2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若x4=3y，则xy的值为( )
A. 12B. 43C. 34D. 7
2. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知关于x的方程x2+x+2a−4=0的一个根是−1，则a的值是( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4. 小红有两顶帽子，分别为粉色和黑色，有两条围巾，分别为粉色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 56
5. 下列函数关系中，是二次函数的是( )
A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 半圆面积S与半径R之间的关系
6. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 甲、乙和丙
7. 已知反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6，则当x≥2时，y有( )
A. 最小值−6B. 最小值−3C. 最大值−6D. 最大值−3
8. 下列方程没有实数根的是( )
A. x2+4x=10B. 3x2+8x−3=0
C. x2−2x+3=0D. (x−2)(x−3)=12
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间，对称轴为x=−1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b=2a；②−34；⑤当x<0时，y随x的增大而减小.其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
10. 把一元二次方程x(x−3)=6化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，则常数项是 ．
11. 从同一批产品中抽检了1000件，其中不合格的产品有10件，由此估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是 ．
12. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．
13. 如图，小亮从一盏9米高的路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE是2米，则小亮的身高DC为 米.
14. 已知点P为二次函数y=x2−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于C点，若∠CAP=90°，则点P的横坐标的值为 ．
15. 正方形ABCD中，AB=6，点E在直线AD上，且DE=13AE，连接BE，线段BE的垂直平分线交CD边于点F，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解方程：3x2−3x−1=0．
17. (本小题8.0分)
已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE=CE.求证：△BEO≌△CEO．
18. (本小题8.0分)
张老师和王老师参加了学校组织的党员志愿者活动，积极参与学校的常规服务.每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①早晨组织学生按秩序入校；②组织学生午餐；③带领学生进行体育锻炼.请用列表或画树状图的方法，求张老师和王老师选择参加同一项目的概率(用序号表示各项目)．
19. (本小题8.0分)
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为y个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，作DE//AB交BC边于点E，AC=6，BC=7.将△DCE绕点C旋转，旋转后点D的对应点为点F，点E的对应点为点G，且点F在△ABC的内部，连接AF，BG．
(1)求AFBG的值；
(2)判断直线AF与BG的位置关系，并说明理由．
21. (本小题10.0分)
某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率．
22. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点B的坐标为(2,m)，点A在y轴正半轴上，将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点E恰好在反比例函数y=−6x(x>0)的图象上．
(1)求m的值；
(2)求△ABO平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当△PEF的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及△PEF的周长．
23. (本小题12.0分)
(1)如图1，△ABC中，点D在BC边上，且与点B，C不重合，点G是线段AD上一点，不与点A，D重合，过点G作EF//BC，分别交AB，AC于点E，F．
①求证：EGBD=FGDC；
②连接ED，DF，当四边形AEDF是平行四边形时，S四边形AEDF：S△ABC= ；
(2)如图2，在△ABC中，AD是中线，点E在线段AD上，EF//BC交AC于点F，EG⊥EF，且点G与点E在BC边两侧，连接FG，BG，∠EGF=∠ABC，FG=10，AB=15，AE：AD=2：3，请直接写出BG的长．
24. (本小题12.0分)
如图抛物线y=15x2+bx−3的对称轴为x=−2，对称轴与x轴交于点A，抛物线与y轴交于点B，点C，D为抛物线上的两个动点，且点C在点D的右侧，∠CAD=90°．
(1)求该抛物线的函数表达式及线段AB的长；
(2)当点C与点B重合时，直接写出点D的坐标；
(3)当点C不与点B重合时，且△CAD与(2)中的△CAD相似时，请直接写出点C的横坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为x4=3y，
所以xy=12．
故选：A．
利用比例的性质，把比例式化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的性质：内项之积等于外项之积．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，

