2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题12 二次函数解答压轴题(学生卷+教师卷)
展开专题12 二次函数解答压轴题
1.(2022·江苏无锡·中考真题)已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),图像与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧),且.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)若点C与点B重合,求tan∠CDA的值;
(3)点C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)1
(3),,
【解析】
【分析】
(1)二次函数与y轴交于点,判断,根据,即二次函数对称轴为,求出b的值,即可得到二次函数的表达式;
(2)证明,得到,即,设,点D在第一象限,根据点的坐标写出长度,利用求出t的值,即可,的值,进一步得出tan∠CDA的值;
(3)根据题目要求,找出符合条件的点C的位置,在利用集合图形的性质,求出对应点C的坐标即可。
(1)
解:∵二次函数与y轴交于点,
∴,即,
∵,即二次函数对称轴为,
∴,
∴,
∴二次函数的表达式为.
(2)
解:如图,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∵,,
∴,,
设:,点D在第一象限,
∴,,,
∴,
解得:(舍),(舍),
当时,,
∴,,
∴,
∵在中,
∴
(3)
解:存在,
如图,(2)图中关于对称轴对称时,,
∵点D的坐标为,
∴此时,点C的坐标为,
如图,当点C、D关于对称轴对称时,此时AC与AD长度相等,即,
当点C在x轴上方时,
过点C作CE垂直于x轴,垂足为E,
∵,点C、D关于对称轴对称,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
设点C的坐标为,
∴,,
∴
解得:,(舍),
此时,点C的坐标为,
当点C在x轴下方时,
过点C作CF垂直于x轴,垂足为F,
∵,点C、D关于对称轴对称,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
设点C的坐标为,
∴,,
∴
解得:(舍),,
此时,点C的坐标为,
综上:点C的坐标为,,.
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题,运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.
2.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,二次函数与轴交于 (0,0), (4,0)两点,顶点为,连接、,若点是线段上一动点,连接,将沿折叠后,点落在点的位置,线段与轴交于点,且点与、点不重合.
(1)求二次函数的表达式;
(2)①求证:;
②求;
(3)当时,求直线与二次函数的交点横坐标.
【答案】(1)
(2)①证明见解析,②
(3)或.
【解析】
【分析】
(1)二次函数与轴交于 (0,0),A(4,0)两点,代入求得b,c的值,即可得到二次函数的表达式;
(2)①由=,得到顶点C的坐标是(2,﹣2),抛物线和对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性可知OC=AC,得到∠CAB=∠COD,由折叠的性质得到△ABC≌△BC,得∠CAB=∠,AB=B,进一步得到∠COD=∠,由对顶角相等得∠ODC=∠BD,证得结论;
②由,得到,设点D的坐标为(d,0),由两点间距离公式得DC=,在0<d<4的范围内,当d=2时,DC有最小值为,得到的最小值,进一步得到的最小值;
(3)由和得到 ,求得B=AB=1,进一步得到点B的坐标是(3,0),设直线BC的解析式为y=x+,把点B(3,0),C(2,﹣2)代人求出直线BC的解析式为y=2x-6,设点的坐标是(p,q),则线段A的中点为(,),由折叠的性质知点(,)在直线BC上,求得q=2p-4,由两点间距离公式得B=,解得p=2或p=,求得点的坐标,设直线的解析式为y=x+,由待定系数法求得直线的解析式为y=x+4,联立直线和抛物线,解方程组即可得到答案.
(1)
解:∵二次函数与轴交于 (0,0), (4,0)两点,
∴代入 (0,0), (4,0)得,,
解得:,
∴二次函数的表达式为;
(2)
①证明:∵ =,
∴顶点C的坐标是(2,﹣2),抛物线的对称轴为直线x=2,
∵二次函数与轴交于(0,0),(4,0)两点,
∴由抛物线的对称性可知OC=AC,
∴∠CAB=∠COD,
∵沿折叠后,点落在点的位置,线段与轴交于点,
∴ △ABC≌△BC,
∴∠CAB=∠,AB=B,
∴∠COD=∠,
∵∠ODC=∠BD,
∴;
②∵,
∴,
设点D的坐标为(d,0),
由两点间距离公式得DC=,
∵点与、点不重合,
∴0<d<4,
对于 =来说,
∵ a=1>0,
∴抛物线开口向上,在顶点处取最小值,当d=2时,的最小值是4,
∴当d=2时,DC有最小值为,
由两点间距离公式得OC=,
∴有最小值为,
∴的最小值为;
(3)
解:∵,
∴,
∵,
∴ ,
∵OC=2,
∴B=AB=1,
∴点B的坐标是(3,0),
设直线BC的解析式为y=x+,
把点B(3,0),C(2,﹣2)代人得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=2x-6,
设点的坐标是(p,q),
∴线段A的中点为(,),
由折叠的性质知点(,)在直线BC上,
∴=2×-6,
解得q=2p-4,
由两点间距离公式得B=,
整理得=1,
解得p=2或p=,
当p=2时,q=2p-4=0,此时点(2,0),很显然不符合题意,
当p=时,q=2p-4=,此时点(,),符合题意,
设直线的解析式为y=x+,
把点B(3,0),(,)代人得,,
解得,
∴直线的解析式为y=x+4,
联立直线和抛物线得到,,
解得,,
∴直线与二次函数的交点横坐标为或.
【点睛】
此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识,难度较大,属于中考压轴题,数形结合是解决此问题的关键.
3.(2021·江苏淮安·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(5,0),顶点为点D,动点M、Q在x轴上(点M在点Q的左侧),在x轴下方作矩形MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动,运动开始时,点M的坐标为(﹣6,0),当点M与点B重合时停止运动,设运动的时间为t秒(t>0).
