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2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体是由4个小立方体搭成，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实根 D．以上答案都有可能
3．（2分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．（2分）若反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
5．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
6．（2分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
8．（2分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5） B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）
C．向上、直线x＝4、（4，﹣5） D．向上、直线x＝4、（4，5）
9．（2分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＜1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若，则 ．
12．（3分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则另一根是 ．
13．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y图象上，则y1、y2大小关系是 ．
14．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 ．
15．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 ．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形．点EF分别是ABCD的中点．AE与BF相交于点G．连接DE交BF于点H，则GH的长为 ．
三、（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2x2+x﹣1＝0．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，则DP＝ ．
19．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
四、（第20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）△DCE与△ACB的周长比为 ．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，一次函数y1x与反比例函数y2的图象交于A（m，4），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1＞y2时，结合图象直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
六、（本题10分）
23．（10分）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF，求CF的长．
八、（本题12分）
25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？请直接写出点P的坐标．
2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体是由4个小立方体搭成，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
【解答】解：由题意知，原几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查左视图的知识，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
2．（2分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实根 D．以上答案都有可能
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝29＞0，进而可得出方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【分析】利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案．
【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊四边形，正确掌握特殊四边形对角线的性质是解题关键．
4．（2分）若反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【分析】直接利用反比例函数的性质得出m+3的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象在第二、四象限，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的图象分布特点是解题关键．
5．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，B（﹣6，﹣4），
点A的对应点A'的坐标为（﹣6×2，﹣4×2）或（﹣6×（﹣2），﹣4×（﹣2）），即点A'的坐标为（﹣12，﹣8）或（12，8），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．（2分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得：0.25，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例，再计算其个数．
8．（2分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5） B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）
C．向上、直线x＝4、（4，﹣5） D．向上、直线x＝4、（4，5）
【分析】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向向下；
对称轴是直线x＝4；
顶点坐标是（4，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
9．（2分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
【分析】连接AC，根据菱形的性质可知AB＝BC，∠B＝60°，可判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC＝AB＝BC＝16cm，故正方形的边长为16cm．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AC＝16cm，
∴AB＝BC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＜1
【分析】根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而判断选项A；令x＝1，观察图象可得选项B；根据对称轴可判断选项C，观察图象可得y＜0时x的取值范围，从而判断选项D．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故选项A正确，不符合题意；
当x＝1时，观察图象可得y＝a+b+c＜0，
故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线对称轴，
∴2a＝﹣2b，即a＝﹣b，
∴2a+b＝﹣b，
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∴2a+b＞0，
故选项C正确，不符合题意；
根据图象可得：当y＜0时，﹣1＜x＜2，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了图象与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若，则 ．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．（3分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则另一根是 ﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与m的方程组，即可求解．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣8，α＝﹣4；
故答案为：﹣4．
【点评】考查了一元二次方程的解及根于系数的关系的知识，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系．
13．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y图象上，则y1、y2大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
14．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 y＝﹣2（x+2）2+5 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果．
【解答】解：∵向左平移3个单位，则解析式中的x加3，向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2，
∴平移之后的解析式为：y＝﹣2（x+3﹣1）2+3+2＝﹣2（x+2）2+5．
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+5．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移规律是解决本题的关键．
15．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 576cm2 ．
【分析】根据GH∥BC得出△AHG∽△ABC，设AD与EH交于点M，证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠FDM＝∠FGM＝∠DMG＝90°，
∴四边形DFGM是矩形，
∴FG＝DM，
