2022-2023学年江苏省南京市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．椭圆的短轴的长是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.

【详解】椭圆的，，且焦点在轴上，

所以椭圆的短轴长为，

故选：C.

2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．

【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为

设线段的中点为，则到准线的距离为：，

过、分别作、与垂直，垂足分别为、，

根据梯形中位线定理，可得，

再由抛物线的定义知：，，

．

故选：D.

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A．8 B．7 C．6 D．4

【答案】A

【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求.

【详解】已知为等比数列，，且，

所以，则S3＝8．

故选：A．

4．若曲线在处的切线垂直于直线，则（    ）

A．2 B．1 C．4 D．3

【答案】B

【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值.

【详解】，，

由题意得：，解得：

故选：B

5．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（    ）

A．191 B．193 C．195 D．197

【答案】C

【分析】利用等差数列前项和公式求解．

【详解】设有人，第人赠与钱数为，是等差数列，，公差，

则，，

故选：C．

6．函数在区间上的大致图象为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，易知是奇函数，则的图象关于点 对称，排除部分选项，然后再利用特殊值法确定.

【详解】因为，

所以是奇函数，

所以的图象关于点对称，排除B、C两个选项，

又，当时，，

所以，排除D.

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.

7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，根据被圆所截得的弦长为2，利用弦长公式求得a，b的关系，再根据A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，由右焦点到渐近线的距离为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.

【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，

圆的圆心到渐近线的距离为，

因为被圆所截得的弦长为2，

所以，即，即，

右焦点到渐近线的距离，

因为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，

且右焦点到渐近线的距离为A，B到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线，

所以，则，

所以双曲线的方程为，

故选：C

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于，进而结合幂函数在上单调递减比较大小即可.

【详解】解：，

因为幂函数在上单调递减，，

所以，即.

故选：B

二、多选题

9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．函数在上递减，在上递减

B．函数在上递增，在上递增

C．函数有极大值和极小值

D．函数有极大值和极小值

【答案】BD

【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即可；

【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递增；

故函数在时取得极大值，在时取得极小值，

即函数有极大值和极小值；

故选：BD．

10．等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（    ）

A．公差

B．

C．是各项中最大的项

D．是中最大的值

【答案】ABD

【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可

【详解】因，所以，

所以公差成立，所以A正确，

因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项， C错误，

因为，所以，B成立.

设等差数列的前项的和最大，则，故，

又等差数列为递减数列，且，

所以，即是中最大的值，D正确.

故选：ABD.

11．下列命题中是真命题有（    ）

A．若，则是函数的极值点

B．函数的切线与函数可以有两个公共点

C．函数在处的切线方程为，则当时，

D．若函数的导数，且，则不等式的解集是

【答案】BD

【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.

【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；

B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；

C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；

D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；

故选：BD.

12．已知是公比为的等比数列，且，曲线：，．（    ）

A．若且，则是椭圆

B．若存在，使得表示离心率为的椭圆，则

C．若存在，使得表示渐近线方程为的双曲线，则

D．若，表示双曲线的实轴长，则

【答案】ACD

【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】因为且，所以，且，所以表示椭圆，所以A正确．

当表示椭圆时，显然且，若，则，，令，解得；

若，则，，令，解得，所以故B错误．

若表示双曲线．显然，故双曲线的一条渐近线方程为，

令，解得，所以C正确．

若，当为偶数时，，，双曲线的焦点在轴上，则；当为奇数时，，，双曲线的焦点在轴上，则，

所以

，所以D正确．

【点睛】方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比的取值情况判断，的正负；（2）能根据椭圆、双曲线的方程和几何性质建立，的数量关系．

三、填空题

13．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足，答案不唯一

【详解】只要椭圆方程形如或即可.

故答案为：.（答案不唯一）

14．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是______米.

【答案】

【分析】设第n天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为，由等比数列计算，进而可求解出答案.

【详解】设第n天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为，

由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，

则，故第5天截取的长度是米.

故答案为：.

15．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．

【答案】，

【分析】由题意得到恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出的取值范围.

【详解】解：在上是增函数，

，

，

由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，

，

，解得，

故答案为：，，

16．如图，抛物线的焦点为,点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于两点，使得，又点在轴上的投影为，则____________．

【答案】4

【分析】由题意结合抛物线的性质和点的坐标分别求得的值和的值即可确定的值.

【详解】设,

对于一般的抛物线方程和过焦点的直线方程，

联立直线方程与抛物线方程有：，则，，

据此可得本题中，又，得B在以MF为直径的圆上，

故，而 ，

得，

又 ，

由，可得：（负值舍去），

则，从而可得：，，

注意到，据此可得：，

则，

故4.

【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线定义的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

四、解答题

17．在等差数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若____，求数列的前项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据条件建立方程组求解即可；

（2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用错位相减法求解.

【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则

，解得，

，.

（2）方案一：选条件①

由（1）知，，

.

方案二：选条件②

由（1）知，，

，

当为偶数时，

，

，

当为奇数时，为偶数，

，

，

；

方案三：选条件③

由（1）知，，

，

，

两式相减，可得

.

.

【点睛】本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.

18．已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值.

【答案】（1）；（2）增区间，，减区间，函数的极大值为，极小值为.

【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）求出函数的极值点，列表分析函数的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数的单调区间和极值.

【详解】（1），，则，.

因此，曲线在处的切线方程为；

（2）令，得，列表如下：

所以，函数的增区间为，，减区间，

极大值为，极小值为.

【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.

19．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.

(1)若，求切线所在直线方程；

(2)求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程；

（2）设，可得，结合可求得最小值.

【详解】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即，

由圆的方程知：圆心为，半径，

则圆心到切线的距离，解得：或，

所求切线方程为：或.

（2）连接交于点，

设，则，

在中，，

，，，.

20．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．

（1）求数列的项；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列的项；

（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前项和.

【详解】（1）由得，，

两式相减得，因为数列为正项数列，

所以，又，

故数列是以为首项，公差为2的等差数列，

所以.

（2）由（1）知，，由及得

故数列是以为首项，公差为2的等差数列，

所以-

所以

.

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

【答案】（1），（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；

(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.

【详解】（1）由已知得，解得，

∴椭圆的标准方程，

∴椭圆的离心率.

(2)设，，则，

可设的直线方程为，

联立方程，整理得，

∴，

，∴，

整理得，，

∴，解得，

∴的直线方程为：，

直线恒过定点.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；

（2）由，得，从而， 令，有，由不等式的可加性可获得证明.

【详解】（1）由题意函数的定义域为，

，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，

所以，

所以，

即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，

令，则，

整理得，

所以.

【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.