(1)b= ,c= .
(2)连接BD,求直线BD的函数表达式.
(3)在矩形MNPQ运动的过程中,MN所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所在直线与直线BD交于点H,是否存在某一时刻,使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)连接PD,过点P作PD的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长.
【答案】(1),;(2)y=x﹣5;(3)存在,t=5或t=5+;(4)
【解析】
【分析】
(1)把代入,列方程组求出b,c的值;
(2)将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式,求出顶点D的坐标,再用待定系数法求直线BD的函数表达式;
(3)先由,且,确定t的取值范围,再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标,由列方程求出t的值;
(4)过点P作直线的垂线,垂足为点F,交y轴于点G,由,确定点R的最低点和最高点的坐标,再求出点R运动的路径长.
【详解】
解:(1)把代入,
得,解得,
故答案为:,.
(2)∵,
∴该抛物线的顶点坐标为;
设直线BD的函数表达式为,
则,解得,
∴.
(3)存在,如图1、图2.
由题意得,,
∴,;
∵,且,
∴,解得<t<,且;
∵,
∴当时,以为顶点的四边形是平行四边形,
∴;
由,
解得,(不符合题意,舍去);
由,
解得,(不符合题意,舍去),
综上所述,或.
(4)由(2)得,抛物线的对称轴为直线,
过点P作直线的垂线,垂足为点F,交y轴于点G,
如图3,点Q在y轴左侧,此时点R在点G的上方,
当点M的坐标为(﹣6,0)时,点R的位置最高,
此时点Q与点A重合,
∵,
∴,
∴,
∴==6,
∴R(0,4);
如图4,为原图象的局部入大图,
当点Q在y轴右侧且在直线左侧,此时点R的最低位置在点G下方,
由,
得,,
∴GR=;
设点Q的坐标为(r,0)(0<r<1),则P(r,﹣2),
∴GR==r2+r=,
∴当r=时,GR的最小值为,
∴R(0,);
如图5,为原图象的缩小图,
当点Q在直线右侧,则点R在点G的上方,
当点M与点B重合时,点R的位置最高,
由,
得,,
∴GR===28,
∴R(0,26),
∴,
∴点R运动路径的长为.
【点睛】
本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法,还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用,综合性强、难度大,属于考试压轴题.
4.(2021·江苏南通·中考真题)定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如,点是函数的图象的“等值点”.
(1)分别判断函数的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;
(2)设函数的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作轴,垂足为C.当的面积为3时,求b的值;
(3)若函数的图象记为,将其沿直线翻折后的图象记为.当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)函数y=x+2没有“等值点”; 函数的“等值点”为(0,0),(2,2);(2)或;(3)或..
【解析】
【分析】
(1)根据定义分别求解即可求得答案;
(2)根据定义分别求A(,),B(,),利用三角形面积公式列出方程求解即可;
(3)由记函数y=x2-2(x≥m)的图象为W1,将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2,可得W1与W2的图象关于x=m对称,然后根据定义分类讨论即可求得答案.
【详解】
解:(1)∵函数y=x+2,令y=x,则x+2=x,无解,
∴函数y=x+2没有“等值点”;
∵函数,令y=x,则,即,
解得:,
∴函数的“等值点”为(0,0),(2,2);
(2)∵函数,令y=x,则,
解得:(负值已舍),
∴函数的“等值点”为A(,);
∵函数,令y=x,则,
解得:,
∴函数的“等值点”为B(,);
的面积为,
即,
解得:或;
(3)将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2.
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称,
∴函数W的解析式为,
令y=x,则,即,
解得:,
∴函数的“等值点”为(-1,-1),(2,2);
令y=x,则,即,
当时,函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况;
当时,观察图象,恰有2个“等值点”;
当时,
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1,-1),(2,2),
∴函数W2没有“等值点”,
∴,
整理得:,
解得:.
综上,m的取值范围为或.
【点睛】
本题属于二次函数的综合题,考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性.解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
5.(2021·江苏徐州·中考真题)如图,点在函数的图像上.已知的横坐标分别为-2、4,直线与轴交于点,连接.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求的面积;
(3)若函数的图像上存在点,使得的面积等于的面积的一半,则这样的点共有___________个.
【答案】(1)直线AB的解析式为:;(2)6;(3)4
【解析】
【分析】
(1)将的横坐标分别代入求出生意人y的值,得到A,B点坐标,再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可;
(2)求出OC的长,根据“”求解即可;
(3)分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可.
【详解】
解:(1)∵A,B是抛物线上的两点,
∴当时,;当时,
∴点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(4,4)
设直线AB的解析式为,
把A,B点坐标代入得
解得,
所以,直线AB的解析式为:;
(2)对于直线AB:
当时,
∴
∴==6
(3)设点P的坐标为(,)
∵的面积等于的面积的一半,
∴的面积等于=3,
①当点P在直线AB的下方时,过点A作AD⊥x轴,过点P作PF⊥x轴,过点B作BE⊥x轴,垂足分别为D,F,E,连接PA,PB,如图,
∵
∴
整理,得,
解得,,
∴在直线AB的下方有两个点P,使得的面积等于的面积的一半;
②当点P在直线AB的上方时,过点A作AD⊥x轴,过点P作PF⊥x轴,过点B作BE⊥x轴,垂足分别为D,F,E,连接PA,PB,如图,
∵
∴
整理,得,
解得,,
∴在直线AB的上方有两个点P,使得的面积等于的面积的一半;
综上,函数的图像上存在点,使得的面积等于的面积的一半,则这样的点共有4个,
故答案为:4.
【点睛】
此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式,二次函数与图形面积,注意在解决(3)问时要注意分类讨论.
