浙江省杭州市下城区采荷中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

这是一份浙江省杭州市下城区采荷中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（12月份），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级第一学期月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，满分30分）
1．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知两条线段a＝3cm，b＝4.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（　　）
A．7.5cm B．6.5cm C．1.5cm D．1.3cm
3．下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝4 C．a＝﹣2 D．a＝﹣4
4．如图，在△ABD中，∠D＝81°，点C为边BD上一点，连结AC．若∠ACB＝116°，则∠CAD＝（　　）

A．25° B．35° C．30° D．45°
5．如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
6．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜1x+b的解为（　　）

A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0
8．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0
9．点A（a，y1）、B（3a，y2）都在一次函数y＝2ax﹣a（a≠0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D．CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．

A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．①③④⑤
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是 　 　．
12．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为　 　．
13．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　 　．
14．已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值为　 　．
x
0
3
4
y
20
m
8
15．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为 　 　．

三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
18．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．

19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移，使点B移动到点D（2，3）处，这时点A移动到点C处．
（1）请在图中画出线段CD，并写出点C的坐标；
（2）求四边形ABDC的周长．

20．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE、CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠A＝38°，BC＝BD，求∠BEC的度数．

21．某校八年级举行数学说题比赛，准备用2400元钱（全部用完）购买A，B两种钢笔作为奖品，已知A，B两种每支分别为10元和20元，设购入A种x支，B种y支．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，则至少购进A种多少支？
22．已知一次函数y1＝mx﹣3m+6（m≠0）．
（1）判断点（3，6）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y1＝mx﹣3m+6不经过第二象限，求m的取值范围；
（3）若一次函数y2＝﹣x+9．当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小．
23．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，满分30分）
1．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点P的坐标判断所在的象限即可．
解：∵点P（3，﹣1），
∴点P位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握如果点P（a，b）位于第四象限，则a＞0，b＜0是解题的关键．
2．已知两条线段a＝3cm，b＝4.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（　　）
A．7.5cm B．6.5cm C．1.5cm D．1.3cm
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
解：设第三边长为xcm，
∵a＝3cm，b＝4.5cm，
∴4.5﹣3＜x＜4.5+3，即1.5＜x＜7.5，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝4 C．a＝﹣2 D．a＝﹣4
【分析】根据举反例时需满足命题的题设，而不满足命题的结论即可作答．
解：用来证明命题“a2＞6，则a＞3”是假命题的反例可以是：a＝﹣4，
∵（﹣4）2＞6，但是a＝﹣4＜3，
∴选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用举反例法证明一个命题是假命题，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
4．如图，在△ABD中，∠D＝81°，点C为边BD上一点，连结AC．若∠ACB＝116°，则∠CAD＝（　　）

A．25° B．35° C．30° D．45°
【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
解：∵∠D＝81°，∠ACB＝116°，∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝35°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5．如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，
故A选项不符合题意；
B、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，
故B选项符合题意；
C、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，
故C选项不符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．
6．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．
解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，
根据题意得20×1.5+25x≤200，
解得x≤6.8，
所以x的最大整数值为6，
所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用：先分析题意，找出不等关系；设未知数，列出不等式；解不等式；从不等式的解集中找出符合题意的答案；作答．
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜1x+b的解为（　　）

A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0
【分析】直线y＝2x在直线y＝kx+b的下方对应的x的取值范围即为所求．
解：观察图象可知，当x＜﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝kx+b的下方，
所以不等式2x＜kx+b的解集为x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题的关键．
8．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：B．

【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
9．点A（a，y1）、B（3a，y2）都在一次函数y＝2ax﹣a（a≠0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
【分析】分a＞0及a＜0两种情况考虑，当a＞0时，k＝2a＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合a＜3a，可得出y1＜y2；当a＜0时，k＝2a＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合a＞3a，可得出y1＜y2．
解：当a＞0时，k＝2a＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（a，y1）、B（3a，y2）都在一次函数y＝2ax﹣a（a≠0）的图象上，且a＜3a，
∴y1＜y2；
当a＜0时，k＝2a＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（a，y1）、B（3a，y2）都在一次函数y＝2ax﹣a（a≠0）的图象上，且a＞3a，
∴y1＜y2．
综上所述，y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D．CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（　　）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．