故C选项符合题意．
故选：C．
根据俯视图的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：把x=−1代入方程x2+x+2a−4=0得1−1+2a−4=0，
解得a=2．
故选：D．
把x=−1代入方程x2+x+2a−4=0得1−1+2a−4=0，然后解关于a的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】C
【解析】解：列表如下：
由表知，共有4种等可能结果，其中恰好为粉色帽子和粉色围巾的只有1种结果，
所以恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率为14，
故选：C．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行判断即可．
【解答】
解：A、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系不一定是一次函数，错误；
B、t=sv不是二次函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、S=12πR2.是二次函数，正确；
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：甲：邻边的比为3：2，
乙：邻边的比为2.5：1.5=5：3，
丙：邻边的比为1.5：1=3：2，
所以，是相似图形的是甲和丙．
故选B．
分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答．
本题考查了相似图形，根据矩形的性质，只需求出邻边的比即可，比较简单．
7.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6，
∴此函数图象的一个分支在第二象限，y随x的增大而增大，
∴当x=−1时，y=6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x．
∵当x≥2时，函数图象位于第四象限，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，y有最小值，y最小=−62=−3．
故选：B．
先根据反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6可知k=−6，再由反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，根据题意求出k的值，利用反比例函数的增减性求解是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、方程变形为：x2+4x−10=0，△=42−4×1×(−10)=56>0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、△=82−4×3×(−3)=100>0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
C、△=(−2)2−4×1×3=−8<0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2−5x−6=0，△=52−4×1×(−6)=49>0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
分别计算出判别式△=b2−4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，①正确．
∵抛物线经过(−1,4)，
∴a−b+c=−a+c=4，
∴a=c−4，
∵抛物线与y轴交点在(0,1)与(0,2)之间，
∴1∴−3∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，③正确．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m−4(a≠0)有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m−4有两个交点，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,4)，
∴m−4<4，
∴m<8，④错误．
由图象可得x<−1时y随x增大而增大，
∴⑤错误．
故选：B．
由抛物线对称轴为直线x=−1可判断①，由抛物线顶点坐标可得a与c的关系，由抛物线与y轴交点位置可判断c的取值范围，从而判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线与直线y=m−4交点个数判断④，由图象可得x<−1时，y随x增大而增大，从而判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】−6
【解析】解：x(x−3)=6化成一般形式为x2−3x−6=0，
则常数项是−6．
故答案为：−6．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
11.【答案】0.99
【解析】解：估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是1000−101000=0.99，
故答案为：0.99．
用合格产品的数量除以总数量即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12.【答案】2：5
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
13.【答案】1.8
【解析】解：如图，CE=2米，BC=8米，AB=9米，CD//AB，
∴BE=BC+CE=10米，
∵CD//AB，
∴△ECD∽△EBA，
∴CDAB=CEBE，即CD9=210，
解得AB=1.8(米)，
即小亮的身高DC为1.8米；
故答案为：1.8．
根据CD//AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：对于y=x2−2x−3①，令y=0，则x=3或−1，令x=0，则y=−3，
故点A、B、C的坐标分别为：(3,0)、(−1,0)、(0,−3)．
当∠PAC为直角时，如图，
由点A、C的坐标知，OA=OC=3，即直线AP与x轴负半轴的夹角为45°，

而∠PAC为直角，故直线PA的倾斜角为45°，
故设直线PA的表达式为：y=−x+b，将点A的坐标代入得：b=3，
故直线AP的表达式为：y=−x+3②，
联立①②解得：x=−2或3(舍去3)，
故点P(−2,5)；
故答案为：−2．
先求出A、B、C三点坐标，设直线PA的表达式为：y=−x+b，将点A的坐标代入求出b的值，进而可得出直线AP的解析式，求出直线AP与抛物线的交点即可得出结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出直线AP的解析式．
15.【答案】9316或214
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BF，EF，
①当E在AD延长线上时，如图：

∵正方形ABCD中，AB=6，
∴BC=6=AD，直线CD解析式为x=6，
∵DE=13AE，
∴DE=12AD=3，
∴AE=9，
∴E(9,6)，
∵线段BE的垂直平分线交CD边于点F，
∴BF=EF，
设F(6,m)，则62+m2=(9−6)2+(6−m)2，
解得m=34，
∴F(6,34)，
∵D(6,6)，
∴DF=6−34=214；
②当E在线段AD上时，如图：

