浙江省杭州市下城区启正中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市下城区启正中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1
2．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．下列说法中错误的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．概率很小的事不可能发生
C．必然事件发生的概率是1
D．随机事件发生的概率大于0、小于1
4．已知＝，下列变形正确的是（ ）
A．ab＝6B．2a＝3bC．a＝D．3a＝2b
5．二次函数y＝x2+3x+2图象平移后经过点（2，18），则下列可行的平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
6．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．112°B．34°C．56°D．68°
7．一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，正六边形，ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（ ）
A．S1+S2＝2S3B．S2+S5＝S3C．S2+S4＝2S3D．S1+S5＝S3
9．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个B．3个C．6个D．7个
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②抛物线与x轴一定有交点；
③若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
二.填空题（每题4分，共6小题，共24分）
11．现有分别标有汉字“我”“爱”“启”“正”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是 ．
12．函数y＝（x﹣2）2﹣x+2图象的对称轴是 ．
13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 cm．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
15．如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 cm（结果保留π）．
16．如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（共7题，共66分）
17．如图，电路图上有三个开关A、B、C，开关闭合记“+”，开关断开记“﹣”．
（1）若只闭合其中一个开关，则小灯泡发光（即电流通过）的概率是 ；
（2）用树状图或列表格的方法表示三个开关A、B、C闭合或断开的所有情况，并求小灯泡发光（即电流通过）的概率．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A1B1C，直接写出A1的坐标为 ；
（2）在（1）的旋转过程中，求CA扫过图形的面积．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）
（1）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解．
20．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．
（1）判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．
21．已知二次函数（m是实数）．
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点P（a﹣5，t），Q（4m+3+a，t）都在该二次函数图象上，求证：t≥7．
22．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式：
（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为3.5，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
23．如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点（0°＜∠ABP＜30°），作△BCP的外接圆交AB于点D．点E是圆上一点，且，连接DE交BP于点F．
（1）求证：BE＝BC；
（2）当点P运动变化时，∠BFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数．
（3）探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（每题3分，共10小题，共30分）
1．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1
【分析】根据二次函数定义可得a﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．概率很小的事不可能发生
C．必然事件发生的概率是1
D．随机事件发生的概率大于0、小于1
【分析】根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、不可能事件发生的概率为0，正确，不符合题意；
B、概率很小的事也可能发生，故错误，符合题意；
C、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
D、随机事件发生的概率大于0，小于1，正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】考查了概率的意义，解题的关键是了解不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，难度不大．
4．已知＝，下列变形正确的是（ ）
A．ab＝6B．2a＝3bC．a＝D．3a＝2b
【分析】根据比例的性质进行计算即可解答．
解：∵＝，
∴2b＝3a．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
5．二次函数y＝x2+3x+2图象平移后经过点（2，18），则下列可行的平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
解：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，
A、平移后的解析式为y＝（x+）2+，当x＝2时，y＝8，本选项不符合题意；
B、平移后的解析式为y＝（x+）2﹣，当x＝2时，y＝4，本选项不符合题意；
C、平移后的解析式为y＝（x+）2+，当x＝2时，y＝22，本选项不符合题意；
D、平移后的解析式为y＝（x+）2﹣，当x＝2时，y＝18，函数图象经过（2，18），本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
6．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．112°B．34°C．56°D．68°
【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直
7．一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x＝﹣在y轴的右侧，交y轴的负半轴，
∴B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．
8．如图，正六边形，ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（ ）
A．S1+S2＝2S3B．S2+S5＝S3C．S2+S4＝2S3D．S1+S5＝S3
【分析】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，由此即可判断．
解：正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，
则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，
∴S3＝S1+S4＝S2+S5，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个B．3个C．6个D．7个
【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．
解：∵CD是直径，
∴OC＝OD＝CD＝×10＝5，
∵AB⊥CD，
∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，
∴OM＝＝1.4，
∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC＝＝8，AD＝＝6，
∵AM＝4.8，
∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，
A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，
直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、二次根式的性质、垂线段的性质等知识；掌握相关性质是解题的关键．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②抛物线与x轴一定有交点；
③若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【分析】由a+b+c＝0可得抛物线经过（1，0），由抛物线的对称性可判断①②；由b＝c及a+b+c＝0可得a与b的关系，从而可得抛物线对称轴，进而判断③；由0＜a＜c，a+b+c＝0可得抛物线对称轴的位置，从而判断④．
解：∵a+b+c＝0，
∴抛物线经过（1，0），②正确；
若抛物线经过（﹣3，0），则抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a，①正确；
若b＝c，则抛物线y＝cx2+bx+a的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵a+b+c＝0，a≠0，
∴c≠0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过（1，0），
由抛物线对称性可得抛物线经过（﹣2，0），
∴方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2，③正确；
∵0＜a＜c，a+b+c＝0，
∴b＝﹣（a+c），
∵a+c＞2a，
∴b＜﹣2a，即﹣＞1，
∴x＜1时，y随x增大而减小，
∴x1＜x2＜1时，y1＞y2．④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二.填空题（每题4分，共6小题，共24分）
11．现有分别标有汉字“我”“爱”“启”“正”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：由概率公式可得，把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．函数y＝（x﹣2）2﹣x+2图象的对称轴是 直线x＝ ．
【分析】把解析式化成交点式，利用二次函数的对称性即可求得对称轴．
解：∵y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣2﹣1）＝（x﹣2）（x﹣3），
∴抛物线与x轴的交点为（2，0），（3，0），
∴函数y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）图象的对称轴是直线x＝＝，
故答案为：直线x＝．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．
13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 （4﹣4） cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，即可得出答案．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×8＝4﹣4（cm），
故答案为：（4﹣4）．
【点评】此题考查了黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 20 秒才能停下来．
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
【点评】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
15．如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 30π cm（结果保留π）．
【分析】先根据图1确定：图2的周长＝2个的长，根据弧长公式可得结论．
解：由图1得：的长+的长＝的长，
∵半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，
则图2的周长为：2×＝30π（cm），
故答案为：30π．
【点评】本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
16．如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ①②③ ．（填序号）
【分析】根据正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质以及垂径定理逐项进行判断即可．
解：①如图所示，连接OC，OB，
∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∵四边形ABCD是正方形，点O是它的中心，
∴∠OBG＝∠OCH＝45°，
在△BOG与△COH中，
，
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴OG＝OH，
因此①正确；
②由①中△BOG≌△COH，可得BG＝CH，
∴BH+BG＝BH+CH＝BC＝6，
△GBH周长为BH+BG+HG，而BH+BG＝6，
当HG最小时，OH、OG最小，
所以当OH⊥BC，OG⊥AB时，△GBH周长的最小，
如图，过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
则OM＝ON＝3＝BM＝BN，
∴HG＝＝3，
∴△GBH周长的最小值为6+3，
故②正确；
③∵OG＝OH，OM＝OM，
∴△HOM≌△GON（HL），
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，
而正方形ONBM的面积，总等于正方形ABCD面积的四分之一，
因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理，掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理是正确判断的前提．
三、解答题（共7题，共66分）
17．如图，电路图上有三个开关A、B、C，开关闭合记“+”，开关断开记“﹣”．
（1）若只闭合其中一个开关，则小灯泡发光（即电流通过）的概率是 ；
（2）用树状图或列表格的方法表示三个开关A、B、C闭合或断开的所有情况，并求小灯泡发光（即电流通过）的概率．
【分析】（1）让电流通过的情况数除以总情况数即为所求的概率；
（2）列举出所有情况，看电流通过的情况数占总情况数的多少即可．
解：（1）共3个开关，只有闭合C时，电流才能通过，
∴小灯泡发光（即电流通过）的概率是．
故答案为：；
（2）共8种情况，电流能通过的情况数有5种，
所以所求的概率为．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意闭合C或者同时闭合A，B，小灯泡都发光．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A1B1C，直接写出A1的坐标为 （2，0） ；
（2）在（1）的旋转过程中，求CA扫过图形的面积．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可；
（2）先计算出CA的长，然后根据扇形的面积公式计算．
解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（2，0）；
故答案为：（2，0）；
（2）因为CA＝＝3，
所以CA扫过图形的面积＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）
（1）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解．
【分析】（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，把A点的坐标代入，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把x＝0代入即可求得的y的值即可判断；
（2）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．
解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，
∵经过点A（﹣3，﹣3）
∴﹣3＝4a+1，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，
把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，
∴原点（0，0）在二次函数的图象上；
