专题10 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）

专题10 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）

一、单选题

1．（2022·深圳模拟）《九章算术》中有问题：把一份文件送到900里外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） 

A． B．

C． D．

2．（2022·福田模拟）为满足市场对新冠疫苗需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产6万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产300万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意，可得方程（　　）

A． B．

C． D．

3．（2022·潮阳模拟）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为

A． B．

C． D．

4．（2022·从化模拟）方程 的解为（　　） 

A．x＝4 B．x＝  C．x＝  D．x＝

5．（）分式方程=的解是 (　　)

A．x=1 B．x=-2 C．x= D．x=2

6．（）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务。设乙车间每天生产x个玩具，可列方程为（　　）

A．= B．=

C．= D．=

7．（2022·花都模拟）甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理5本，甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得（　　）

A． B． C． D．

8．（2021·顺德模拟）若关于x的不等式组 有且只有8个整数解，关于y的方程 的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（　　） 

A． B．

C． 或  D． 或 或

9．（2021·天河模拟）小明把分式方程 去分母后得到整式方程 ，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（　　）

A．小明的说法完全正确

B．整式方程正确，但分式方程有2个解

C．整式方程错误，分式方程无解

D．整式方程错误，分式方程只有1个解

10．（2021·深圳模拟）以下说法正确的是（　　）  

A．三角形的外心到三角形三边的距离相等

B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形

C．分式方程 的解为x＝2

D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－3

二、填空题

11．（2022·广州）分式方程的解是　     　

12．（2022·广东模拟）分式方程 的根为　     　 ．

13．（2022·濠江模拟）方程的解为　     　．

14．（2022·花都模拟）若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第　     　象限．

15．（2022·禅城模拟）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 　     　．

16．（）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物。设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为　                  　。

17．（）某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为　                    　.

18．（2022八下·高州期末）关于x的方程有增根，则a的值是　     　．

19．（2022八下·五华期末）若关于x的方程有增根，则m的值是　     　．

20．（2022八下·龙岗期末）关于x的分式方程无解，则m＝　     　．

三、计算题

21．（2022八下·和平期末）解分式方程：．

22．（2022八下·光明期末）解分式方程．

23．（2022八下·河源期末）解分式方程：

24．（2022·新会模拟）解方程：．

25．（2021八上·东莞期末）解分式方程：＝3．

四、综合题

26．（2022八下·深圳期末）某鲜花店销售A种鲜花每束的单价比B种多6元，张阿姨发现：用720元购得的A种鲜花与用600元购得的B种鲜花的束数一样多．母亲节前夕，该鲜花店推出优惠活动方案：购买A种鲜花，前10束（含10束）按原价销售，购买超过10束，每多买一束，送一束；购买B种鲜花，每束都按原价的七五折销售．

（1）求该鲜花店A、B两种鲜花的单价各是多少元？

（2）某公司准备购进m束（m为大于10的偶数）同种鲜花，请问该如何购买更合算？请通过计算说明．

27．（2022·深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本． 已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?

28．（2022·潮南模拟）4月23日为“世界读书日”．每年的这一天，各地都会举办各种宣传活动．我市某书店为迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

（1）陈经理查看计划书时发现：A类图书的销售价是B类图书销售价的1.5倍，若顾客同样用54元购买图书，能购买A类图书数量比B类图书的数量少1本，求A、B两类图书的销售价；

（2）为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书每本按原销售价降低2元销售，B类图书价格不变，那么该书店应如何进货才能获得最大利润？

29．（2022·中山模拟）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一名二级技工粉刷6个房间，5天正好完成；一名一级技工3天粉刷了4个房间还多刷了另外的 墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷 墙面． 

（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；

（2）若甲乙两名技工各自需粉刷7个房间的墙面，甲比乙每天少粉刷 ，乙比甲少用2天完成任务，求甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积． 

30．（2022·坪山模拟）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．

（1）求甲、乙两种水果的进价；

（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：设规定时间为x天，
根据题意得：.

故答案为：B.

【分析】设规定时间为x天， 得出用慢马送，需要的时间为（x+1）天，用快马送，所需的时间为（x-3） 天，利用快马的速度是慢马的2倍，列出方程即可.