∵DE=13AE，
∴DE=14AD=32，
∴AE=92，
∴E(92,6)，
设F(6,n)，
由BF=EF可得62+n2=(6−92)2+(n−6)2，
解得n=316，
∴F(6,316)，
∵D(6,6)，
∴DF=6−316=9316；
故答案为：9316或214．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BF，EF，分两种情况：①当E在AD延长线上时，可得E(9,6)，根据线段BE的垂直平分线交CD边于点F，设F(6,m)，有62+m2=(9−6)2+(6−m)2，即可解得F(6,34)，故DF=6−34=214；②当E在线段AD上时，同理可得DF=9316．
本题考查正方形的性质及应用，涉及勾股定理及应用，平面直角坐标系等知识，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点F的坐标．
16.【答案】解：3x2−3x−1=0，
这里a=3，b=−3，c=−1，
∵b2−4ac=(−3)2−4×3×(−1)=21>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=3±212×3，
∴x1=3+216，x2=3−216．
【解析】先求出b2−4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择正确的方法解方程是解此题的关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OB=OC，
在△BEO和△CEO中，
OE=OEBE=CEOB=OC，
∴△BEO≌△CEO(SSS)．
【解析】根据矩形的性质得OB=OC，以此即可通过SSS证明△BEO≌△CEO．
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，根据矩形的对角线相等，且互相平分得到OB=OC是解题关键．
18.【答案】解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中张老师和王老师选择参加同一项目的有3种结果，
所以张老师和王老师选择参加同一项目的概率为13．
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：y=(100+x)(600−5x)=−5x2+100x+60 000；
令y=60400，即60400=−5x2+100x+60000，
解得x1=10−25，x2=10+25，
∵y=−5x2+100x+60000=−5(x−10)2+60500．
该函数图象关于直线x=10对称，当x<10时，y随x的增大而增大；当x>10时，y随x的增大而减小；所以当10−2560400．
∴增种的棵树为6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在60400个以上．
【解析】根据题意果园橙子的总产量=每个橙子树结的橙子个数×树的个数，由二次函数的性质可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，掌握二次函数的性质是本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵DE//AB，
∴CD：AC=CE：CB，
∵△CDE旋转后得到△CFG，
∴CF=CD，CG=CE，
∴CF：AC=CG：BC，
∵∠DCE=∠FCG=90°，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCG+∠FCE，
∴∠ACF=∠BCG，
∴△CAF∽△CBG，
∴AFBG=ACBC=67；
(2)AF⊥BG，理由如下：
延长AF交BG于H，
∵△CAF∽△CBG，
∴∠CAF=∠CBG，
∵∠AEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BG．
【解析】(1)由条件可以证明△CAF∽△CBG，由相似三角形的对应边成比例，即可求解；
(2)由△CAF∽△CBG，得到∠CAF=∠CBG，又∠AEC=∠BEH，由三角形内角和定理得到∠BHE=∠ACE=90°，即可证明AF⊥BG．
本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
21.【答案】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得：30(1+x)2=50.7，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)，
答：该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为30%．
【解析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，利用三月份的口罩产量=一月份的口罩产量×(1+该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)过B点作BH⊥AO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，B(2,m)，
∴OH=BH=2，
∴m=2，
(2)由平移可得B点横坐标和E点横坐标相同，设E(2,n)，
∵E在反比例函数y=−6x(x>0)的图象上，
∴n=−62=−3，
∴E(2,−3)，
∴△ABO平移的距离为5．
(3)作F点关于x轴的对称点F′，连接EF′，交x轴于P，此时△PEF的周长最小，最小值为EF′+EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM=45°，
∴EM=MD=MF=2，
由E(2,−3)得F(0,−5)，
∴F′(0,5)，
设直线EF′的表达式为：y=kx+b，则b=52k+b=−3，
解得：k=−4b=5，
∴直线DF的表达式为y=−4x+5，
令y=0，则−4x+5=0，解得x=54，
∴P(54,0)，
∵E(2,−3)，F(0,−5)，F′(0,5)，
∴EF=22+(−3+5)2=22，EF′=22+(−3−5)2=217，
∴△PEF的周长的最小值为217+22．
【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质求出即可；
(2)根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
(3)作F点关于x轴的对称点F′，连接EF′，交x轴于P，此时△PEF的周长最小，最小值为EF′+EF．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称−最短路线问题，坐标与图形变化−平移，求得点的坐标是解答本题的关键．
23.【答案】1：2
【解析】(1)①证明：∵EF//BC，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴AGAD=EGBD，AGAD=GFCD，
∴EGBD=FGDC；
②解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG=GD=12AD，S△AEF=12S▱AEDF，
∵△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴AEAB=AGAD=12，AFAC=AGAD=12，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=14，
∴S△AEF=14S△ABC，
∴S四边形AEDF：S△ABC=1：2，
故答案为：1：2；
(2)解：如图，延长FE交AB于点H，连接GH交BC于N，设FG交BC于M，