6.(2021·江苏常州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,正比例函数和二次函数的图像都经过点和点B,过点A作的垂线交x轴于点C.D是线段上一点(点D与点A、O、B不重合),E是射线上一点,且,连接,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以、为邻边作.
(1)填空:________,________;
(2)设点D的横坐标是,连接.若,求t的值;
(3)过点F作的垂线交线段于点P.若,求的长.
【答案】(1),1;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)把分别代入一次函数解析式和二次函数解析式,即可求解;
(2)先证明EF=ED,结合D(t, ),F(t, ),可得点E的纵坐标为:,过点A作AM⊥EG,延长GE交x轴于点N,由,从而得,进而即可求解;
(3)先推出,由FP∥AC,得,结合,可得DA==,结合DA+OD=5,列出方程,即可求解.
【详解】
解:(1)把代入得:,解得:,
把代入得:,解得:b=1,
故答案是:,1;
(2)∵在中,,
∵,
∴=,
∴EF=ED,
∵设点D的横坐标是,则D(t, ),F(t, ),
∴点E的纵坐标为:()÷2=,
联立,解得:或,
∴A(4,3),
∴ 过点A作AM⊥EG,延长GE交x轴于点N,则∠AEM=∠NEC=∠AOC,
∴,
又∵=,
∴,解得:(舍去)或,
∴;
(3)当时,则,
∵⊥FP,AB⊥AC,
∴FP∥AC,
∴,
∵∠FDQ=∠ODH,
∴,
又∵DF=-=,
∴DQ=,
∴DA==,
∵DA+OD=5,
∴+=5,解得:或(舍去),
∴OD==.
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合,根据题意画出图形,添加合适的辅助线,熟练掌握锐角三角函数的定义,平行四边形的性质,是解题的关键.
7.(2021·江苏无锡·中考真题)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数的图象过B、C两点,且与x轴交于另一点A,点M为线段上的一个动点,过点M作直线l平行于y轴交于点F,交二次函数的图象于点E.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时,求线段的长度;
(3)已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线对称,求点N的坐标.
【答案】(1);(2)或;(3)N(0,)
【解析】
【分析】
(1)先求出B(3,0),C(0,3),再利用待定系数法即可求解;
(2)先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°,可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时,或,设F(m,-m+3),则E(m,),根据比例式列出方程,即可求解;
(3)先推出四边形NCFE是平行四边形,再推出FE=FC,列出关于m的方程,求出m的值,从而得CN=EF=,进而即可得到答案.
【详解】
解:(1)∵直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,
∴B(3,0),C(0,3),
∵二次函数的图象过B、C两点,
∴,解得:,
∴二次函数解析式为:;
(2)∵B(3,0),C(0,3),l∥y轴,
∴OB=OC,
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°,
∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时,或,
设F(m,-m+3),则E(m,),
∴EF=-(-m+3)= ,CF=,
∴或,
∴或(舍去)或或(舍去),
∴EF==或;
(3)∵l∥y轴,点N是y轴上的点,
∴∠EFC=∠NCG,
∵点N、F关于直线对称,
∴∠CNE=∠EFC,
∴∠CNE=∠NCG,
∴NE∥FC,
∴四边形NCFE是平行四边形,
∵点N、F关于直线对称,
∴∠NCE=∠FCE,
∵l∥y轴,
∴∠NCE=∠FEC,
∴∠FCE=∠FEC,
∴FE=FC,
∴=,解得:或(舍去),
∴CN=EF=,
∴ON=+3=,
∴N(0,).
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何的综合,相似三角形的判定,掌握函数图像上点的坐标特征,用点的横坐标表示出相关线段的长,是解题的关键.
8.(2021·江苏盐城·中考真题)学习了图形的旋转之后,小明知道,将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度,能得到一个新的点.经过进一步探究,小明发现,当上述点在某函数图像上运动时,点也随之运动,并且点的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题.
【初步感知】
如图1,设,,点是一次函数图像上的动点,已知该一次函数的图像经过点.
(1)点旋转后,得到的点的坐标为________;
(2)若点的运动轨迹经过点,求原一次函数的表达式.
【深入感悟】
(3)如图2,设,,点反比例函数的图像上的动点,过点作二、四象限角平分线的垂线,垂足为,求的面积.
【灵活运用】
(4)如图3,设A,,点是二次函数图像上的动点,已知点、,试探究的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4)存在最小值,
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的定义得,观察点和在同一直线上即可直接得出结果.
(2)根据题意得出的坐标,再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可.
(3)先根据计算出交点坐标,再分类讨论①当时,先证明再计算面积.②当-时,证,再计算即可.
(4)先证明为等边三角形,再证明,根据在中,,写出,从而得出的函数表达式,当直线与抛物线相切时取最小值,得出,由计算得出的面积最小值.
【详解】
(1)由题意可得:
∴的坐标为
故答案为:;
(2)∵,由题意得
坐标为
∵,在原一次函数上,
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为;
(3)设双曲线与二、四象限平分线交于点,则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即;
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴;
(4)连接,,将,绕逆时针旋转得,,作轴于
∵,
∴
∴
∴为等边三角形,此时与重合,即
连接,∵
∴
∴在和中
∴
∴,
∴作轴于
在中,
∴
∴,即,此时的函数表达式为:
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时,得
∴
设与轴交于点
∵
∴
【点睛】
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题,函数的最小值的问题,灵活进行角的转换是关键.
9.(2021·江苏南京·中考真题)已知二次函数的图像经过两点.
(1)求b的值.
(2)当时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________.
(3)设是该函数的图像与x轴的一个公共点,当时,结合函数的图像,直接写出a的取值范围.