A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．①③④⑤
【分析】由∠ABC＝60°，得∠DAC+∠ECA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，则∠AFC＝180°﹣（∠DAC+∠ECA）＝120°，可判断①正确；作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG＝DH，因为AB与AC不一定相等，且S△ABD＝AB•DG，S△ADC＝AC•DH，所以S△ABD与S△ADC不一定相等，可判断②错误；延长CE到点K，使KE＝CE，连接BK，可证明△BKE≌△ACE，得∠K＝∠ACE，BK＝AC，而∠BCE＝∠ACE，所以∠BCE＝∠K，则BK＝BC，所以AC＝BC，则CE⊥AB，可判断③正确；在AC上截取AL＝AE，连接FL，可证明△ALF≌△AEF，得∠AFL＝∠AFE＝60°，则∠CFL＝∠CFD，再证明△FLC≌△FDC，得CL＝CD，则CD+AE＝CL+AL＝AC，可判断④正确；作LM⊥FA于点M，LN⊥FC于点N，因为∠AFL＝∠CFL，所以LM＝LN，即可证明＝＝＝，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
解：∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ECA＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ECA＝（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠DAC+∠ECA）＝120°，
故①正确；
如图1，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG＝DH，
∵AB与AC不一定相等，
∴AB•DG与AC•DH不一定相等，
∵S△ABD＝AB•DG，S△ADC＝AC•DH，
∴S△ABD与S△ADC不一定相等，
故②错误；
如图1，延长CE到点K，使KE＝CE，连接BK，
∵AB＝2AE，
∴BE＝AE，
在△BKE和△ACE中，
，
∴△BKE≌△ACE（SAS），
∴∠K＝∠ACE，BK＝AC，
∵∠BCE＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠K，
∴BK＝BC，
∴AC＝BC，
∴CE⊥AB，
故③正确；
如图2，在AC上截取AL＝AE，连接FL，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFE＝∠CFD＝180°﹣∠AFC＝60°，
在△ALF和△AEF中，
，
∴△ALF≌△AEF（SAS），
∴∠AFL＝∠AFE＝60°，
∴∠CFL＝∠AFC﹣∠AFL＝60°，
∴∠CFL＝∠CFD，
在△FLC和△FDC中，
，
∴△FLC≌△FDC（ASA），
∴CL＝CD，
∴CD+AE＝CL+AL＝AC，
故④正确；
如图2，作LM⊥FA于点M，LN⊥FC于点N，
∵∠AFL＝∠CFL，
∴LM＝LN，
∴＝＝，
∵S△ALF＝S△AEF，S△FLC＝S△FDC，
∴＝，即S△AEF：S△FDC＝AF：FC，
故⑤正确，
故选：D．


【点评】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣3，4）　．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点（﹣3，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为　﹣5　．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可．
解：不等式3（2+x）＞2x的解集为x＞﹣6，
所以最小负整数解为﹣5．
【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　8或或3　．
【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD＝CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC＝2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．
解：如图所示：

当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝1，
根据勾股定理得：BC＝＝；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
∴BD＝AB+AD＝5+4＝9，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝9，
根据勾股定理得：BC＝＝3；
当AD为底边上的高时，如图所示：

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝5，
根据勾股定理得：BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．
14．已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值为　11　．
x
0
3
4
y
20
m
8
【分析】把（0，20），（4，8）代入一次函数y＝kx+b中，就可求出一次函数的解析式，然后把（3，m）代入一次函数解析中，即可求出m．
解：∵y是关于x的一次函数，∴设y＝kx+b，
把（0，20），（4，8）代入y＝kx+b，得：，解得，故一次函数的解析式为y＝﹣3x+20，
把（3，m）代入y＝﹣3x+20，得：m＝﹣3×3+20＝11．
故答案为：11
【点评】本题主要考查一次函数上的点的坐标特征和一次函数解析式的关系．
15．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　a≥2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
解：由＞，得：x＜2，
由﹣3x＞﹣2x﹣a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为 　　．

【分析】如图所示，过点E作EH⊥AC于H，利用勾股定理求出BC＝12，利用等面积法求出，则由勾股定理可得，由角平分线的定义得到EH＝ED，再由S△ADC＝S△ACE+S△ADE得到AD•CD＝代值计算即可．
解：如图所示，过点E作EH⊥AC于H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，
∴，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝，
∴，
∵AF平分∠CAB，EH⊥AC，ED⊥AD，
∴EH＝ED，
∵S△ADC＝S△ACE+S△ADE，
∴AD•CD＝
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的定义，三角形面积，正确求出DE的长是解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①，得x＞0.5，
解不等式②，得x≤1，
所以不等式组的解集是0.5＜x≤1，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
18．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．