设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AHG∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝24，
∴正方形EFGH的面积为：24×24＝576（cm2），
故答案为：576cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质，相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形．点EF分别是ABCD的中点．AE与BF相交于点G．连接DE交BF于点H，则GH的长为 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以求得BF和BG的长，根据相似三角形的判定和性质可以得到HF的长，然后即可求得GH的长．
【解答】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MFEC，MF∥BC，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴CF＝BE＝2，BC＝AB＝4，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF2，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴，
即，
解得BG，
∵MF∥BC，
∴△BEH∽△FMH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴FHBF，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝2，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
三、（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2x2+x﹣1＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x1，x1＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，则DP＝ ．
【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴四边形DEBF是矩形；
（2）解：连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB＝6，
设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，
解得：x，
∴PD．
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答．
19．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
四、（第20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，即，
∴OP（m）．
答：路灯的高度OP是m．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相似三角形的应用．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）△DCE与△ACB的周长比为 ．
【分析】（1）由DE∥AB得∠EDC＝∠A，因为∠CBD＝∠A，所以∠EDC＝∠EBD，而∠A＝∠A，可证明△ECD∽△EDB；
（2）由DE∥AB可证明△DCE∽△ACB，而AC＝3CD，所以△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，即可得出问题的答案．
【解答】（1）证明：如图，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
即∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∵AC＝3CD，
∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，
∴△DCE与△ACB的周长比为．
故答案为：．
【点评】此题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，其中证明△DCE∽△ACB是解题的关键．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，一次函数y1x与反比例函数y2的图象交于A（m，4），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1＞y2时，结合图象直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）求得一次函数的图象与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y1x的图象过A（m，4），B（﹣3，n）两点，
∴4m，n（﹣3），
∴m＝1，n，
∴A（1，4），B（﹣3，），
将点A的坐标代入y2得4，
解得k＝4，
故反比例函数的表达式为：y2；
（2）观察函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围：﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）把y＝0代入y1x得，x0，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
六、（本题10分）
23．（10分）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为 （20+2x） 盒，每盒口罩的利润为 （20﹣x） 元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×降低的价格，每盒口罩的利润＝售价﹣进价，即可求出结论；
（2）根据日利润＝日销售量×每盒口罩利润解答即可；
（3）根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴降低x元，销售量增加2x盒，
那么日销售量为（20+2x）盒，每盒口罩利润为（70﹣50）﹣x＝（20﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（20﹣x）；
（2）设每盒售价降低x元，根据题意可知：（20+2x）（20﹣x）＝400，
解得：x1＝0（舍去），x2＝10，
∴售价应定为70﹣10＝60元，
答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
（3）设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W＝450元，
由题意可知：W＝（20+2x）（20﹣x）＝﹣2x2+20x+400，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
当时，W有最大值，即W＝450元，
∴售价应定为70﹣5＝65元，
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF，求CF的长．
【分析】（1）①由旋转的性质知，，∠ECB＝∠DCA，从而证明结论；
②由①知，∠B＝∠DAC＝∠ADC，由∠CAB+∠B＝90°，则∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，从而得出答案；
（2）分两种情形，当线段BE交AC于F或当射线BE交AC于F时，设BE＝x，作CH⊥AD于H，则AH，利用△AHC∽△BCF，可求出x的值，从而解决问题．
【解答】（1）①证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴EC＝BC，DC＝AC，∠ECB＝∠DCA，
∴，∠ECB＝∠DCA，
∴△BCE∽△ACD；
②解：2∠CAE+∠ADE＝90°，理由如下：
∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵△BCE∽△ACD，CE＝CB，CD＝CA，
∴∠B＝∠DAC＝∠ADC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，
∴2∠CAE+∠ADE＝90°；
（2）设BE＝x，作CH⊥AD于H，则∠CHA＝∠BCF＝90°，
∵AC＝2BC，△BCE∽△ACD，
∴AD＝2x，
∵∠CHA＝∠BCF＝90°，
∴△AHC∽△BCF，
∴，
∵CD＝CA，CH⊥AD，
∴AH，
当线段BE交AC于F时，
∴，
解得：x或﹣5（舍去），
∴FC3；
②当射线BE交AC于F时，
，
解得：x（舍）或5，
∴FC，
综上所述，CF的长为3或．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，对学生的识图能力要求较高，属于中考压轴题．
八、（本题12分）
25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由SOB×PD，即可求解；
（3）由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2+2x+6；
（2）∵A（0，6），
∴直线AB的表达式为：y＝kx+6，
将点B的坐标代入上式得：0＝6k+6，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
点P的横坐标为m，则P（m，m2+2m+6），
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
则D（m，﹣m+6），
∴SOB×PD6×（m2+2m+6+m﹣6）（m﹣3）2，
∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；
（3）存在，理由如下：
由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，
由（1）可得，PDm2+2m+6+m﹣6m2+3m，
∵PE∥x轴，
∴E（4﹣m，m2+2m+6），
∴PE＝|2m﹣4|，
∴|2m﹣4|m2+3m，
解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5（舍），m4＝5，
∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5，35）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．能够综合运用这些知识点是解题的关键．
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2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体是由4个小立方体搭成，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实根 D．以上答案都有可能