【答案】(1);(2)1;(3)或.
【解析】
【分析】
(1)将点代入求解即可得;
(2)先求出二次函数的顶点的纵坐标,再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得;
(3)分和两种情况,再画出函数图象,结合图象建立不等式组,解不等式组即可得.
【详解】
解:(1)将点代入得:,
两式相减得:,
解得;
(2)由题意得:,
由(1)得:,
则此函数的顶点的纵坐标为,
将点代入得:,
解得,
则,
下面证明对于任意的两个正数,都有,
,
(当且仅当时,等号成立),
当时,,
则(当且仅当,即时,等号成立),
即,
故当时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1;
(3)由得:,
则二次函数的解析式为,
由题意,分以下两种情况:
①如图,当时,则当时,;当时,,
即,
解得;
②如图,当时,
当时,,
当时,,
解得,
综上,的取值范围为或.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质等知识点,较难的是题(3),熟练掌握函数图象法是解题关键.
10.(2021·江苏宿迁·中考真题)如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(4,0),与轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA45°时,求点P的坐标;
(3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.
【答案】(1);(2)(6,-7);(3)PH=或1.5或
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法解答即可;
(2)求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°,继而可得∠ACO=∠CBA,在x轴上取点E(2,0),连接CE,易得△OCE是等腰直角三角形,可得∠OCE=45°,进一步可推出∠ACE=∠CAQ,可得CE∥PQ,然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式,再与抛物线的解析式联立方程组求解即可;
(3)设直线AP交y轴于点G,如图,由题意可得若△PFH为等腰三角形,则△CFG也为等腰三角形,设G(0,m),求出直线AF和直线BC的解析式后,再解方程组求出点F的坐标,然后分三种情况求出m的值,再求出直线AP的解析式,进而可求出点P的坐标,于是问题可求解.
【详解】
解:(1)把A(-1,0),B(4,0)代入,得
,解得:,
∴抛物线的解析式是;
(2)令x=0,则y=2,即C(0,2),
∵,,AB2=25,
∴,
∴∠ACB=90°,
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°,
∴∠ACO=∠CBA,
在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图,
则CE=OE=2,
∴∠OCE=45°,
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ,
∴CE∥PQ,
∵C(0,2),E(2,0),
∴直线CE的解析式为y=-x+2,
设直线PQ的解析式为y=-x+n,把点A(-1,0)代入,可得n=-1,
∴直线PQ的解析式为y=-x-1,
解方程组,得或,
∴点P的坐标是(6,-7);
(3)设直线AP交y轴于点G,如图,
∵PH∥y轴,
∴∠PHC=∠OCB,∠FPH=∠CGF,
∴若△PFH为等腰三角形,则△CFG也为等腰三角形,
∵C(0,2),B(4,0),
∴直线BC的解析式为,
设G(0,m),∵A(-1,0),
∴直线AF的解析式为y=mx+m,
解方程组,得,
∴点F的坐标是,
∴,
当CG=CF时,,解得:(舍去负值),
此时直线AF的解析式为y=x+,
解方程组,得或,
∴点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),
∴PH=;
当FG=FC时,,解得m=或m=(舍)或m=2(舍),
此时直线AF的解析式为y=x+,
解方程组,得或,
∴点P的坐标是(3,2),此时点H的坐标是(3,),
∴PH=2-=1.5;
当GF=GC时,,解得或m=2(舍去),
此时直线AF的解析式为y=x+,
解方程组,得或,
∴点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),
∴PH=;
综上,PH=或1.5或.
【点睛】
本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识,具有相当的难度,熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
11.(2021·江苏苏州·中考真题)如图,二次函数(是实数,且)的图像与轴交于、两点(点在点的左侧),其对称轴与轴交于点,已知点位于第一象限,且在对称轴上,,点在轴的正半轴上,.连接并延长交轴于点,连接.
(1)求、、三点的坐标(用数字或含的式子表示);
(2)已知点在抛物线的对称轴上,当的周长的最小值等于,求的值.
【答案】(1),,;(2)
【解析】
【分析】
(1)把代入函数解析式,可得,再利用因式分解法解方程可得的坐标,再求解函数的对称轴,可得的坐标;
(2)先证明,利用相似三角形的性质求解,利用三角形的中位线定理再求解.再利用勾股定理求解,如图,当点、、三点共线时,的长最小,此时的周长最小.可得.再利用勾股定理列方程,解方程可得答案.
【详解】
解:(1)令 则,
∴,,
∴对称轴为直线,
∴.
(2)在中,,
,
,.
.
∵轴,轴,
∴.
∵,
∴.
∴.
在中,,
∴,即.(负根舍去)
∵点与点关于对称轴对称,
∴.
∴如图,当点、、三点共线时,的长最小,此时的周长最小.
∴的周长的最小值为,
∴的长最小值为,即.
∵,∴.
∴.
∵,
∴.
【点睛】
本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程,图形与坐标,二次函数的对称性,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,灵活应用二次函数的性质是解题的关键.
12.(2021·江苏扬州·中考真题)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;
②月利润=月租车费-月维护费;
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是_______元;当每个公司租出的汽车为_______辆时,两公司的月利润相等;
(2)求两公司月利润差的最大值;
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.
【答案】(1)48000,37;(2)33150元;(3)
【解析】
【分析】
(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据二次函数的性质,结合x的范围求出最值,再比较即可;
(3)根据题意得到利润差为,得到对称轴,再根据两公司租出的汽车均为17辆,结合x为整数可得关于a的不等式,即可求出a的范围.