2．【答案】B

【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产万份疫苗，则更新技术后每天生产万份疫苗，

依题意得：，

故答案为：B．

【分析】设更新技术前每天生产万份疫苗，则更新技术后每天生产万份疫苗，根据“ 现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产300万份疫苗所需时间相同 ”列出方程即可。

3．【答案】A

【解析】【解答】设甲队每小时检测人，根据题意得，

，

故答案为：A．

 【分析】根据“ 甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少 ”列出方程即可。

4．【答案】A

【解析】【解答】解：方程两边乘x（x-3），得8(x-3)=2x，

解得：x=4，

检验：当x=4时，x（x-3）≠0，

所以x=4是原分式方程的解，

即原分式方程的解是x=4．

故答案为：A．

【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

5．【答案】C

【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2（x-1），
得2x=1，
∴x=，
检验：当x=  时，2（x-1）≠0，
∴x=是原方程的解.

故答案为：C.

【分析】根据解分式方程的步骤进行求解即可.

6．【答案】C

【解析】【解答】解：设乙车间每天生产x个玩具，则甲车间每天生产（x+10）个玩具，
根据题意得：.

故答案为：C.

【分析】设乙车间每天生产x个玩具，得出甲车间每天生产（x+10）个玩具，再根据甲乙车间完成任务所用的时间相等列出方程，即可得出答案.

7．【答案】A

【解析】【解答】设乙每小时整理x本书，则甲每小时整理（x+5）本书，

依题意得：．

故答案为：A．

【分析】设乙每小时整理x本书，则甲每小时整理（x+5）本书，根据“甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同”列出方程即可。

8．【答案】D

【解析】【解答】解：不等式组 ，

解(1)得 ，

解(2)得 ，

∴不等式组的解集为 ；

∵不等式组有且只有8个整数解，

∴ ，

解得 ；

解分式方程 得 ；

∵方程的解为非负数，

∴ 即 ；

综上可知： ；

∵a是整数，

∴ 或 或 ．

故答案为：D．

【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．

9．【答案】C

【解析】【解答】解：∵分式方程 去分母后得到整式方程 ，

，

∴方程 无实数根，

∴方程 无解，

故整式方程不符合题意，分式方程无解，

故答案为：C．

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。

10．【答案】B

【解析】【解答】解：A、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，A不符合题意；

B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，B符合题意；

C、

去分母得，

解这个整式方程得，x＝2

经检验，x＝2是原方程的增根，

∴原方程无解，C不符合题意；

D、将抛物线y=2x2-2向右平移1个单位后得到的抛物线是y=2（x-1）2-2，D不符合题意；

故答案为：B．

【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程以及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．

11．【答案】

【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得

3(x+1)=4x

3x+3=4x

x=3，

检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，

∴原分式方程的解为：x=3．

故答案为：x=3．

【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。

12．【答案】x = 3

【解析】【解答】解：方程两边同乘以x+1，得3=x+1-1，
解得x=3，
检验：当x=3时，x+1=4≠0，
∴x=3是原方程的解.
故答案为：3.
【分析】方程两边同乘以x+1，把原方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验，即可得出答案.

13．【答案】x=9

【解析】【解答】解：

去分母，得，

解得x=9，

检验：经检验x=9是原分式方程的解，

∴原方程的解为x=9，

故答案为：x=9

【分析】利用分式方程的解法求解即可。

14．【答案】三

【解析】【解答】由，得

x=2+m．

∵关于x的方程的解是负数，

∴2+m＜0，

解得m<-2

∴(m，m+2)在第三象限

故答案是：三．

【分析】先求出分式方程的解，再求出m<-2，再根据点坐标与象限的关系可得答案。

15．【答案】0

【解析】【解答】方程两边同乘，得

解得

分式方程有正整数解

即

即

故答案为：0．

【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据分式方程的解是正整数可得，即，再结合，然后求出m的值即可。

16．【答案】=

【解析】【解答】解：设甲每小时搬运的货物为x，则乙每小时搬运的货物为x+600
∵两个人搬运货物的时间相同
∴
【分析】根据题意，由等量关系列出分式方程即可。

17．【答案】-=2

【解析】【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米
根据题意，可以列出方程，
=2
【分析】根据题目中的数量关系，列出分式方程即可。

