2022-2023学年江苏省南京市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为，

所以，解得，即函数的定义域为.

故选：C

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.

【详解】对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于的定义域、值域都是，，其定义域、值域都是，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，对应法则不同，不是同一函数；

对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

故选：．

3．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；

【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；

故选：C

4．若函数，则（    ）

A． B．4 C．6 D．

【答案】D

【分析】根据分段函数分段处理即可求值.

【详解】解：因为

所以.

故选：D.

5．计算的值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【分析】利用指数幂的运算性质化简即可求解.

【详解】

故选：.

6．定义在上的奇函数，对任意且，都有，，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.

【详解】由题意定义在上的奇函数，，则，

对任意且，都有，

则在时单调递减，

则当时，，此时；当时，，此时；

根据奇函数的对称性可知，当时，，此时；当时，，此时；

故不等式的解集是，

故选：C.

7．已知，，若，则的最小值为（    ）

A． B．9 C．7 D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9.

故选：B.

8．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立，由对勾函数的性质分析，可得的取值范围．

【详解】解：函数的定义域为，

且，所以为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，

若不等式对任意实数恒成立，

则，即对任意实数恒成立，

所以对于任意实数恒成立，

即任意实数恒成立，

因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，

若对任意实数恒成立，所以．

即的取值范围为．

故选：B．

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．命题“，使得”的否定是“，都有”

B．函数最小值为2

C．是的充分不必要条件

D．若，则，

【答案】AC

【分析】根据存在量词命题的否定即可判断A；根据基本不等式即可判断B；根据一元二次不等式的解法和充分条件、必要条件的定义即可判断C；根据换元法即可求出函数解析式，进而判断D.

【详解】A：命题“，使得”的否定为“都有”，故A正确；

B：由，得，当且仅当即时取到等号，不成立，所以，故B错误；

C：由，得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

D：令，则且，所以，即，故D错误.

故选：AC

10．已知定义在上的函数，下列说法正确的有（    ）

A．若，则在上不是减函数

B．若是偶函数，则图象关于对称

C．若，则是偶函数

D．若为奇函数且满足任意，都有，则在上是增函数

【答案】ABD

【分析】根据函数单调性的性质，结合函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.

【详解】A：若在上是减函数，显然由，不可能有成立，所以在上不是减函数，因此本选项说法正确；

B：因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称，

因为函数的图象向右平移2个单位得到图象，

所以图象关于对称，因此本选项说法正确；

C：若，显然成立，

但是，函数是奇函数，不是偶函数，

所以本选项说法不正确；

D：因为，所以不妨设，

由，

因为为奇函数，所以，

于是由，

因为是任意两个不等实数，且，

所以在上是增函数，因此本选项说法正确，

故选：ABD

11．已知函数，下列结论正确的有（    ）

A．在为单调增函数

B．图象关于轴对称

C．在定义域内只有1个零点

D．的值域为

【答案】BCD

【分析】根据单调性的定义通过举反例判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据函数的零点的定义判断C，结合基本不等式求函数的值域判断D.

【详解】因为，所以，，所以，所以在不是单调递增函数，A错误；

由有意义可得，所以函数的定义域为，又，

所以函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称，B正确；

令可得，所以，所以函数的零点为0，所以在定义域内只有1个零点，C正确；

当时，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，

所以，所以当时，，又，函数为偶函数，

所以的值域为，所以D正确；

故选：BCD.

12．已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】AD

【分析】画出函数的图象，通过的取值，结合的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数的取值范围．

【详解】分别作出函数与的图象，由图知，

时，函数与无交点，

时，函数与有三个交点，

故．当，时，函数与有一个交点，

当，时，函数与有两个交点，

当时，若与，相切，

则由得：或（舍，切点在x轴下方，

因此当，时，函数与有两个交点，

当，时，函数与有三个交点，

当，时，函数与有四个交点，

所以当时，函数与恰有3个交点．

综上，恰有3个零点，的取值范围是或．

故选：AD．

三、填空题

13．若幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是________

【答案】

【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.