【详解】
解:(1)=48000元,
当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;
设每个公司租出的汽车为x辆,
由题意可得:,
解得:x=37或x=-1(舍),
∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,
则y甲=,
y乙=,
当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,
y=y甲-y乙=
=,
当x==18时,利润差最大,且为18050元;
当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,
y=y乙-y甲=
=,
∵对称轴为直线x==18,
当x=50时,利润差最大,且为33150元;
综上:两公司月利润差的最大值为33150元;
(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,
则利润差为=,
对称轴为直线x=,
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
∴,
解得:.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,二次函数的图像和性质,解题时要读懂题意,列出二次函数关系式,尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式.
13.(2021·江苏扬州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴交于点.、,与y轴交于点C.
(1)________,________;
(2)若点D在该二次函数的图像上,且,求点D的坐标;
(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点,且,直接写出点P的坐标.
【答案】(1)-2,-3;(2)(,6)或(,6);(3)(4,5)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求出△ABC的面积,设点D(m,),再根据,得到方程求出m值,即可求出点D的坐标;
(3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧,结合平行线之间的距离,分别求解.
【详解】
解:(1)∵点A和点B在二次函数图像上,
则,解得:,
故答案为:-2,-3;
(2)连接BC,由题意可得:
A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),,
∴S△ABC==6,
∵S△ABD=2S△ABC,设点D(m,),
∴,即,
解得:x=或,代入,
可得:y值都为6,
∴D(,6)或(,6);
(3)设P(n,),
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分,
∴n<-1或n>3,
当点P在点A左侧时,即n<-1,
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,
∴,不成立;
当点P在点B右侧时,即n>3,
∵△APC和△APB都以AP为底,若要面积相等,
则点B和点C到AP的距离相等,即BC∥AP,
设直线BC的解析式为y=kx+p,
则,解得:,
则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入,
则-1+q=0,解得:q=1,
则直线AP的解析式为y=x+1,将P(n,)代入,
即,
解得:n=4或n=-1(舍),
,
∴点P的坐标为(4,5).
【点睛】
本题考查了二次函数综合,涉及到待定系数法求函数解析式,三角形面积,平行线之间的距离,一次函数,解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离.
14.(2020·江苏镇江·中考真题)如图①,直线l经过点(4,0)且平行于y轴,二次函数y=ax2﹣2ax+c(a、c是常数,a<0)的图象经过点M(﹣1,1),交直线l于点N,图象的顶点为D,它的对称轴与x轴交于点C,直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
(1)当a=﹣1时,求点N的坐标及的值;
(2)随着a的变化,的值是否发生变化?请说明理由;
(3)如图②,E是x轴上位于点B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点F.若FB=FE,求此时的二次函数表达式.
【答案】(1)N(4,﹣4),=;(2)不变,理由见解析;(3)y=﹣x2+x+.
【解析】
【分析】
(1)证明△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,则,,求出AC=,BC=,即可求解;
(2)点D(1,1﹣4a),N(4,1+5a),则ME=2,DE=﹣4a,由(1)的结论得:AC=,BC=,即可求解;
(3)利用△FHE∽△DCE,求出F(﹣,﹣),即可求解.
【详解】
解:(1)分别过点M、N作ME⊥CD于点E,NF⊥DC于点F,
∵ME∥FN∥x轴,
∴△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,
∴,,
∵a=﹣1,则y=﹣x2+2x+c,
将M(﹣1,1)代入上式并解得:c=4,
∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+4,
则点D(1,5),N(4,﹣4),
则ME=2,DE=4,DC=5,FN=3,DF=9,
∴,解得:AC=,BC=,
∴=;
(2)不变,理由:
∵y=ax2﹣2ax+c过点M(﹣1,1),则a+2a+c=1,
解得:c=1﹣2a,
∴y=ax2﹣2ax+(1﹣3a),
∴点D(1,1﹣4a),N(4,1+5a),
∴ME=2,DE=﹣4a,
由(1)的结论得:AC=,BC=,
∴=;
(3)过点F作FH⊥x轴于点H,则FH∥l,则△FHE∽△DCE,
∵FB=FE,FH⊥BE,
∴BH=HE,
∵BC=2BE,
则CE=6HE,
∵CD=1﹣4a,
∴FH=,
∵BC=,
∴CH=×=,
∴F(﹣,﹣),
将点F的坐标代入y=ax2﹣2ax+(1﹣3a)=a(x+1)(x﹣3)+1得:
﹣a=a(﹣+2)(﹣﹣2)+1,
解得:a=﹣,
故y=﹣x2+x+.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的综合运用等知识.综合性强.
15.(2020·江苏南通·中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n﹣4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1.关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若n<﹣5,试比较y1与y2的大小;
(3)若B,C两点在直线x=1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围.
【答案】(1)y=﹣x2+x;(2)y1>y2;(3)0<n<.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得0=4a+2b+c①,②,△=(b-1)2-4ac=0③,联立方程组可求a,b,c,可求解析式;
(2)由n<-5,可得点B,点C在对称轴直线x=1的左侧,由二次函数的性质可求解;
(3)分两种情况讨论,列出不等式组可求解.
【详解】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),
∴0=4a+2b+c①,
∵对称轴是直线x=1,
∴②,
∵关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,
∴△=(b﹣1)2﹣4ac=0③,
由①②③可得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x;
(2)∵n<﹣5,
∴3n﹣4<﹣19,5n+6<﹣19
∴点B,点C在对称轴直线x=1的左侧,
∵抛物线y=﹣x2+x,
∴﹣<0,即在对称轴的左侧y随x的增大而增大,
∵(3n﹣4)﹣(5n+6)=﹣2n﹣10=﹣2(n+5)>0,
∴3n﹣4>5n+6,
∴y1>y2;
(3)若点B在对称轴直线x=1的左侧,点C在对称轴直线x=1的右侧时,
由题意可得,
∴0<n<,
若点C在对称轴直线x=1的左侧,点B在对称轴直线x=1的右侧时,
由题意可得:,
∴不等式组无解,
综上所述:0<n<.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,根的判别式,待定系数法求解析式,一元一次不等式组的应用,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
16.(2020·江苏徐州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,函数的图像交轴于点、,交轴于点,它的对称轴交轴于点.过点作轴交抛物线于点,连接并延长交轴于点,交抛物线于点.直线交于点,交抛物线于点,连接、.