3．（2分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．（2分）若反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
5．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
6．（2分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
8．（2分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5） B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）
C．向上、直线x＝4、（4，﹣5） D．向上、直线x＝4、（4，5）
9．（2分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＜1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若，则 ．
12．（3分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则另一根是 ．
13．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y图象上，则y1、y2大小关系是 ．
14．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 ．
15．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 ．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形．点EF分别是ABCD的中点．AE与BF相交于点G．连接DE交BF于点H，则GH的长为 ．
三、（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2x2+x﹣1＝0．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，则DP＝ ．
19．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
四、（第20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）△DCE与△ACB的周长比为 ．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，一次函数y1x与反比例函数y2的图象交于A（m，4），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1＞y2时，结合图象直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
六、（本题10分）
23．（10分）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF，求CF的长．
八、（本题12分）
25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？请直接写出点P的坐标．
2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区杏坛中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图所示的几何体是由4个小立方体搭成，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
【解答】解：由题意知，原几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查左视图的知识，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
2．（2分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实根 D．以上答案都有可能
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝29＞0，进而可得出方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【分析】利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案．
【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊四边形，正确掌握特殊四边形对角线的性质是解题关键．
4．（2分）若反比例函数y的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【分析】直接利用反比例函数的性质得出m+3的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象在第二、四象限，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的图象分布特点是解题关键．
5．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，B（﹣6，﹣4），
点A的对应点A'的坐标为（﹣6×2，﹣4×2）或（﹣6×（﹣2），﹣4×（﹣2）），即点A'的坐标为（﹣12，﹣8）或（12，8），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．（2分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得：0.25，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例，再计算其个数．
8．（2分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5） B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）
C．向上、直线x＝4、（4，﹣5） D．向上、直线x＝4、（4，5）
【分析】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向向下；
对称轴是直线x＝4；
顶点坐标是（4，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
9．（2分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
【分析】连接AC，根据菱形的性质可知AB＝BC，∠B＝60°，可判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC＝AB＝BC＝16cm，故正方形的边长为16cm．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AC＝16cm，
∴AB＝BC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b+c＜0
C．2a+b＞0 D．当y＜0时，x＜1
【分析】根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而判断选项A；令x＝1，观察图象可得选项B；根据对称轴可判断选项C，观察图象可得y＜0时x的取值范围，从而判断选项D．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故选项A正确，不符合题意；
当x＝1时，观察图象可得y＝a+b+c＜0，
故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线对称轴，
∴2a＝﹣2b，即a＝﹣b，
∴2a+b＝﹣b，
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∴2a+b＞0，
故选项C正确，不符合题意；
根据图象可得：当y＜0时，﹣1＜x＜2，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了图象与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若，则 ．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．（3分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则另一根是 ﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与m的方程组，即可求解．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣8，α＝﹣4；
故答案为：﹣4．
【点评】考查了一元二次方程的解及根于系数的关系的知识，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系．
13．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y图象上，则y1、y2大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
14．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 y＝﹣2（x+2）2+5 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果．
【解答】解：∵向左平移3个单位，则解析式中的x加3，向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2，
∴平移之后的解析式为：y＝﹣2（x+3﹣1）2+3+2＝﹣2（x+2）2+5．
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+5．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移规律是解决本题的关键．
15．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知BC＝60cm，AD＝40cm，则这个正方形的面积是 576cm2 ．
【分析】根据GH∥BC得出△AHG∽△ABC，设AD与EH交于点M，证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠FDM＝∠FGM＝∠DMG＝90°，
∴四边形DFGM是矩形，
∴FG＝DM，
设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AHG∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝24，