18．【答案】－6

【解析】【解答】解：由去分母可得：，

∵方程有增根，

∴，

∴，

∴；

故答案为-6．

【分析】先将分式方程化成整式方程，再将x=2代入计算求出a的值即可。

19．【答案】－3

【解析】【解答】解：去分母，得：1+x+m=2（x－2），即x=m+5，

∵方程有增根，

∴x=2，

∴m+5=2，解得：m=－3，

故答案为：－3．

【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=2代入计算求出m的值即可。

20．【答案】3或

【解析】【解答】解：去分母得，

即，

当分母为0时，方程无解，即，

∴

∴；

当时，方程无解，

∴．

故答案为：3或

【分析】先求出，再分类讨论，计算求解即可。

21．【答案】解：去分母得：，

解得：，

检验：当时，最简公分母，

∴原方程的解是．

【解析】【分析】先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

22．【答案】解：

方程两边同时乘以（x-4），得3-x=x-4+1，

解得 ，                                

检验：当x=3时，，

∴原分式方程的解．

【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。

23．【答案】解：将方程左右两边同时乘以：得：

，

解得：，

检验：当时，．

∴原方程的解是．

【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。

24．【答案】解：方程两边同乘以，得：，

去括号，得：，

移项、合并同类项，得：，

把x的系数化为1，得：，

检验：时，，

所以原方程的解是．

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

25．【答案】解：方程的两边同乘12x（2x﹣1），得

24x2+5（2x﹣1）＝36x（2x﹣1），

整理，得48x2﹣46x+5＝0，

即

解得x1＝，x2＝，

检验：当x＝或时，x（2x﹣1）≠0．

即原方程的解为：x1＝，x2＝．

【解析】【分析】先去分母讲分式方程化为一元二次方程，求解后进行检验可得原方程的解。

26．【答案】（1）解：鲜花店A种鲜花的单价是x元，则B种鲜花的单价为（x-6）元，

由题意得，

解得x=36，

经检验，x=36是原方程的解，

∴x-6=30，

答：该鲜花点A种鲜花的单价是36元，B种鲜花的单价是30元；

（2）解：都购买A种鲜花，费用=10×36+（m-10）×36=（18m+180）元，

都购买B种鲜花，费用=0.75m×30=22.5m元，

当18m+180>22.5m时，解得m<40，此时都购买B种鲜花合算；

当18m+180=22.5m时，解得m=40，此时都购买A种鲜花或都购买B种鲜花，费用相等；

当18m+180<22.5m时，解得m>40，此时都购买A种鲜花合算；

综上，当购买数量少于40束时，都购买B种鲜花；当恰好购买40束时，购买A种或B种鲜花费用相等；当购买超过40束时，都购买A种鲜花．

【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据 某公司准备购进m束（m为大于10的偶数）同种鲜花 ，计算求解即可。

27．【答案】（1）解：设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为元．

由题意得：

解得：

经检验是原方程的解，且符合题意．

∴乙类型的笔记本电脑单价为：（元）．

答：甲类型的笔记本电脑单价为110元，乙类型的笔记本电脑单价为120元．

（2）解：设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本电脑购买了件．

由题意得：．

∴．

．

∵，

∴当a越大时w越小．

∴当时，w最大，最大值为（元）．

答：最低费用为11750元．

【解析】【分析】（1）先求出，再求解即可；
（2）先求出 ． 再求出w的函数解析式，最后求解即可。

28．【答案】（1）解：设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，

根据题意可得，，

化简得：540-10x=360，

解得：x=18，

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元

（2）解：设购进A类图书m本，则购进B类图书（1000-m）本，利润为W．

由题意得：，

解得：600≤m≤800，

W=（27-2-18）m+（18-12）（1000-m）

=m+6000，

∵W随m的增大而增大，

∴当m=800时，利润最大．

1000-m=200，

所以当购进A类图书800本，购进B类图书200本，利润最大．

【解析】【分析】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购进A类图书m本，则购进B类图书（1000-m）本，利润为W，根据题意列出函数解析式W=（27-2-18）m+（18-12）（1000-m）=m+6000，再利用一次函数的性质求解即可。

29．【答案】（1）解：设每个墙面需要粉刷的墙面面积为 ， 

由题意得 ，

解得 ，

∴每个墙面需要粉刷的墙面面积为 ；

（2）解：设甲技工每天粉刷的墙面面积为 ，则乙技工每天粉刷的墙面面积为 ， 

由题意得 ，

解得 或 （舍去），

经检验 是原分式方程的解，

∴ ，

∴甲、乙两名技工每天各粉刷墙面面积分别为 ．

【解析】【分析】（1）设每个墙面需要粉刷的墙面面积为，根据题意列出方程求解即可；
（2）设甲技工每天粉刷的墙面面积为 ，则乙技工每天粉刷的墙面面积为 ，根据题意列出方程求解即可。

30．【答案】（1）解：由题意可知： ， 

解得： ，

经检验， 是原方程的解，

答：甲的进价是16元/千克，乙的进价是20元/千克．

（2）解：假设购买甲a千克，则购买乙 千克，总利润是W元． 

，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴a越小，W越大，

即 时，W最大，为425元．

答：当超市进甲75千克，进乙25千克时，利润最大，是425元．

【解析】【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买甲a千克，则购买乙 千克，总利润是W元，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可