备用图
(1)点的坐标为:______;
(2)当是直角三角形时,求的值;
(3)与有怎样的位置关系?请说明理由.
【答案】(1)(1,0);(2) 或;(3)平行,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据二次函数的对称轴为,代入即可求出E点坐标;
(2)将ED、AF的解析式用的代数式表示,然后由DE解析式令y=0求出F点坐标,由AF解析式令y=求出H点坐标,再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论,由勾股定理求解即可;
(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标,直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标,最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解.
【详解】
解:(1)由题意可知,抛物线的对称轴为,
∴E点的坐标为(1,0),
故答案为(1,0).
(2)由题意知,C点坐标为(0,3a),C和D点关于对称轴对称,∴D坐标为(2,3a),
设直线DE的解析式为y=kx+m,代入E(1,0)和D(2,3a),
即,解得,
∴直线DE的解析式为y=3ax-3a,
令y=0,∴F(0,-3a),
令中,即:,
解得,∴A(-1,0),
设直线AF的解析式为y=bx+t,代入A(-1,0),F(0,-3a),
即,解得,
∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a,
令y=-3ax-3a中y=3a,解得H点坐标(-2,3a),
∴H(-2,3a),E(1,0),F(0,-3a)
故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²,
EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²,
FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4,
∵△EFH为直角三角形,∴分类讨论谁是直角顶角,
情况一:∠E为直角顶角时,则EF²+EH²=FH²,
即:1+9a²+9+9a²=36a²+4,解得:a=,又a>0,故a=;
情况二:∠F为直角顶角时,则EF²+FH²=EH²,
即:1+9a²+36a²+4=9+9a²,解得:a=,又a>0,故a=;
情况三:∠H为直角顶角时,则FH²+EH²=EF²,
即:36a²+4+9+9a²=1+9a²,此时无解;
∴综上所述,a的值为或;
故答案为:或;
(3)联立直线DF与抛物线的解析式:
,整理得:,
解得,,∴G点坐标为(-3,-12a),
同理,联立直线AF与抛物线的解析式:
,整理得:,
解得,,∴K点坐标为(6,-21a),
∴直线GK的,
直线HE的,
即直线GK的k值与直线HE的k值相同,
∴GK与HE平行.
故答案为:与有怎样的位置关系是平行.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像及性质,二次函数与一次函数的交点坐标的求法,一次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点,熟练掌握二次函数的性质,学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键.
17.(2020·江苏常州·中考真题)如图,二次函数的图像与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点,且顶点为D,连接、、、.
(1)填空:________;
(2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线交直线于点Q.若,求点P的坐标;
(3)点E在直线上,点E关于直线对称的点为F,点F关于直线对称的点为G,连接.当点F在x轴上时,直接写出的长.
【答案】(1)-4;(2)(3,0)或(,);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)分点Q在CD上方和点Q在CD下方时,两种情况,结合三角函数,勾股定理等知识求解;
(3)设点C关于BD的对称点为C′,BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N′,设C′(p,q),利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等,求出点C′的坐标,从而得到C′N′直线的解析式,从而求出点F坐标,再利用点F和点G关于直线BC对称,结合BC的表达式可求出点G坐标,最后得到AG的长.
【详解】
解:(1)∵抛物线过点C(1,0),
∴将C(1,0)代入得0=1+b+3,
解得b=-4,
故答案为:-4;
(2)由(1)可得抛物线解析式为:,
当x=0时,y=3,
∴A的坐标为(0,3),
当y=3时得,
解得x1=0,x2=4,
∴点B的坐标为(4,3),
∵,
∴顶点D的坐标为(2,-1),
设BD与x轴的交点为M,作CH⊥AB于H,DG⊥CM于G,
∴tan∠ACH= tan∠OAC=,
根据勾股定理可得BC=,CD=,BD=,
∴BD=,
∴∠BCD=90°,
∴tan∠CBD=,
∴∠ACH=∠CBM,
∵∠HCB=∠BCM=45°,
∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB,
即∠ACB=∠CMD,
Q在CD上方时:若,则Q与M点重合,
∵中,令y=0,解得:x=1或3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
即此时P的坐标为(3,0);
Q在CD下方时:过点Q作QK⊥x轴,过点C作CL⊥QM于点L,过点A作AN⊥BC于点N,
可得:AB=4,BC=,AC=,设CN=x,则BN=-x,
在△ABC中,,
即,解得:x=,
∴cos∠ACN==,
设直线BD的表达式为:y=mx+n,将B,D代入得:
,解得:,
∴直线BD的表达式为y=2m-5,
令y=0,则x=,即点M(,0),
设点Q坐标为(a,2a-5),
则QK=5-2a,CM=,QM=,
∵∠ACB=∠CMD,∠ACB=∠CQD,
∴∠CMD=∠CQD,即CQ=CM=,
∴cos∠CQD=cos∠ACB=,
∴QL=,QM=,CL=,
在△CQM中,,
即,解得:KQ=,
∴CK=,
∴Q(,),
设直线CQ表达式为:y=sx+t,将点C和点Q代入,
,解得:,
则CQ表达式为:,联立:
,解得,
即点P坐标为(,),
综上:点P的坐标为(3,0)或(,);
(3)设点C关于BD的对称点为C′,BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N′,
∴R(3,1),设C′(p,q),
由题意可求得:直线AC表达式为:y=-3x+3,
直线BD表达式为:y=2x-5,
直线BC的表达式为:y=x-1,
令-3x+3=2x-5,解得:x=,则y=,
∴点N′(,),
∵点C和C′关于直线BD对称,
∴CR=C′R=BD=,CN′=C′N′=,
则有,,
即,
①-②得:③,代入①,
解得:或0(舍),代入③中,得:,
解得:,即点C′(,),
∵N′(,),
求得直线C′N′的表达式为:,
∵点F在x轴上,令y=0,则x=7,
∴点F(7,0),
又∵点F和点G关于直线BC对称,BC:y=x-1,连接CG,
可得∠BCF=45°=∠BCG,
∴∠FCG=90°,
∴CG=CF=6,
∴点G的坐标为(1,6),又A(0,3),
∴AG的长为.
