备战2023数学新中考二轮复习重难突破（广东专用）专题07 平面直角坐标系

重点分析

要点一、有序数对

定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．

特别说明：

    有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．

要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念

1. 平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).

特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.

2. 点的坐标

   平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.

特别说明：：

（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．

（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.

(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．

要点三、坐标平面

1. 象限

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．

特别说明：：

（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．

（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.

2. 坐标平面的结构

   坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

要点四、点坐标的特征

1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律

特别说明：：

（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.

（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．

（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．

2.象限的角平分线上点坐标的特征

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．

3.关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．

4.平行于坐标轴的直线上的点

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.

难点解读

1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.

2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.

3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.

真题演练

1．（2021·广东肇庆市·九年级一模）方程组的解为，则点P（a，b）在第（　　）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】A

【解析】根据题意，将代入方程中，求出a，b后得到点P的坐标即可得解．

【解答】把方程的解代入所给方程组得

，

解得，

∴点P坐标为，在第一象限，

故选：A．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，以及判断平面直角坐标系中点所在的象限，熟练掌握相关基础知识是解决本题的关键．

2．（2021·广东广州市·九年级一模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，据此可以求得点关于y轴对称点的坐标．

【解答】解：点关于y轴对称，

对称点的坐标为，

故选：C．

【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

3．（2021·广东汕头市·九年级一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标，它到x轴的距离为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，计算即可

【解答】∵点A的坐标，

∴它到x轴的距离为|3|=3,

故选D

【点评】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到ｘ轴的距离等于纵坐标的绝对值，到ｙ轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．

4．（2021·广东广州市·九年级一模）关于的方程（为常数）无实数根，则点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．

【解答】解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，

∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，

解得：a＞1，

∴点（a，a＋1）在第一象限，

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．（2021·广东九年级其他模拟）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】先根据代入消元法解方程组，可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．然后判断即可．

【解答】解:，

可知﹣x+2=x﹣1，

解得：，

∴，

∵x＞0，y＞0，

∴点在第一象限．

故选A．

【点评】本题主要考查了解二元一次方程组及象限与点的坐标，准确计算判断是解题的关键．

6．（2020·广东珠海市中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）

A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1

【答案】B

【解析】

试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，

∴2a+b=﹣1．故选B．

7．（2020·广东东莞市中考模拟）已知点在轴上，则点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．

【详解】

解：点在轴上，

，

解得：，

，

则点的坐标是：．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．

8．（2020·广东省广州市模拟）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．

详解：由题意，得

x=-4，y=3，

即M点的坐标是（-4，3），

故选C．

点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．

9．（2020·广东省深圳市模拟）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1

【答案】A

【分析】

根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．

【详解】

解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，

∴

解得a＜﹣3．

故选A．

【点睛】

本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

10．（2020·广东省韶关市模拟）在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】

先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.

【详解】

∵点A(a，-b)在第一象限内，

∴a>0，-b>0，

∴b<0，

∴点B((a，b)在第四象限，

故选D．

【点睛】

本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．

11．（2020·广东省模拟）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2

【答案】A

【分析】

由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．

【详解】

由题意知OA4n=2n，

∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，

∴A2018坐标为(1009，1)，

则A2A2018=1009－1=1008(m)，

∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．

12．（2020·广东省广州市模拟）已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(﹣3，1)，则点B的坐标为____．

【答案】(﹣3，﹣1)

【分析】

根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为(﹣3，1)，则点B的坐标是(﹣3，﹣1)．

故答案为(﹣3，﹣1)．

【点睛】

本题考查关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．

13．（2020·广东省珠海市模拟）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，……，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是______．

【答案】(2011，2)

【解析】

根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．

根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），

第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），

∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，

∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，

纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，

∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，

故纵坐标为四个数中第三个，即为2，

∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2），

故答案为（2011，2）．

14．（2020·广东省模拟）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为                .

【答案】（10，3）

【分析】

根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．

【详解】

∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),

∴AD=BC=10，DC=AB=8，

∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

∴AD=AF=10，DE=EF，

在Rt△AOF中,OF= =6，

∴FC=10−6=4，

设EC=x，则DE=EF=8−x，

在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，

即(8−x)2=x2+42，

解得x=3，即EC的长为3.

∴点E的坐标为(10,3).

15．（2020·广东省模拟）已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是____________________．

【答案】m>3.

【解析】

试题分析：因为点P在第二象限，所以，，解得：

考点：（1）平面直角坐标；（2）解不等式组

16．（2020·广东省韶关市模拟）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．

【答案】（﹣5，4）．

【分析】

首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.

【详解】

由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，

∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，

由菱形邻边相等可得AD=AB=5，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：

OD==4，

由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，

所以C（-5,4）.

故答案为（﹣5，4）．

【点睛】

本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，运用勾股定理求出OD的长是解答本题的关键.

17．（2020·广东省珠海市模拟）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

【答案】(4，3)

【分析】

过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.

【详解】

过点A作AH⊥x轴于点H，

∵A（1,3），

∴AH=3，

由平移得AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AC=BD，

∵，

∴BD=3，

∴AC=3，

∴C(4，3)

故答案为：(4，3).

【点睛】

此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.

18．（2020·广州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

【答案】（0，21009）

【解析】

【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，

∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，

∵A1、A2、…，每8个一循环，

∵2018=252×8+2

∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018==21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．