2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，故选：C．2．已知，集合，，则下列关系正确的是（　　）A．  B．  C． D．【答案】C【分析】解不等式得，由集合的运算与关系对选项逐一判断，【详解】由得，，，对于A，，故A错误，对于B，C，，故B错误，C正确，对于D，，故D错误，故选：C3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B．【详解】定义域为R，，则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；又因为，则排除选项A，选B.故选：B．4．一个10位整数a的16次方根为整数b，则b＝（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】C【分析】a是一个10位整数，则，由题意得，利用根式与指数、对数的性质直接求解．【详解】∵一个10位整数a的16次方根为整数b，∴a是一个10位整数，∴，由题意得， ∴， ∴，由 ，，得： ， ∴ ，∵b为整数，∴b＝4，故选：C.5．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（    ）A． B．函数不是周期函数C． D．函数在上不是单调函数【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，故选：B6．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，由可得，∴，解得.故选：B.7．已知，则下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的单调性可比较出的大小关系，再根据基本不等式以及对数函数的单调性可得的范围，即可解出．【详解】因为，，所以，又，，所以．故选：C．8．设，若是的最小值，则实数a的取值范围为是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用基本不等式求出当时，，而 是的最小值，所以有且，从而可求出实数a的取值范围【详解】解：当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，因为是的最小值，所以且，所以且，解得，所以实数a的取值范围为，故选：B 二、多选题9．下列能成为x＞2充分条件的是（　　）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据绝对值不等式，指数不等式，分式不等式的解法以及充分，必要条件的定义对各个选项逐个化简求解即可判断．【详解】解不等式，可得或，所以充分性不成立，故A错误；解不等式，可得，是充分条件，故B正确；由不等式可得：或，不是充分条件，故C错误；由不等式可得：，，是充分条件，故D正确.故选：BD．10．已知，则集合可能是（　　）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据集合间的包含关系判断即可．【详解】解：因为，所以对于A，若，满足题意；对于B，若，，不满足题意；对于C，若，满足题意；对于D，若，则，不满足题意．故选：AC．11．已知函数，下列说法中正确的有（　　）A．B．，C．为奇函数D．在上有两个零点【答案】BC【分析】对于A，直接计算即可，对于B，由函数的单调性分析判断，对于C，利用奇函数的定义判断，对于D，由零点存在性定理结合函数的单调性判断.【详解】因为，所以，则，无意义，A项错误；因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以在[1，2]内单调递增，所以恒成立，满足题意，B项正确；定义域为∪，关于原点对称，又因为，所以为奇函数，C项正确；由选项B可知在上单调递增，且f（1）＝0，所以有且仅有一个零点，D项错误．故选：BC．12．下列结论正确的是（　　）A．存在正数M，N，使得 B．存在实数x，使得C．若实数x，y满足9x2+y2＝1，则xy的最大值为D．若，则的最小值为15【答案】ACD【分析】由已知结合对数的运算性质检验选项A；结合基本不等式及应用条件检验选项BCD【详解】A选项，时，，A选项正确.由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，此时无解，B错误；，当且仅当时等号成立，C正确.若，则，当且仅当时，取等号，此时的最小值为15，D选项正确.故选：ACD 三、填空题13．设为实数，函数有两个零点的充要条件是 _____．【答案】【分析】由题意可知，方程有两个不等实数根，然后利用判别式大于0 即可求解．【详解】由题意可知，方程有两个不等实数根，所以，即，解得，所以函数有两个零点的充要条件是，故答案为：．14．若x，y为正数，满足x+y＝2，则_____．【答案】##0.25【分析】利用基本不等式及对数的性质运算法则直接求解．【详解】∵x，y为正数，满足x+y＝2，由基本不等式可得，∴，∴．故答案为：． 四、双空题15．函数的定义域为 _____，减区间为 _____．【答案】          【分析】解不等式即可得出的定义域为；根据复合函数的单调性，只需在定义域内求函数的减区间即可．【详解】函数有意义，，即，解得，所以函数定义域为令，则，函数在定义域内单调递增，求解的单调减区间，即求函数在定义域内的单调减区间，函数图像抛物线开口向下，对称轴为x＝3，所以在定义域范围内，可得单调减区间为 ，所以的减区间为．故答案为：；．16．已知函数f（x）和g（x）分别由下表给出，则g（f（2））＝_____，不等式f（g（x））＞8的解集为 _____．x12345f（x）1491625x23456 g（x）13245   【答案】     2     【分析】第一空直接计算函数值的即可，第二空根据表格即可求得解集.【详解】结合已知表格中数据即可求解函数值及相应不等式解集．解：由表中数据可得 ，所以 当 时，则 ，当 时， ，当 时，可得 ，当 可得 ；由 可得解集为 ．故答案为：；． 五、解答题17．（1）求值：；（2）已知，求的值．【答案】（1）10；（2）7【分析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解；（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】（1）．（2），，故，故，故的值为7．18．已知集合，集合，其中a为实数.（1）若，求集合；（2）若且，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或，【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式求出集合、，再利用集合的补运算即可求解. （2）分别求出集合、，由题意可得，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】（1）若，则，，所以.（2）又因为，则，当时，，当时，，若，则，显然不成立，当时，，解得或，综上所述，实数a的取值范围为或，19．已知函数，（其中），且．(1)求实数a的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(2)若，求的值．【答案】(1)，为定值，证明见解析(2)3 【分析】（1）直接代入求解，再代入整理后即可求解结论，（2）将（1）关系式代入化简求解即可．【详解】（1）∵，所以a＝2；所以为定值（2）由（1）得，所以f（﹣x）＝1﹣f（x），所以，所以，得f（x）＝0或，当时，此时无解，舍去；当时，解得x＝3．综上所述x的值为3．20．已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．(1)求及，的值；(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．【答案】(1)，，；(2)证明见解析， 【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．【详解】（1）因为，所以，，即．因为，所以，．（2）设为上任意两个实数，且，则，，，即，所以在上单调递增．所以，所以．21．要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b．(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？【答案】(1)当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小(2)高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512 【分析】（1）设每一栏长x，宽为y，则有，所以，利用基本不等式求解即可；（2）由题意可得，，，利用基本不等式求解即可．【详解】（1）设每一栏长x，宽为y，由题意可得，故，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小；（2）由题意可得，，，当且仅当，即时等号成立，此时栏高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512．22．已知函数，其中 k 为常数．若函数在区间 I 上，则称函数为 I 上的“局部奇函数”；若函数在区间 I 上满足，则称函数为 I 上的“局部偶函数”．(1)若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式；(2)已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， ，对于上任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用局部奇函数的定义可得即可求得k的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得；（2）先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式即可求解.【详解】（1）若为上的“局部奇函数”，所以，即整理可得：，所以，解得，所以，由，可得，所以，解得，又因为，所以，所以不等式的解集为；（2）若为上的“局部奇函数”，由（1）知，，若为区间上是“局部偶函数”，可得，即，整理可得：，所以，解得，所以，令，当时，，在单调递增，当时，，当时，，所以当时，，当时，此时为局部偶函数，当时，，在单调递增，此时，所以，，，对于上任意实数，不等式恒成立，可得，即，解得：，所以实数m的取值范围是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.