【点睛】
本题是二次函数综合题,考查了二次函数解析式,一次函数,三角函数,面积法,对称的性质,知识点较多,难度较大,解题时要注意分类讨论,画图相应图形,利用数形结合思想解答.
18.(2020·江苏盐城·中考真题)若二次函数的图像与轴有两个交点,且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点(异于点).满足是等腰直角三角形,记的面积为的面积为,且.
(1)抛物线的开口方向 (填“上”或“下”);
(2)求直线相应的函数表达式;
(3)求该二次函数的表达式.
【答案】(1)上;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上;
(2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论,只能是,此时,由此算出C点坐标,进而求解;
(3)过B点作BH⊥x轴,由得到,由OA的长求出BH的长,再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标,最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.
【详解】
解:(1)∵抛物线经过点M、N、A,且M、N点在x轴正半轴上,A点在y轴正半轴上,
∴抛物线开口向上,
故答案为:上.
(2)①若,
则与重合,直线与二次函数图像交于点
∵直线与该函数的图像交于点(异于点)
∴不合符题意,舍去;
②若,则在轴下方,
∵点在轴上,
∴不合符题意,舍去;
③若
则
设直线
将代入:
,解得
直线.
故答案为:.
(3)过点作轴,垂足为,
,,
又,
,
又,
,
即点纵坐标为,
又(2)中直线l经过B点,
将代入中,得,
,
将三点坐标代入中,得
,
解得,
抛物线解析式为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数和一次函数的交点坐标,等腰直角三角形分类讨论的思想,熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键.
19.(2020·江苏淮安·中考真题)如图①,二次函数的图象与直线交于、两点.点是轴上的一个动点,过点作轴的垂线交直线于点,交该二次函数的图象于点,设点的横坐标为.
(1) , ;
(2)若点在点的上方,且,求的值;
(3)将直线向上平移4个单位长度,分别与轴、轴交于点、(如图②).
①记的面积为,的面积为,是否存在,使得点在直线的上方,且满足?若存在,求出及相应的、的值;若不存在,请说明理由.
②当时,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接、、,若,直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标.
【答案】(1)1,﹣2;(2)m=0或2;(3)①存在,且,,;②或.
【解析】
【分析】
(1)把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b,于是可得抛物线的解析式,再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n;
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,由点P(m,0),则点M、N的坐标可得,于是MN的长可用含m的代数式表示,由MN=3可得关于m的方程,解方程即可求出m的值;
(3)①易求出平移后直线CD的解析式,进而可得点C坐标,然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式,设直线MN交AC于点F,过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E,如图2,然后即可用含m的代数式表示出和,由可得关于m的方程,解方程即可求出m,进一步即可求出结果;
②当旋转后点F在点C左侧时,过点B作BQ⊥x轴于点Q,过点M作GH∥x轴,作AG⊥GH于点G,作FH⊥GH于点H,交x轴于点K,如图3,根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形,进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2,由条件,根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK,然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长,于是可得点F的坐标,进而可求出直线OF的解析式,进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标;当旋转后点F在点C右侧时,易得满足的点F不存在,从而可得答案.
【详解】
解:(1)把代入抛物线,得,解得:b=1,
∴抛物线的解析式是:,
∵点在抛物线上,
∴,
故答案为:1,﹣2;
(2)设直线的解析式是,把点、两点代入,得:
,解得:,
∴直线的解析式是,
如图1,∵点P(m,0),∴点M(m,﹣m+1)、N(m,),
当点在点的上方时,则 ,
当时,,解得:m=0或2;
(3)①直线向上平移4个单位长度后的解析式为,
∴点C、D的坐标分别是(5,0)、(0,5),
则由、C(5,0)可得直线AC的解析式为,
由N(m,)、C(5,0)可得直线NC的解析式为,
设直线MN交AC于点F,过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E,如图2,
当x=3时,,∴点E(3,),
∴,,
∴,
,
∵,
∴,解得:,
由于当时,,
此时点N在直线AC的下方,故舍去;
当时,,;
∴存在,使,且此时,;
②当旋转后点F在点C左侧时,过点B作BQ⊥x轴于点Q,过点M作GH∥x轴,作AG⊥GH于点G,作FH⊥GH于点H,交x轴于点K,如图3,
∵直线AB的解析式为,
∴∠AMG=45°,
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段,
∴∠AMF=90°,MA=MF,
∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形,
∴AG=GM=MH=FH=m+1,
∵M(m,﹣m+1),
∴KH=PM=m-1,
∴FK=(m+1)-(m-1)=2,
∵,∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF,
∴45°+∠QBF+∠AOD-∠BFC=45°,
∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK,
∵FK∥BQ,∴∠QBF =∠BFK,
∴∠AOD=∠CFK,
∴,
∴,OK=4,
∴点F的坐标是(4,2),
∴直线OF的解析式是,
解方程:,得;
当旋转后点F在点C右侧时,满足的点F不存在;
综上,直线与该二次函数图象交点的横坐标为或.
