．
12. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A. 73 B. 81 C. 91 D. 109
【正确答案】C

【详解】第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．
故选C．
13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与x轴一个交点为（3，0）； ②函数的值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．其中正确的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
【正确答案】D

【分析】利用表中数据可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可利用二次函数性质可对②③进行判断；利用抛物线对称性得到x=3时，y=0，则可对①进行判断；利用二次函数的性质直接对④进行判断．
【详解】∵x=0，y=6；x=1，y=6，
∴抛物线的对称轴为直线，所以②错误，③正确，
而x=－2时，y=0，
∴x=3时，y=0，
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），所以①正确；
∵a=－1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大．所以④正确．
故选D．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14. （2017怀化）如图，两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，则的值是（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】D

【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=-k2，S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1-k2的值
【详解】连接OA、OC、OD、OB，如图：

由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=-k2，
∵S△AOC=S△AOE+S△COE，
∴AC•OE=×2OE=OE=（k1-k2）…①，
∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，
∴BD•OF=×（EF-OE）=×（3-OE）=-OE=（k1-k2）…②，
由①②两式解得OE=1，
则k1-k2=2．
故选D．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
第Ⅱ卷（非选一选 共78分）
二、 填 空 题 (本大题共5个小题.每小题3分，共15分)
15. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______．
【正确答案】﹣2y（x﹣4）2

【详解】试题分析：根据提取公因式以及完全平方公式即可求出：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）=﹣2y（x﹣4）2
故答案为﹣2y（x﹣4）2
考点：因式分解
16. 化简：
【正确答案】x+1

【详解】


17. 在△ABC中，，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为__________．


【正确答案】10

【分析】由可得∠AED=∠C，AD：BD=AE：EC=5：3，∠ADE=∠EFC ，△ADE∽△EFC，从而可得DE：FC=AE：EC=5：3，CF=6即可求得DE的长
详解】解：∵，
∴∠AED=∠C，AD：BD=AE：EC=5：3，
又∵∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴DE：FC=AE：EC=5：3，
又∵CF=6，
∴DE=10
故10.

18. 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF= 2，则∠A=_______度.

【正确答案】120

【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．
【详解】∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴
EF=BD，
∴BD=2EF=，
∴BO=，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为120.
考查翻折的变换（折叠问题），菱形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键.
19. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的值为______．
【正确答案】

【分析】根据定义先列没有等式：2x-1≥-x+3和2x-1≤-x+3，确定其y=min{2x-1，-x+3}对应的函数，画图象可知其值．
【详解】解：由题意得： ，解得：

当2x-1≥-x+3时，x≥，
∴当x≥时，y=min{2x-1，-x+3}=-x+3，
由图象可知：此时该函数的值为；
当2x-1≤-x+3时，x≤，
∴当x≤时，y=min{2x-1，-x+3}=2x-1，
由图象可知：此时该函数的值为；
综上所述，y=min{2x-1，-x+3}的值是当x=所对应的y的值，
如图所示，当x=时，y=，
故．
本题考查了新定义、一元没有等式及函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形的思想解决函数的最值问题．
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：
【正确答案】

【详解】分析：
代入30°角的正切函数值，“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可.
详解：

　　
　
．　　　　　　　
点睛：熟记“角的三角函数值”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”是正确解答本题的关键.
21. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别
正确字数
人数
















根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中， ，_ ；并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数_ ；
（3）若该校共有名学生，如果听写正确的个数少于个定为没有合格，请你估计这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数．
【正确答案】（1）30，20；补全条形统计图见解析；（2）90°；（3）这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数约为450人．

【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后用求出的总人数分别乘以D、E两组所占的百分比即可求出m、n的值，进而可补全条形统计图；
（2）用360°乘以扇形统计图中C组所占百分比解答即可；
（3）先求出“听写正确的个数少于24个”的人数，再利用总人数900乘以对应的比例即可．
【详解】解：（1）抽查的总人数是：15÷15%＝100（人），
则m＝100×30%＝30，n＝100×20%＝20．
故答案是：30，20；
补全条形统计图如图所示：

（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：360°×＝90°．
故答案是：90°；
（3）“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25＝50 （人），900×＝450 （人）．
答：这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数约为450人．
本题考查了扇形统计图、条形统计图、频数分布表以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确读懂图象信息、熟练掌握上述知识是解题的关键．

22. 如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高AB(结果保留根号).

【正确答案】6+

【分析】如下图，过点C作CF⊥AB于点F，设AB长为x，则易得AF=x-4，在Rt△ACF中利用∠的正切函数可由AF把CF表达出来，在Rt△ABE中，利用∠的正切函数可由AB把BE表达出来，这样BD=CF，DE=BD-BE即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可得到AB的长.
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F，

设AB=x，则AF=x-4，
∵在Rt△ACF中，tan∠=，
∴CF==BD ，
同理，Rt△ABE中，BE=，
∵BD-BE=DE，
∴-=3，
解得x=6+.
答：树高AB为（6+）米 .
作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF和BE分别用含x的式子表达出来是解答本题的关键.
23. 如图，以AB边为直径的⊙O点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

【正确答案】（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.

【详解】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
24. 某商店10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量没有超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使总利润？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑下调m（0＜m＜100）元，且限定商店至多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价没有变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑总利润的进货．
【正确答案】（1）150元；（2）①y=﹣50x+15000②34台；（3）34，331313≤x≤70，70.

【详解】试题分析：（1）设每台A型电脑利润为a元，每台B型电脑的利润为b元；根据题意得，解得，答：每台A型电脑利润为100元，每台B型电脑的利润为150元．
（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的利润．
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，33≤x≤70．
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的利润．
②m=50时，m﹣50=0，y=15000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x=70时，y取得值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的利润．
考点：①函数的应用;②二元方程组;③一元没有等式的应用．

25. 已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则

线段BM、DN和MN之间的数量关系是______；
当绕点A旋转到时如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系；写出猜想，并加以证明；
当绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系；请直接写出你的猜想．
【正确答案】（1）（2），证明见解析；（3）．

【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；
（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；
（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，交MN于点G．
∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．
∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．
在△ABM和△AGM中，∵，
∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．
故答案为BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．
在△ABE和△ADN中，∵，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．
在△AEM和△ANM中，∵，
∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；
（3）DN﹣BM=MN．证明如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．
△ABM和△ADF中，∵，
∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．
∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．
在△MAN和△FAN中，∵，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN=NF，
∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，
∴DN﹣BM=MN．

本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点没有多，但三角形全等的构造难度较大．
26. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有值？若存在，求出这个值；若没有存在，请说明理由；
（3）求为直角三角形时点P的坐标

【正确答案】（1）；（2）存在，；（3）或

【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；
（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的没有同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．
【详解】（1）∵在直线上，
∴，
∴，
∵、在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为，
∴，
∵，
∴当时，线段PC且为．
（3）∵为直角三角形，
①若点A为直角顶点，．由题意易知，，，因为此种情形没有存在；
②若点A为直角顶点，则．
如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
设直线AM得解析式为，则：，解得，所以直线AM得解析式为：
又抛物线得解析式为：②
联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去）
∴，即点C、M点重合．当时，，
∴；③若点C为直角顶点，则．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，．
∵点、均在线段AB上，
∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．

考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．