【分析】（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中

∴△ACD≌△BEC（SAS），

（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19．如图，已知A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移，使点B移动到点D（2，3）处，这时点A移动到点C处．
（1）请在图中画出线段CD，并写出点C的坐标；
（2）求四边形ABDC的周长．

【分析】（1）根据点B和点D的坐标可得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
（2）根据（1）的图形即可解决问题．
解：（1）因为点B（1，1）平移到点D（2，3），
所以线段AB是向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
又A（﹣1，0），
所以A点平移后的对应点C的坐标为（0，2）．
线段CD的位置如图所示，
（2）由平移可知，
AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABDC是平行四边形．
又由勾股定理得，
AB＝，
AC＝，

所以四边形ABDC的周长为．

【点评】本题考查平移变换，熟知平移前后的对应线段平行且相等是解题的关键．
20．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE、CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠A＝38°，BC＝BD，求∠BEC的度数．

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根据角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝71°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
由（1）知∠DBC＝∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝11°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝51°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的判定定理．
21．某校八年级举行数学说题比赛，准备用2400元钱（全部用完）购买A，B两种钢笔作为奖品，已知A，B两种每支分别为10元和20元，设购入A种x支，B种y支．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，则至少购进A种多少支？
【分析】（1）根据A种的费用+B种的费用＝2400元，可求y关于x的函数表达式；
（2）根据购进A种的数量不少于B种的数量，列出不等式，可求解．
解：（1）由题意可得10x+20y＝2400，
∴y＝+120；
（2）∵购进A种的数量不少于B种的数量，
∴x≥y，
∴x≥+120，
解得x≥80．
答：至少购进A种钢笔80支．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．
22．已知一次函数y1＝mx﹣3m+6（m≠0）．
（1）判断点（3，6）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y1＝mx﹣3m+6不经过第二象限，求m的取值范围；
（3）若一次函数y2＝﹣x+9．当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小．
【分析】（1）代入x＝3求得y的值即可判断；
（2）根据图象不经过第二象限，可得一次项系数大于等于零、常数项小于等于零，可得不等式组，根据解不等式，可得答案；
（3）求得两直线的交点为（3，6），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小．
解：（1）当x＝3时，y1＝mx﹣3m+6＝6，
∴点（3，6）在该一次函数的图象上；
（2）由图象不经过第二象限，得，
解得m≥2；
（3）∵一次函数y2＝﹣x+9的图象经过点（3，6），点（3，6）在一次函数y1＝mx﹣3m+6（m＞0）的图象上，
∴一次函数y2＝﹣x+9的图象与函数y1＝mx﹣3m+6（m＞0）的图象的交点为（3，6），
∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大，
∴当x＞3时，y1＞y2；
当x＝3时，y1＝y2；
当x＜3时，y1＜y2；
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
23．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；
（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ＝9﹣t，然后根据S＝AQ•|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ＝PA时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ＝PA时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，即可求得．
【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，
∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，3），
把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，
解得b＝；

（2）∵b＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+，
∴C点的坐标为（﹣7，0），
①由直线l1：y1＝﹣x+2可知A（2，0），
∴当Q在A、C之间时，AQ＝2+7﹣t＝9﹣t，
∴S＝AQ•|yP|＝×（9﹣t）×3＝﹣t；
当Q在A的右边时，AQ＝t﹣9，
∴S＝AQ•|yP|＝×（t﹣9）×3＝t﹣；
即△APQ的面积S与t的函数关系式为S＝﹣t+或S＝t﹣；
②∵S＜3，
∴﹣t+＜3或t﹣＜3
解得7＜t＜9或9＜t＜11．
③存在；
设Q（t﹣7，0），
当PQ＝PA时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2
∴（t﹣6）2＝32，解得t＝3或t＝9（舍去），
当AQ＝PA时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2
∴（t﹣9）2＝18，解得t＝9+3或t＝9﹣3；
当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，
∴（t﹣6）2+9＝（t﹣9）2，解得t＝6．
故当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积等，分类讨论是解题关键．