第8讲 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）

这是一份第8讲 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。

第8讲 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）
一、单选题
1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 1f=1μ+1ν (v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=(　　)
A．fvf-v B．f-vfv C．fvv-f D．v-ffv
2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产 x 万只口罩，根据题意可列方程为（　　）
A．1500x+0.2-1500x=5 B．1500x=1500x+2000+5
C．1500x+2000=1500x+5 D．1500x-1500x+0.2=5
3．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程 50002x=4000x ﹣30，则方程中x表示（　　）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（　　）
A．120x=16035-x B．12035-x=160x
C．120x=16035+x D．12035+x=160x
5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（　　）
A．60x-60×(1+25%)x=10 B．60(1+25%)x-60x=10
C．60×(1+25%)x-60x=10 D．60x-60(1+25%)x=10
6．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，则所列方程为（　　）
A．180x-2 ﹣ 180x ＝3 B．180x+2 ﹣ 180x ＝3
C．180x ﹣ 180x-2 ＝3 D．180x-180x+2=3
7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）
A．500x=700x-4 B．500x-4=700x
C．500x=700x+4 D．500x+4=700x
8．（2022·衢州模拟）若关于x的一元一次不等式组3x-2≥2(x+2)a-2x<-5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2ay-1+3y-81-y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．（2022·宁海模拟）分式方程1x-1=x1-x+2的解为（　　）
A．x=-1 B．x=1 C．x=3 D．x1=1，x2=3
10．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（　　）

A．2400x+2=2400x+40 B．2400x+40+40=2400x
C．2400x=2400x-2+40 D．2400x+40=2400x-2
二、填空题
11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是　 　．
先化简，再求值： 3-xx-4+1 ，其中 x=
解：原式 =3-xx-4⋅(x-4)+(x-4)…①
=3-x+x-4
=-1
12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗ b= 1a+1b ．若(x+1) ⊗ x= 2x+1x ，则x的值为　 　
13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。设自行车的速度为x千米时，则根据题意可列方程为　 　
14．（2022·兰溪模拟）对于实数a，b定义一种新运算“@”为a@b=1a2-b，这里等式右边是实数运算．例如1@3=112-3=11-3=-12，则方程(-3)@x=1x-9-2的解　 　．
15．（2021·北仑模拟） 方程2xx-1-41-x=1的解为　 　.
16．（2021·定海模拟）分式方程 x+32x-3=27 的解为　 　.
三、计算题
17．（2021·湖州）解分式方程： 2x-1x+3=1
18．（2021·青田模拟）解分式方程： 2x-3 ＝ 1x-1 .
19．（2022·玉环模拟）解方程： x-1x-2+1=3x-2 ．
20．（2022·金华模拟）解方程 1x-2+3=3-x2-x
四、综合题
21．（2022·衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
22．（2022·乐清模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料.某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天.

（1）求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数.
（2）现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完.
型号
所需原材料
冰墩墩单价
A
99克
198元
B
90克
192元
①若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数.
②若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大.求出最大销售金额.
23．（2022·龙港模拟）温州某新开发景区管理委员会计划采购A，B两种休闲长椅供游客景区内休息.已知一张A型长椅可坐3人，一张B型长椅可坐5人；A型长椅单价是B型长椅单价的0.75倍，用8000元购买B型长椅的数量比用4800元购买A型长椅的数量多10张.设景区计划购进m张休闲长椅，总费用为y元.
（1）求A，B两种休闲长椅的单价.
（2）当m=300时，若要保证至少可容纳1200个座位，则应如何安排购买方案最节省费用？求出最低费用y的值.
（3）现总费用y有42000元（可结余少许费用，不一定用完），问是否存在一种购买方式，使得可共容纳至少1308个座位？若有，请直接给出一种具体的购买方式，并写出相应m的值；若没有，则说明理由.
24．（2022·乐清模拟）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元.某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根.
规格
A型
B型
C型
单价（元/条）
4
6
9
（1）求三种型号跳绳的长度.
（2）若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量.
（3）若购买的跳绳长度总长度不少于100米，则A型跳绳最多买几条？
25．（2022·温州模拟）某电商准备销售甲，乙两种特色商品．已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲型商品的数量与用4500元购进乙商品的数量相等．甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%．
（1）求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？
（2）该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件．经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最大？

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解： 1f=1u+1v
μv=fv+fμ
μ（v-f）=fv
∵v≠f即v-f≠0
∴μ=fvv-f.
经检验：μ=fvv-f是原方程的根.
故答案为：C.
【分析】方程两边同时乘以fμv，将分式方程转化为整式方程，再根据v≠f即v-f≠0，可得到μ的值，然后检验即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+0.2）万只口罩，
根据题意得：1500x-1500x+0.2=5.
故答案为：D.
【分析】设原计划每天生产x万只口罩，得出实际每天生产（x+0.2）万只口罩，再根据原计划用的天数-实际用的天数=5，列出方程，即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 50002x=4000x-30 ，
由50002x表示的是足球的单价，4000x表示的是篮球的单价，
∴x表示的是篮球的数量.
故答案为：D.

