备战2023数学新中考二轮复习重难突破（广东专用）专题03 数的开方

重点分析

1. 二次根式

 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

2. 最简二次根式

①被开方数是整数或整式；

②被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

3.同类二次根式

 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

 要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

4. 二次根式的性质

①≥0

②≥0

③ a（a＞0）

=    0（a=0）

-a（a＜0）

*5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用二次根式的有理化因式：

①与互为有理化因式；

②a＋与a-互为有理化因式；

③＋与-互为有理化因式。

二、二次的运算

1.二次根式的运算

①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

③乘除法：

乘除法法则：

难点解读

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式.

真题演练

1．（2021·广州市第十六中学九年级二模）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A、根据积的乘方运算法则判断；B、根据分式的基本性质判断；C、根据二次根式的性质判断；D、根据同底数幂的除法法则判断．

【解答】解：A、，故本选项不合题意；

B、当时，，故本选项不合题意；

C、由题意可得，所以，故本选项符合题意；

D、，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了积的乘方，分式的基本性质，二次根式的性质以及同底数幂的除法，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．

2．（2021·广东惠州市·九年级二模）代数式有意义时，应满足的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：，

，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

3．（2021·广东惠州市·）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现纳米量产，纳米毫米，用科学记数法表示为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.000014用科学记数法表示为．

故选：．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（2021·广东华侨中学九年级二模）下列分式中，最简分式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据最简分式的定义逐项判断即可得．

【解答】A、，此项不是最简分式，不符题意；

B、是最简分式，符合题意；

C、，此项不是最简分式，不符题意；

D、，此项不是最简分式，不符题意；

故选：B．

【点评】本题考查了最简分式，熟记定义是解题关键．

5．（2021·广东肇庆市·九年级一模）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据分式分母不为零，计算即可

【解答】解：根据分式有意义的条件为分母不为零得：

∴

故选:D

【点评】本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键

6．（2020·广东广州市中考）下列计算正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：选项A错误； 选项B，，错误;选项C，,由于与不是同类二次根式，不能进行加减法，错误；选项D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案，正确，故答案选D.

考点：代数式的运算.

7．（2020·广东省广州市）下列计算正确的是（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：本题根据计算法则可得得出：A、原式=；B、原式=8；C、原式=2；D、原式=.

考点：二次根式的额计算、整式的乘法、幂的计算.

8．（2020·广东省广州市中考）计算：__________．

【答案】

【分析】

先化简二次根式，再进行合并即可求出答案．

【详解】

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减，关键是二次根式的化简，再进行合并．

9．（2020·广东省模拟）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

【答案】2．

【分析】

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．

【详解】

由数轴可得：0＜a＜2，

则a+=a+=a+（2﹣a）=2．

故答案为2．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．

10．（2020·广东省中考）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x=_____．

【答案】2

【解析】【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．

【详解】根据题意知x+1+x﹣5=0，

解得：x=2，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．

11．（2020·广东省中考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式里面被开方数即可求解．

【详解】

解：由题意知：被开方数，

解得：，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．

12．（2020·广东梅州市中考）二次根式有意义，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：二次根式的被开方数为非负数，由二次根式的意义，得：2−x≥0，解得：

考点：二次根式的意义

13．（2020·广东省中考）代数式有意义时，x应满足的条件是______.

【答案】.

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围．

【详解】

解：代数式有意义，可得：，所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.

14．（2020·广东广州市中考）代数式有意义时，实数的取值范围是       .

【答案】x≤9.

【解析】

试题分析：使二次根式有意义，必须满足9-x≥0，即x≤9.

考点：二次根式有意义的条件.

15．（2020·广东省模拟）函数y=–1的自变量x的取值范围是     ．

【答案】x≥0

【解析】

试题分析：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知x≥0．

考点：二次根式有意义

6．（2020·广东省广州市模拟）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．

【答案】x≥3

【分析】

直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.

【详解】

由题意可得：x﹣3≥0，

解得：x≥3，

故答案为x≥3．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

17．（2019·广东省模拟）若代数式有意义，则的取值范围为__________．

【答案】且.

【分析】

根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.

【详解】

解：∵代数式有意义，

∴x≥0，x-1≠0，

解得x≥0且x≠1.

故答案为x≥0且x≠1.

【点睛】

本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.

18．（2020·广东省模拟）若式子有意义，则x的取值范围是__．

【答案】1≤x≤2

【解析】

分析：直接根据二次根式的意义建立不等式组即可得出结论．

详解：根据二次根式的意义，得

，

∴1≤x≤2，

故答案为1≤x≤2．

点睛：此题主要考查了二次根式的意义，解不等式组，建立不等式组是解本题的关键．

19．（2020·广东省模拟）要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．

【答案】a≥－2且a≠0

【分析】

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案.

【详解】

根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0.

故答案为a≥－2且a≠0.

【点睛】

本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键.