∵AD是中线，
∴CD=BD，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ADC，△AEH∽△ADB，
∴AEAD=EFCD=23，AHAB=EHBD=23=AEAD，
∴EFCD=EHDB，AH=23AB=10，
∴EF=EH，BH=5，
又∵GE⊥EF，
∴FG=GH=10，
∵GE⊥FH，
∴∠EGF=∠EGH，
∵∠EGF=∠ABC，
∴∠EGH=∠ABC，
∵EF//BC，
∴∠FHN=∠BNH，
又∵∠EGH=∠ABC，
∴∠GEH=∠BHN=90°，
∴GB=BH2+GH2=25+100=55．
(1)①通过证明△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，可得AGAD=EGBD，AGAD=GFCD，可求解；
②由平行四边形的性质可得AG=GD=12AD，S△AEF=12S▱AEDF，由相似三角形的性质可得S△AEF=14S△ABC，即可求解；
(2)由相似三角形的性质可求BH的长，由等腰三角形的性质可求GH的长，先证明∠GEH=∠BHN=90°，再利用勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=15x2+bx−3的对称轴为x=−2，
∴−b2×15=−2，
∴b=45，
∴该抛物线的函数表达式为：y=15x2+45x−3；
当x=0时，y=−3，
∴B(0,−3)，
由题意得：A(−2,0)，
∴AB=22+32=13；
(2)如图1，点C与B重合，过点D作DE⊥x轴于E，

由(1)知：OA=2，OB=3，
∵∠CAD=90°，
∴∠OAB+∠DAE=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO，
∵∠AED=∠BOA=90°，
∴△BOA∽△AED，
∴OBOA=AEED=32，
设AE=3t，DE=2t(t>0)，
∴D(−2−3t,−2t)，
∵点D在抛物线y=15x2+45x−3上，
∴15(−2−3t)2+45(−2−3t)−3=−2t，
解得：t=1或−199(舍)，
∴D(−5,−2)；
(3)设C(a,15a2+45a−3)，
如图2，过点C作CN⊥OA于N，过点D作DM⊥OA于M，

由(2)知：F(−5,−2)，A(−2,0)，B(0,−3)，
∴AB=AF，
∵∠BAF=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵△CAD∽△BAF，
∴△CAD也是等腰直角三角形，
同理得：△CNA≌△AMD，
∴CN=AM=−15a2−45a+3，AN=DM=2+a，
∴D(−2+15a2+45a−3,−a−2)，
∴15(15a2+45a−5)2+45(15a2+45a−5)−3=−a−2，
15(15a2+45a−5)2+45(15a2+45a−5)=−a+1，
(15a2+45a−5)2+4(15a2+45a−5)=−5(a−1)，
(a−1)[(15a2+45a−5)(a+5)+25]=0，
解得：a1=1，a2=−9+1012，a3=−9−1012，a4=0(舍)，
综上所述，点C的横坐标是1或−9+1012或−9−1012．
【解析】(1)先根据抛物线的对称轴公式：x=−b2a列方程可得b的值，从而得抛物线的函数表达式，根据两点的距离公式可得线段AB的长；
(2)作辅助线，构建相似三角形，证明△BOA∽△AED，列比例式可得AE和DE的关系，设AE=3t，DE=2t(t>0)，表示点D的坐标，代入抛物线的解析式可解答；
(3)根据(2)中的点D的坐标就是图2中的点F，计算得△ABF是等腰直角三角形，当△CAD与(2)中的△CAD相似时，△CAD也是等腰直角三角形，作辅助线构建全等三角形，列方程可解答．
本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到旋转的性质，三角形全等和相似的性质和判定，待定系数法求二次函数的解析式等知识点，其中(3)中，确定△ABF是等腰直角三角形是本题的重点，本题有一定的难度．
粉
黑
粉
(粉，粉)
(黑，粉)
白
(粉，白)
(黑，白)
王老师
张老师
①
②
③
①
(①,①)
(②,①)
(③,①)
②
(①,②)
(②,②)
(③,②)
③
(①,③)
(②,③)
(③,③)