【分析】由50002x=4000x-30的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，结合“单价=金额÷数量”，即可确定x的含义.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，设徒弟每小时做x个电器零件，则
120x=16035-x.
故答案为：A.
【分析】设徒弟每小时做x个电器零件，则师傅每小时做35-x个零件，徒弟做120个所用的时间为120x，师傅做160个所用的时间为16035-x，然后根据所用时间相同即可列出方程.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：原计划每天生产x万只，则实际每天生产（1+25%）x万只，
由题意得：60x-60(1+25%)x=10，
故答案为： D.
【分析】原计划每天生产x万只，则实际每天生产(1+25%)x万只，原计划所用的时间为60x，实际所用的时间为60(1+25%)x，然后根据提前10天完成任务就可列出方程.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设原来参加游览的同学共x人，由题意得
180x-180x+2=3 ，
故答案为：D.
【分析】设原来参加游览的同学共x人，实际的人数为(x+2)人，则原来每人的费用为180x元，实际每人的费用为180x+2元，然后根据每个同学比原来少摊了3元就可列出方程.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设该书店第一次购进x套，
根据题意可列方程：500x=700x+4，
故答案为：C.
【分析】设该书店第一次购进x套，根据题中的相对关系“ 第一次的进价=第二次的进价”可得关于x的方程，结合各选项即可判断求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：3x-2≥2(x+2)①a-2x<-5②
解不等式①得，x≥6，
解不等式②得，x>5+a2
∵不等式组的解集为：x≥6
∴5+a2<6
∴a<7
解分式方程y+2ay-1+3y-81-y=2得
y+2ay-1-3y-8y-1=2
∴y+2a-(3y-8)=2(y-1)
整理得y=a+52，
∵y-1≠0， 则a+52≠1，
∴a≠-3，
∵分式方程的解是正整数，
∴a+52>0
∴a>-5，且a+5是2的倍数，
∴-5 ∴整数a的值为-1， 1， 3， 5，
∴-1+1+3+5=8
故答案为：b.
【分析】分别解出两个关于未知数x的不等式，根据不等式组的解集为x≥6，可得5+a2<6，求出a＜7；解分式方程得y=a+52，结合分式方程的解是正整数，可得a+52≠1，且a+52>0，据此求出整数a的值，再相加即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵1x-1=x1-x+2，
1=-x+2x-2
解得x=3，
经检验，x=3是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】首先给方程两边同时乘以（x-1），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程：
2400x+40=2400x-2.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得计划每人的费用为2400x元，实际每人的费用为2400x-2元，然后根据实际每人比原来多支付40元就可列出方程.
11．【答案】5
【解析】【解答】解：原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4
∵最后所求的值是正确的
∴-1x-4=-1
解之：x=5
经检验：x=5是方程的解.
故答案为：5.
【分析】先通分计算，再由题意可得到-1x-4=-1；然后解方程求出x的值.
12．【答案】-12
【解析】【解答】 解：由题意得： (x+1)⊗x=1x+1+1x，
∴1x+1+1x=2x+1x，
∴1x+1=2，
解得x=-12.
故答案为：-12.

