2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题11 解答题之二次函数动点问题（学生卷+教师卷）

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专题11 解答题之二次函数动点问题
1．（2022·四川德阳·中考真题）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

(1)如图①，求射线的解析式；
(2)在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；
(3)如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．
【答案】(1)，
(2)4
(3)
【解析】
【分析】
（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），利用PT∥AM，则问题可解
(1)
∵直线与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)，
∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5,3)，
设射线MF的解析式为，，
∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，
∴ ，解得：，
∴射线MF的解析式为，，
(2)
根据题意可知射线ME的解析式为：，，
在（1）中已求得射线MF的解析式为，，
∵的对称轴为x=2，
又∵M点(2,0)，
∴M点刚好在的对称轴为x=2上，
∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，
∵，
∴此时交点的坐标为、，且、，
∵、在抛物线上，
∴，
由①-②，得：，
整理得：
∵、，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)
如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴
∵
∴有最大值，最大值为
【点睛】
本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键．
2．（2022·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
　　

(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2+2；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
(1)
解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
(2)
解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，

△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
(3)
解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，

∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2020·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图象过、、三点

（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．

【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
4．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
(1)
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
(2)
解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．


(3)
解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，


则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
5．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋
【解析】
【分析】
（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；
（2）首先假设存在点P，然后分点P在直线AB上方时和点P在直线AB下方时两种情况讨论，即可得解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得

解得
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2−，1−）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0，−4），
∴直线EP"解析式为y＝x−4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2，−3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，），则点F（m，m−2），
∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，−3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
6．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合条件的点M，M的坐标为，，，
【解析】
【分析】
（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P为所求的点；
（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
【详解】
解：（1）把点，代入，
得到方程组：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交与点，由图形的对称性可知为所求的点，

设直线的解析式为，
由题意得：，
解得：，
直线的解析式为，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
；
（3）存在点，
过点作轴的垂线，由勾股定理得，
同理可求得，，

，，
，
，
，
，
设点，则，
解得或，
当时，，
，，
当，，
，，
存在符合条件的点，的坐标为，，，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．
7．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．


(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；
（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．
(1)
解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
，
(2)
二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，


(3)
的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，


，
，
，
，
，
即，
，，
，
，


．
即的值是定值
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2021·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．


（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）或；（2）点C的坐标为或；（3）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，把点O(0，0)代入即可求解；
（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分两种情况讨论，①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线BC的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M (，)，同①可求解；
（3）作出如图的辅助线，点B的坐标为(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式为：，解方程组求得点C的横坐标为，即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为P(2，-1)，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点O，即经过点O(0，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）在中，令，
得：，
解得或，
∴B(0，0)或B(8，8)，
①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，
此时∠ABC=∠OAP，如图：


在中，令，
得：，
解得：或，
∴A(4，0)，
设直线AP的解析式为，
将A(4，0)，P(2，-1)代入得
，解得：，
∴直线AP的解析式为，
∵BC∥AP，
∴设直线BC的解析式为，
将B(0，0)代入得，
∴直线BC的解析式为，
由，
得：(此点为点O，舍去)或，
∴点C的坐标为(6，3)；
②点B的坐标为(8，8)时，过点P作PQ⊥轴于点Q，过点B作BH⊥轴于点H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：


∵A(4，0)，P(2，-1)，
∴PQ=1，AQ=2，
在Rt△APQ中，，
∵A(4，0)，B (8，8)，
∴AH=4，BH=8，
在Rt△ABH中，，
∴∠OAP=∠ABH，
∵H关于AB的对称点为M，
∴∠ABM=∠ABH，
∴∠ABC=∠OAP，即C为满足条件的点，
设M (x，y)，
∵H关于AB的对称点为M，
∴AM=AH=4，BM=BH=8，
∴
两式相减得：，代入即可解得：
(此点为点H，舍去)或，
∴M (，)，
同理求得BM的解析式为：，
解得：(此点为点B，舍去)或，
∴点C的坐标为(-1，)；
综上，点C的坐标为(6，3)或(-1，)；
（3）设BC交y轴于点M，过点B作BH⊥轴于点H，过点M作MN⊥于点N，如图：


∵点B的横坐标为t，
∴点B的坐标为(t，)，又A(4，0)，
∴AH=，BH=，OH=MN，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，
且∠N=∠AHB=90°，
∴△ABH△BMN，
∴，即，
∴BN=，
∴HN=，
∴M(0，)，
同理求得BC的解析式为：，
由，得，
解得(点B的横坐标)，或，
∴点C的横坐标为，
当时，


，
∴当时，的最小值是12，此时；
∴当时，点C的横坐标的取值范围是．
【点睛】
本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．
9．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
【详解】
解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；

（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．
10．（2021·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．

【答案】（1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答，
【详解】
解：（1）由抛物线经过点和点，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点和点．
∴，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图，


∵点为该抛物线上一点（不与点重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴，
即可设直线CP解析式为：，
联立函数解析式为：，
解得：，，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H，

由轴对称性质可知：，，
∴，
∵，即，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
点从点出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿轴正方向移动时，，则秒，
当沿轴CO方向移动时，，则秒，
综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将的面积分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM长．
11．（2021·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．

【答案】（1）（2）①9；②或．
【解析】
【分析】
（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得

令得



，




（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得



设









即DE+BF的最大值为9；
②点G是AC的中点，
在中，
即为等腰三角形，






若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，
则①

又




，
或
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又



整理得，
，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
12．（2020·四川巴中·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求PM的长；
（3）当时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）先求出点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得PO＝PC，，可得点P在CO的垂直平分线上，即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用面积关系列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∵点B，点C，点A在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）连接OM，

∵M为BC中点，
∴，
∵，
∴，，
∴MP是OC的垂直平分线，
∴轴，
∴点P的纵坐标为1，
当时，代入，
解得：，
∴或，
∴或；
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴直线BC解析式为，
当点P在BC上方时，如图2，过点P作轴，交BC于点E，

设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∴点；
当点P在BC下方时，如图3，过点P作轴，交BC于点E，

∴，
∴，
∴，
∴点或；
综上，点P的坐标为：或或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；

（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．
【详解】
（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．
则DG//AK，
∴△AEK∽△DEF，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
将、代入则有：，
解得，
∴直线的表达式为，
当x=-1时，，
即K（-1，），
∴．
∵．
∴
设点，则F点坐标为（m，），
∴．
∴，
当时，有最大值．

（3）∵，，．
∴AC=，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=25=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵过点作直线，直线的表达式为，
∴直线的表达式为．
设点的坐标为．
①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=t-4，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，t2=0（舍去），
此时点的坐标为．

②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=4-t，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，