（2）由图象可知，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或x＞0．
【点评】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
20．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．
（1）判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CBD＝∠CAD，从而可得∠CBD＝∠BAD，然后利用角的和差关系，以及三角形外角的性质可得∠DBE＝∠BED，从而利用等角对等边可得BD＝DE，最后再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，即可解答；
（2）利用（1）的结论，以及同弧所对的圆周角相等可得∠CBD＝∠BCD，从而可得BD＝DC，再根据OB＝OC可得OD是BC的垂直平分线，从而可得OF⊥BC，BF＝BC＝6，然后在Rt△OBF中，利用勾股定理求出OF的长，从而求出DF的长，最后在Rt△BDF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
解：（1）△BDE是等腰直角三角形，
理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠CBD+∠EBC，∠BED＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴BD＝DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
（2）连接OC，连接OD交BC于点F，
∵∠CBD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，∠BAD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝DC，
∵OB＝OC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OF⊥BC，BF＝BC＝6，
在Rt△OBF中，OB＝AB＝6.5，
∴OF＝＝＝2.5，
∴DF＝OD﹣OF＝4，
∴BD＝＝＝2，
∴BD的长为2．
【点评】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．已知二次函数（m是实数）．
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点P（a﹣5，t），Q（4m+3+a，t）都在该二次函数图象上，求证：t≥7．
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标为（2m，3﹣4m），即可得到顶点在直线y＝﹣2x+3上，即可判断小明说法正确；
（2）由点P（a﹣5，c），Q（4m+3+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x＝＝2m，即可得出2a﹣2＝0，求得a＝1，得到P（﹣4，t），代入解析式即可得到c＝（﹣4﹣2m）2+3﹣4m＝﹣（m+4）2+15，根据二次函数的性质即可证得结论
【解答】（1）解：小明说法正确，理由如下：
∵y＝（x−2m）2+3−4m（m是实数），
∴顶点坐标为（2m，3﹣4m），
∴二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣2x+3上运动，
故小明说法正确；
（2）证明：∵点P（a﹣5，t），Q（4m+3+a，t）都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线x＝＝2m，
∴2a﹣2＝0，
∴a＝1，
∴P（﹣4，t），
∴t＝（﹣4﹣2m）2+3﹣4m＝m2+7，
∴t≥7．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式：
（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为3.5，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以设抛物线的顶点式，然后将（0，0）代入计算即可；
（2）将x＝2代入（1）中的抛物线表达式和直线，求出相应的y的值，然后作差与3.5比较即可；
（3）设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的为h，然后即可得到h关于x的二次函数关系式，再化为顶点式，即可得到h的最大值．
解：（1）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
∵点（0，0）在该函数图象上，
∴0＝a（0﹣4）2+8，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+8：
（2）小球M能否飞过这棵树，
理由：将x＝2代入y＝﹣（x﹣4）2+8，得：y＝﹣（2﹣4）2+8＝6，
将x＝2代入，得：y＝×2＝1，
∵6﹣1＝5＞3.5，
∴小球M能否飞过这棵树；
（3）设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为h，
则h＝﹣（x﹣4）2+8﹣x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，h取得最大值，
答：小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度是．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
23．如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点（0°＜∠ABP＜30°），作△BCP的外接圆交AB于点D．点E是圆上一点，且，连接DE交BP于点F．
（1）求证：BE＝BC；
（2）当点P运动变化时，∠BFD的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数．
（3）探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接PE，证明△ABP≌△EBP，便可得BE＝AB＝BC；
（2）连接CD，根据在同圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠PCD＝∠PBE，∠BED＝∠BCD，再根据三角形的外角定理便可求得∠BFD的度数；
（3）延长DE到点M，使得EM＝CE，连接CM、AM、AF、PE，先证明△CEM为等边三角形，再证明△ACM≌△BCE，得AM＝BE＝AB，再证明△ABF≌△BEF，进而得∠BAF＝∠MAF，再证明△ABF≌△AMF，得BF＝MF，便可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接PE，
∵，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∵∠PEB＝∠PCB，
∴∠PEB＝∠PCB＝60°＝∠A，
∵PB＝PB，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝BE＝BC；
（2）解：连接CD，
∵，
∴∠PCD＝∠PBE，
∵∠BED＝∠BCD，
∴∠BED+∠PBE＝∠BCD+∠PCD＝60°，
∵∠BFD＝∠BED+∠PBE，
∴∠BFD＝60°；
（3）BF＝CE+EF．理由如下：
延长DE到点M，使得EM＝CE，连接CM、AM、AF、PE，
∵∠CEM＝∠ABC＝60°，
∴△CEM为等边三角形，
∴CM＝CE，∠ECM＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCE（SAS），
∴AM＝BE＝AB＝AC，
∴∠CAM＝180°﹣2∠ACM＝180°﹣2（60°+∠ACE）＝60°﹣2∠ACE，
∵，
∴∠ABP＝∠EBP＝∠ACE＝∠ACD，
∵AB＝EB，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BEF＝∠BCD，
∴∠ACE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝60°，
∴∠BAF＝∠BCD＝60°﹣∠ACE，
∴∠PAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣60°+∠ACE＝∠ACE，
∴∠MAF＝∠MAC+∠PAF＝60°﹣2∠ACE+∠ACE＝60°﹣∠ACE，
∴∠MAF＝∠BAF，
∵AM＝AB，AF＝AF，
∴△ABF≌△AMF（SAS），
∴BF＝MF
∵MF＝ME+EF＝CE+EF，
∴BF＝CE+EF．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是作辅助线构造全等三角形．