∴正方形EFGH的面积为：24×24＝576（cm2），
故答案为：576cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质，相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形．点EF分别是ABCD的中点．AE与BF相交于点G．连接DE交BF于点H，则GH的长为 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以求得BF和BG的长，根据相似三角形的判定和性质可以得到HF的长，然后即可求得GH的长．
【解答】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MFEC，MF∥BC，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴CF＝BE＝2，BC＝AB＝4，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF2，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴，
即，
解得BG，
∵MF∥BC，
∴△BEH∽△FMH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴FHBF，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝2，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
三、（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．（6分）解方程：2x2+x﹣1＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x1，x1＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，则DP＝ ．
【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴四边形DEBF是矩形；
（2）解：连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB＝6，
设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，
解得：x，
∴PD．
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答．
19．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
四、（第20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，即，
∴OP（m）．
答：路灯的高度OP是m．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相似三角形的应用．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）△DCE与△ACB的周长比为 ．
【分析】（1）由DE∥AB得∠EDC＝∠A，因为∠CBD＝∠A，所以∠EDC＝∠EBD，而∠A＝∠A，可证明△ECD∽△EDB；
（2）由DE∥AB可证明△DCE∽△ACB，而AC＝3CD，所以△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，即可得出问题的答案．
【解答】（1）证明：如图，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
即∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∵AC＝3CD，
∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，
∴△DCE与△ACB的周长比为．
故答案为：．
【点评】此题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，其中证明△DCE∽△ACB是解题的关键．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，一次函数y1x与反比例函数y2的图象交于A（m，4），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1＞y2时，结合图象直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）求得一次函数的图象与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y1x的图象过A（m，4），B（﹣3，n）两点，
∴4m，n（﹣3），
∴m＝1，n，
∴A（1，4），B（﹣3，），
将点A的坐标代入y2得4，
解得k＝4，
故反比例函数的表达式为：y2；
（2）观察函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围：﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）把y＝0代入y1x得，x0，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
六、（本题10分）
23．（10分）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
（1）若每盒售价降低x元，则日销量可表示为 （20+2x） 盒，每盒口罩的利润为 （20﹣x） 元．
（2）若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
（3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×降低的价格，每盒口罩的利润＝售价﹣进价，即可求出结论；
（2）根据日利润＝日销售量×每盒口罩利润解答即可；
（3）根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴降低x元，销售量增加2x盒，
那么日销售量为（20+2x）盒，每盒口罩利润为（70﹣50）﹣x＝（20﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（20﹣x）；
（2）设每盒售价降低x元，根据题意可知：（20+2x）（20﹣x）＝400，
解得：x1＝0（舍去），x2＝10，
∴售价应定为70﹣10＝60元，
答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
（3）设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W＝450元，
由题意可知：W＝（20+2x）（20﹣x）＝﹣2x2+20x+400，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
当时，W有最大值，即W＝450元，
∴售价应定为70﹣5＝65元，
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF，求CF的长．
【分析】（1）①由旋转的性质知，，∠ECB＝∠DCA，从而证明结论；
②由①知，∠B＝∠DAC＝∠ADC，由∠CAB+∠B＝90°，则∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，从而得出答案；
（2）分两种情形，当线段BE交AC于F或当射线BE交AC于F时，设BE＝x，作CH⊥AD于H，则AH，利用△AHC∽△BCF，可求出x的值，从而解决问题．
【解答】（1）①证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴EC＝BC，DC＝AC，∠ECB＝∠DCA，
∴，∠ECB＝∠DCA，
∴△BCE∽△ACD；
②解：2∠CAE+∠ADE＝90°，理由如下：
∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵△BCE∽△ACD，CE＝CB，CD＝CA，
∴∠B＝∠DAC＝∠ADC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，
∴2∠CAE+∠ADE＝90°；
（2）设BE＝x，作CH⊥AD于H，则∠CHA＝∠BCF＝90°，
∵AC＝2BC，△BCE∽△ACD，
∴AD＝2x，
∵∠CHA＝∠BCF＝90°，
∴△AHC∽△BCF，
∴，
∵CD＝CA，CH⊥AD，
∴AH，
当线段BE交AC于F时，
∴，
解得：x或﹣5（舍去），
∴FC3；
②当射线BE交AC于F时，
，
解得：x（舍）或5，
∴FC，
综上所述，CF的长为3或．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，对学生的识图能力要求较高，属于中考压轴题．
八、（本题12分）
25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由SOB×PD，即可求解；
（3）由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2+2x+6；
（2）∵A（0，6），
∴直线AB的表达式为：y＝kx+6，
将点B的坐标代入上式得：0＝6k+6，解得：k＝﹣1，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
点P的横坐标为m，则P（m，m2+2m+6），
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
则D（m，﹣m+6），
∴SOB×PD6×（m2+2m+6+m﹣6）（m﹣3）2，
∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；
（3）存在，理由如下：
由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，
由（1）可得，PDm2+2m+6+m﹣6m2+3m，
∵PE∥x轴，
∴E（4﹣m，m2+2m+6），
∴PE＝|2m﹣4|，
∴|2m﹣4|m2+3m，
解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5（舍），m4＝5，
∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5，35）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．能够综合运用这些知识点是解题的关键．
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