【分析】根据新定义的运算法则得出(x+1)⊗x=1x+1+1x，则可列出方程1x+1+1x=2x+1x，然后求解，即可得出答案.
13．【答案】12x=123x+12
【解析】【解答】解：设自行车的速度为x千米每时，则汽车的速度为3x千米每时，
由题意，得：12x=123x+12.
故答案为：12x=123x+12.
【分析】设自行车的速度为x千米每时，则汽车的速度为3x千米每时，由”半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达“，可列分式方程为12x=123x+12.
14．【答案】x=10
【解析】【解答】解：(-3)@x=1(-3)2-x=19-x，
∴19-x=1x-9-2，
等式两边同时乘x-9，得：-1=1-2(x-9)，
解得：x=10．
经检验x=10是原分式方程的解．
∴方程(-3)@x=1x-9-2的解是x=10．
故答案为：x=10.
【分析】根据定义的新运算可得(-3)@x=1(-3)2-x=19-x=1x-9-2，求出x的值，然后进行检验即可.
15．【答案】x=-5
【解析】【解答】解：2xx-1-41-x=1
∴2x+4=x-1
∴x=-5，
经检验，x=-5是分式方程的根.
故答案为：x=-5.
【分析】根据分式方程的解法步骤，去分母，移项，合并同类项，检验（根），即可求解.
16．【答案】x=-9
【解析】【解答】解：去分母，得： 7(x+3)=2(2x-3)
去括号，得： 7x+21=4x-6
移项、合并同类项，得： 3x=-27
系数化为“1”，得：x=-9
经检验x=-9是原方程的解
所以原方程的解是x=-9.
故答案为：x=-9.
【分析】首先将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
17．【答案】解：去分母得
2x-1=x+3，
解之：x=4
经检验x=4是原方程的根，
∴原方程的根为x=4.
【解析】【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解；再检验可得方程的根.
18．【答案】解：方程两边都乘以最简公分母(x-3)(x-1)，得：2(x-1)=x-3
即2x-2=x-3
解得：x=-1
把x=-1代入(x-3)(x-1)中，得(x-3)(x-1)=-4×(-2)=8≠0
所以原方程的解为：x=-1
【解析】【分析】直接按照解分式方程的步骤，先方程两边都乘以最简公分母(x-3)(x-1）化为整式方程，接着解整式方程得出x的值，然后再检验最简公分母是否为0，最后得到方程的即可.
19．【答案】解：去分母得：x-1+（x-2）=3，
去括号得：x-1+x-2=3，
移项合并同类项得：2x=6，
系数化为1得：x=3，
检验：当x=3时，x-2≠0，
∴x=3是原分式方程的解.
【解析】【分析】按分式方程解法步骤，依次进行去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1及检验，即可求解分式方程.
20．【答案】解： 1x-2+3=3-x2-x
x-21x-2+3=3-x2-xx-2，
去分母：1+3(x-2)=x-3，
去括号：1+3x-6=x-3
移项：3x-x=-3+6-1，
合并同类项：2x=2，
系数化为1：x=1，
经检验x=1是原方程的解.
【解析】【分析】将原方程去分母，去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为1，最后检验，即可求得x的值.
21．【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为 60×0.6a=36a 元，
答：新能源车的每千米行驶费用为 36a 元
（2）解：①由题意得： 40×9a-36a=0.54 ，
解得 a=600 ，
经检验， a=600 是所列分式方程的解，
则 40×9a=40×9600=0.6 ， 36a=36600=0.06 ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元，新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元；
②设每年行驶里程为 x 千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得： 0.6x+4800>0.06x+7500 ，
解得 x>5000 ，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低.
【解析】【分析】（1）利用第二个框中的电池电量，电价及续航里程，可求出新能源车的每千米行驶费用.
（2）①利用已知条件：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；然后分别列式计算可求出这两款车的每千米行驶费用；②设每年行驶里程为x千米时，根据买新能源车的年费用更低，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
22．【答案】（1）解：根据已知，设甲、乙车间每天生产的数量分别为2m、m个
80002m=2000m+1
解得m=2000
经检验符合题意，
∴甲、乙车间每天生产的数量分别为4000个、2000个
（2）解：①设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，得
x+y=400099x+90y=378000，解得x=2000y=2000
∴生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个
②设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，得99x+90y=378000
∴y=4200-1.1x，∵x>y
∴x>4200-1.1x，解得：x>2000
w=198x+192(4200-1.1x)=-13.2x+806400，∵k=-13.2<0
∴w随x的减小而增大
∵x，y都是正整数
∴x是10的倍数，那么x的最小值取2010，
即当x=2010时，w有最大值，最大值为779868元.
