江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

南京一中2022-2023学年度第一学期期中考试试卷

高一数学

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）

1. 函数定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为，

所以，解得，即函数的定义域为.

故选：C

2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.

【详解】对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于的定义域、值域都是，，其定义域、值域都是，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，对应法则不同，不是同一函数；

对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

故选：．

3. 函数的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；

【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；

故选：C

4. 若函数，则（    ）

A.  B. 4 C. 6 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数分段处理即可求值.

【详解】解：因为

所以.

故选：D.

5. 计算的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数幂的运算性质化简即可求解.

【详解】

故选：.

6. 定义在上的奇函数，对任意且，都有，，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.

【详解】由题意定义在上的奇函数，，则，

对任意且，都有，

则在时单调递减，

则当时，，此时；当时，，此时；

根据奇函数的对称性可知，当时，，此时；当时，，此时；

故不等式的解集是，

故选：C.

7. 已知，，若，则的最小值为（    ）

A.  B. 9 C. 7 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9.

故选：B.

8. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立，由对勾函数的性质分析，可得的取值范围．

【详解】解：函数的定义域为，

且，所以为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，

若不等式对任意实数恒成立，

则，即对任意实数恒成立，

所以对于任意实数恒成立，

即任意实数恒成立，

因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，

若对任意实数恒成立，所以．

即的取值范围为．

故选：B．

二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列命题是真命题的是（    ）

A. 命题“，使得”的否定是“，都有”

B. 函数最小值为2

C. 是的充分不必要条件

D. 若，则，

【答案】AC

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定即可判断A；根据基本不等式即可判断B；根据一元二次不等式的解法和充分条件、必要条件的定义即可判断C；根据换元法即可求出函数解析式，进而判断D.

【详解】A：命题“，使得”的否定为“都有”，故A正确；

B：由，得，当且仅当即时取到等号，不成立，所以，故B错误；

C：由，得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

D：令，则且，所以，即，故D错误.

故选：AC

10. 已知定义在上的函数，下列说法正确的有（    ）

A. 若，则在上不是减函数

B. 若是偶函数，则图象关于对称

C. 若，则是偶函数

D. 若为奇函数且满足任意，都有，则在上是增函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数单调性的性质，结合函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.

【详解】A：若在上是减函数，显然由，不可能有成立，所以在上不是减函数，因此本选项说法正确；

B：因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称，

因为函数的图象向右平移2个单位得到图象，

所以图象关于对称，因此本选项说法正确；

C：若，显然成立，

但是，函数是奇函数，不是偶函数，

所以本选项说法不正确；

D：因为，所以不妨设，

由，

因为为奇函数，所以，

于是由，

因为是任意两个不等实数，且，

所以在上是增函数，因此本选项说法正确，

故选：ABD

11. 已知函数，下列结论正确的有（    ）

A. 在为单调增函数

B. 图象关于轴对称

C. 在定义域内只有1个零点

D. 的值域为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据单调性的定义通过举反例判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据函数的零点的定义判断C，结合基本不等式求函数的值域判断D.

【详解】因为，所以，，所以，所以在不是单调递增函数，A错误；

由有意义可得，所以函数的定义域为，又，

所以函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称，B正确；

令可得，所以，所以函数的零点为0，所以在定义域内只有1个零点，C正确；

当时，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，

所以，所以当时，，又，函数为偶函数，

所以的值域为，所以D正确；

故选：BCD.

12. 已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 2

【答案】AD

【解析】

【分析】画出函数的图象，通过的取值，结合的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数的取值范围．

【详解】分别作出函数与的图象，由图知，

时，函数与无交点，

时，函数与有三个交点，

故．当，时，函数与有一个交点，

当，时，函数与有两个交点，

当时，若与，相切，

则由得：或（舍，切点在x轴下方，

因此当，时，函数与有两个交点，

当，时，函数与有三个交点，

当，时，函数与有四个交点，

所以当时，函数与恰有3个交点．

综上，恰有3个零点，的取值范围是或．

故选：AD．

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是________

【答案】

【解析】

【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.

【详解】设幂函数的解析式为

因为幂函数图像过点

所以,解得

所以

故答案为:

【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.