【详解】设幂函数的解析式为

因为幂函数图像过点

所以,解得

所以

故答案为:

【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.

14．已知,,用,表示_________.（结果用,表示）

【答案】

【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可.

【详解】解:由题知,,,

,,

,

故答案为:.

15．若任意，不等式恒成立，则实数的范围为_________.

【答案】

【分析】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，参变分离求最值即可.

【详解】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，

又，当且仅当时，取等号，

∴，即实数的范围为.

故答案为：

16．已知函数 ，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_________.

【答案】.

【分析】根据函数解析式，作出其图象，解不等式可得，讨论m和1的大小关系，确定不等式解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围.

【详解】由于函数,作出其图象如图：

由得： ，

当 时，，不等式无解；

当时，由得∶ ，

若不等式恰有两个整数解，由于,，

则整数解为0和1，又 ，

∴ ；

当时，由得：，

若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和 ，

又 ，

∴，

综上所述：实数m的取值范围为 ,

故答案为∶.

【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了根据一元二次型不等式的解的情况求参数范围问题，综合性较强，解答时要注意数形结合以及分类讨论的思想方法，解答的关键是确定不等式解集中的整数解，从而确定参数范围.

四、解答题

17．设全集，，集合，.

(1)当时，求，；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）解：由，等价于，解得，

所以，

当时，

所以，或，

所以；

（2）解：因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

显然，故，

所以，解得，即实数的取值范围为.

18．已知不等式的解集为或，其中．

(1)求实数，的值；

(2)当时，解关于的不等式（用表示）．

【答案】(1)、

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意、为方程的两根，代入方程得到关于、的方程组，解得即可；

（2）由（1）可得不等式即，即，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.

【详解】（1）解：依题意、为方程的两根，

所以，解得或，因为，

所以、；

（2）解：由（1）可得不等式，即，

即，

当时原不等式即，解得，所以不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

综上可得：当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为.

19．已知二次函数满足，满足，且．

(1)求的解析式；

(2)当时，求函数的最小值（用表示）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，再代入到，化简可求出，从而可求出的解析式.

（2）求出抛物线的对称轴，然后分和三种情况求解函数的最小值.

【详解】（1）因为二次函数，且满足，，所以，，所以 ，得.

所以.

（2）是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数.

当时，在上单调递增，则；

当即时，在上单调递减，则；

当，即时，；

综上所述.

20．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）

(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；

(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元

【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．

（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．

【详解】（1）解：当时，

，

当时，，

故．

（2）解：若时，，

当时，万元，

当时，，

当且仅当，即时，万元，

故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．

21．已知函数，.从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并在此基础上解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数，在定义域上为偶函数；②在上的值域为；③已知函数，满足.

(1)选择_________，求，的值；

(2)判断并用定义证明在上的单调性；

(3)解不等式.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)

【分析】选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；选③知关于对称，即可求出，的值；

（2）利用单调性的定义即证；

（3）利用奇函数的定义可得为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.

【详解】（1）选①：因为在上是偶函数，

则，且，

所以，；

选②：当时，在上单调递增，

则有，

得，；

选③：函数，满足，

所以关于对称，

所以函数.

（2）由（1）得，，任取，且，则

∵，则，，

∴，即

则在上单调递增.

（3）∵，，

又，

∴为奇函数，

由，得，

又因为在上单调递增，

则，解得，

所以.

22．已知函数，.

(1)若，求的值；

(2)当时，求该函数在闭区间上的值域；

(3)，，若，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的值，即可得解；

（2）将函数的解析式写成分段函数的形式，画出函数图象，结合图象即可得到函数的值域；

（3）先由的单调性和题设求得集合，再对分类讨论，由求得即可．

【详解】（1）解：因为，且，

所以，

当时，解得（舍去），

当时，解得（舍去）或，

综上可得.

（2）解：当时，

又，所以，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

函数图像如下所示：

又，，，

结合函数图象可得在上的值域为；

（3）解：，

又，所以，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

当时，，故，

当时，由，

，，，

当，即时，；

当，即时，，

综上，．