【解析】【分析】（1）设甲、乙车间每天生产的数量分别为2m、m个，则甲车间生产8000个所用的时间为80002m，乙车间生产2000个所用的时间为2000m，然后根据甲车间比乙车间所用的时间多一天列出方程，求解即可；
（2）①设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，根据外壳共4000个可得x+y=4000；根据共378千克的原材料可得99x+90y=378000，联立求解即可；
②设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，根据共378千克的原材料可得99x+90y=378000，表示出y，根据x>y可得x的范围，由A型号冰墩墩单价×数量+B型号冰墩墩单价×储量可得w与x的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
23．【答案】（1）解：设B型长椅的单价为a元，则A型长椅的单价为0.75a元，根据题意，
得8000a=48000.75a+10，解得a=160，0.75a=120，
答：A，B两种休闲长椅的单价分别为120元，160元.
（2）解：设A型长椅买了x张，则B型长椅买了(300-x)张，根据题意，
得3x+5(300-x)≥1200，解得x≤150，
又∵y=120x+160(300-x)=-40x+48000，
∴当x=150时，y最小，为42000元，此时A，B两种休闲长椅各购买150张.
答：A，B两种长椅各购买150张最节省费用，最低费用为42000元.
（3）解：A，B型长椅的数量可分别购买0张，262张或1张，261张或2张，261张或3张，260张或6张，258张，m的值为262或263或264.
【解析】【解答】解：（3）设A型长椅买了x张，得出B型长椅买了（m-x）张，
根据题意得：y=120x+160（m-x）=42000，
∴x=4m-1050，m=262+x4，
∵3x+5（m-x）≥1308，3x+5（m-x）≥1308，
∴3x+5（262+x4-x）≥1308，3（4m-1050）+5（m-4m+1050）≥1308，
∴x≤6，m≤264，
∵x，m为正整数，
∴当x=0时，m=262，y=120x+160（m-x）=41920＜42000，
∴ A，B型长椅的数量可购买0张，262张，m的值为262.
【分析】（1）设B型长椅的单价为a元，得出A型长椅的单价为0.74a元，根据题意列出方程，解方程求出a的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）设A型长椅买了x张，得出B型长椅买了（300-x）张，根据题意列出不等式，解不等式求出x的取值范围，再列出y与x的函数关系式，根据一次函数的性质进行解答，即可得出答案；
（3） 利用（2）的结论，得出y=120x+160（m-x）=42000，得出x=4m-1050，m=262+x4，再根据3x+5（m-x）≥1308，得出x，m的取值范围，选择一种购买方式，并求出m的值，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：设A型x米，则B型2x，由题意可得
80x=1202x+5，
解得x=4
∴A型跳绳长4米，B型跳绳长8米， C型跳绳长12米.
（2）解：设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条，由题意可得： 4a+8a+12b=120①4a+6a+9b=95②
得12a+12b=120①10a+9b=95②
解得a=5b=5
∴购买A型跳绳5条.
（3）解：设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条，
由题意可得4m+8n+12t≥100①4m+6n+9t≤95②
得8n+12t≥100-4m①6n+9t≤95-4m②
化简得2n+3t≥25-m①2n+3t≤95-4m3②
所以25-m≤2n+3t≤95-4m3
解得m≤20，
∴购买A型跳绳最多20条.
【解析】【分析】（1）设A型x米，则B型2x米，由题意可得用80米绳子制作A型的数量为80x条，用120米绳子制作B型的数量为1202x条，结合“ 用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根 ”可得关于x的方程，求解即可；
（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条 ，根据总长度为120米可得4a+8a+12b=120，根据购买跳绳经费最多95元可得4a+6a+9b=95，联立求解即可；
（3）设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条， 根据总长度不少于100米可得4m+8n+12t≥100，根据购买跳绳经费最多95元可得4m+6n+9t≤95，联立求出2n+3t的范围，求出m的范围，据此解答.
25．【答案】（1）解：设乙商品的进价为x元/件，甲商品的进价为（x+20）元/件，
5000x+20=4500x ，解得×=180．
检验：x=180是原方程的解且符合题意．
∴x+20=200．
答：一件甲，乙商品的进价分别为200元和180元．
（2）解：由题意得甲商品售价为200×1.6=320元，乙商品售价为180×1.5=270元，
设商店每天销售完甲、乙商品获取的总利润为w，则：
W=（120-m）（200+2m）+（90-m）（100+2m）=-4m2+120m+33000．
当m= 1202×(-4) =15时，W最大=33900元．．
答：当m=15元时，才能使商店每天销售完甲，乙两种商品获取的利润最大．
【解析】【分析】(1)设乙商品的进价为x元件，甲商品的进价为(x+ 20)元件，根据5000元购进甲型商品的数量等于4500元购进乙商品的数量，建立关于x的方程求解，即可解答；
(2)先分别计算出甲、乙两种商品的售价，再设商店每天销售完甲、乙商品获取的总利润为W元，然后根据“利润=（售价-进价）×数量”列出W和m的函数关系式，最后根据二次函数的性质最大值，即可解答