14. 已知,,用,表示_________.（结果用,表示）

【答案】

【解析】

【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可.

【详解】解:由题知,,,

,,

,

故答案为:.

15. 若任意，不等式恒成立，则实数的范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，参变分离求最值即可.

【详解】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，

又，当且仅当时，取等号，

∴，即实数的范围为.

故答案为：

16. 已知函数 ，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_________.

【答案】.

【解析】

【分析】根据函数解析式，作出其图象，解不等式可得，讨论m和1的大小关系，确定不等式解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围.

【详解】由于函数,作出其图象如图：

由得： ，

当 时，，不等式无解；

当时，由得∶ ，

若不等式恰有两个整数解，由于,，

则整数解为0和1，又 ，

∴ ；

当时，由得：，

若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和 ，

又 ，

∴，

综上所述：实数m的取值范围为 ,

故答案为∶.

【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了根据一元二次型不等式的解的情况求参数范围问题，综合性较强，解答时要注意数形结合以及分类讨论的思想方法，解答的关键是确定不等式解集中的整数解，从而确定参数范围.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设全集，，集合，.

（1）当时，求，；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

解：由，等价于，解得，

所以，

当时，

所以，或，

所以；

【小问2详解】

解：因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

显然，故，

所以，解得，即实数的取值范围为.

18. 已知不等式解集为或，其中．

（1）求实数，的值；

（2）当时，解关于的不等式（用表示）．

【答案】（1）、   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）依题意、为方程的两根，代入方程得到关于、的方程组，解得即可；

（2）由（1）可得不等式即，即，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.

小问1详解】

解：依题意、为方程的两根，

所以，解得或，因为，

所以、；

【小问2详解】

解：由（1）可得不等式，即，

即，

当时原不等式即，解得，所以不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

综上可得：当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为.

19. 已知二次函数满足，满足，且．

（1）求的解析式；

（2）当时，求函数的最小值（用表示）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得，再代入到，化简可求出，从而可求出的解析式.

（2）求出抛物线的对称轴，然后分和三种情况求解函数的最小值.

【小问1详解】

因为二次函数，且满足，，所以，，所以 ，得.

所以.

【小问2详解】

是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数.

当时，在上单调递增，则；

当即时，在上单调递减，则；

当，即时，；

综上所述.

20. 我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）

（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；

（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．

（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．

【小问1详解】

解：当时，

，

当时，，

故．

【小问2详解】

解：若时，，

当时，万元，

当时，，

当且仅当，即时，万元，

故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．

21. 已知函数，.从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并在此基础上解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数，在定义域上为偶函数；②在上的值域为；③已知函数，满足.

（1）选择_________，求，的值；

（2）判断并用定义证明在上的单调性；

（3）解不等式.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）答案见解析；    （3）

【解析】

【分析】选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；选③知关于对称，即可求出，的值；

（2）利用单调性的定义即证；

（3）利用奇函数的定义可得为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.

小问1详解】

选①：因为在上是偶函数，

则，且，

所以，；

选②：当时，在上单调递增，

则有，

得，；

选③：函数，满足，

所以关于对称，

所以函数.

【小问2详解】

由（1）得，，任取，且，则

∵，则，，

∴，即

则在上单调递增.

【小问3详解】

∵，，

又，

∴为奇函数，

由，得，

又因在上单调递增，

则，解得，

所以.

22. 已知函数，.

（1）若，求的值；

（2）当时，求该函数在闭区间上的值域；

（3），，若，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的值，即可得解；

（2）将函数的解析式写成分段函数的形式，画出函数图象，结合图象即可得到函数的值域；

（3）先由的单调性和题设求得集合，再对分类讨论，由求得即可．

【小问1详解】

解：因为，且，

所以，

当时，解得（舍去），

当时，解得（舍去）或，

综上可得.

【小问2详解】

解：当时，

又，所以，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

函数图像如下所示：

又，，，

结合函数图象可得在上的值域为；

【小问3详解】

解：，

又，所以，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

当时，，故，

当时，由，

，，，

当，即时，；

当，即时，，

综上，．