【点睛】
本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识,综合性强、难度较大,属于中考压轴题,熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
20.(2020·江苏扬州·中考真题)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且,OC平分,与BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F.
(1)求证:;
(2)如图2,若,求的值;
(3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求的值.
【答案】(1)见详解;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA,然后根据OA=OD,OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA,∠COD=∠COB,可得∠COD=∠ODA,即可证明;
(2)先证明△BOG≌△DOG,得出∠ADB=∠OGB=90°,然后证明△AFO∽△AED,得出∠AOD=∠ADB=90°,,根据勾股定理得出AD=2,即可求出答案;
(3)先设AD=2x,OG=x,则CG=2-x,BG==,BC===CD,然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4,令=t≥0,即x=2-t2,可得四边形ABCD的周长=-2(t-1)2+10,得出x=2-t2=1,即AD=2,然后证明△ADF≌△COF,得出DF=OF=OD=1,根据△ADO是等边三角形,得出∠DAE=30°,可得,求出DE=,即可得出答案.
【详解】
(1)由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ODA,
∵OC平分∠BOD,
∴∠COD=∠COB,
∴∠COD=∠ODA,
∴OC∥AD;
(2)∵OC平分,
∴∠COD=∠COB,
在△BOG与△DOG中,
∴△BOG≌△DOG,
∴∠BGO=∠DGO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠ADB=∠OGB=90°,∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,
∵DE=DF,
∴∠DFE=∠DEF,
∵∠DFE=∠AFO,
∴∠AFO=∠DEF,
∴△AFO∽△AED,
∴∠AOD=∠ADB=90°,,
∵OA=OD=2,
∴根据勾股定理可得AD=2,
∴=;
(3)∵OA=OB,OC∥AD,
∴根据三角形中位线可设AD=2x,OG=x,则CG=2-x,BG==,
∴BC===CD,
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC
=4+2x+2
=4+2x+4
令=t≥0,即x=2-t2,
∴四边形ABCD的周长=4+2x+4
=4+2(2-t2)+4t
=-2t2+4t+8
=-2(t-1)2+10,
当t=1时,四边形ABCD的周长取得最大值,最大值为10,
此时x=2-t2=1,
∴AD=2,
∵OC∥AD,
∴∠ADF=∠COF,∠DAF=∠OCF,
∵AD=OC=2,
∴△ADF≌△COF
∴DF=OF=OD=1,
∵AD=OC=OA=OD,
∴△ADO是等边三角形,
由(2)可知∠DAF=∠OAF,∠ADE=90°,
∴在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴,
∴DE=,
∴=.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,平行线的判定与性质,等腰三角形的性质,二次函数的性质,涉及的知识点比较复杂,综合性较强,灵活运用这些知识点是解题关键.
21.(2020·江苏扬州·中考真题)如图,已知点、,点P为线段AB上的一个动点,反比例函数的图像经过点P.小明说:“点P从点A运动至点B的过程中,k值逐渐增大,当点P在点A位置时k值最小,在点B位置时k值最大.”
(1)当时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k的最小值和最大值.
(2)若小明的说法完全正确,求n的取值范围.
【答案】(1)①;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当时,有最大值;当时,有最小值;(2);
【解析】
【分析】
(1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式;
②由①得直线AB为,则,利用二次函数的性质,即可求出答案;
(2)根据题意,求出直线AB的直线为,设点P为(x,),则得到,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴,即可求出n的取值范围.
【详解】
解:(1)当时,点B为(5,1),
①设直线AB为,则
,解得:,
∴;
②不完全同意小明的说法;理由如下:
由①得,
设点P为(x,),由点P在线段AB上则
,
∴;
∵,
∴当时,有最大值;
当时,有最小值;
∴点P从点A运动至点B的过程中,k值先增大后减小,当点P在点A位置时k值最小,在的位置时k值最大.
(2)∵、,
设直线AB为,则
,解得:,
∴,
设点P为(x,),由点P在线段AB上则
,
当,即n=2时,,则k随x的增大而增大,如何题意;
当n≠2时,则对称轴为:;
∵点P从点A运动至点B的过程中,k值逐渐增大,当点P在点A位置时k值最小,在点B位置时k值最大.
即k在中,k随x的增大而增大;
当时,有
∴,解得:,
∴不等式组的解集为:;
当时,有
∴,解得:,
∴综合上述,n的取值范围为:.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.
22.(2020·江苏泰州·中考真题)如图,二次函数、的图像分别为、,交轴于点,点在上,且位于轴右侧,直线与在轴左侧的交点为.
(1)若点的坐标为,的顶点坐标为,求的值;
(2)设直线与轴所夹的角为.
①当,且为的顶点时,求的值;
②若,试说明:当、、各自取不同的值时,的值不变;
(3)若,试判断点是否为的顶点?请说明理由.
【答案】(1);(2)①;②见解析;(3)点A是C1的顶点,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)将的顶点坐标为和点P的坐标代入中即可解答;
(2)①如图所示,过点A作AM⊥y轴于点M,得到△MAP为等腰直角三角形,从而确定P(0,n-m),代入化简即可;
②将x=0代入,得到,再求出A,B的坐标,表达出PA,PB即可解答;
(3)如图所示,过点P作CD∥x轴,过点B作BD⊥CD于点D,过点A作AC⊥CD于点C,得到△BDP∽△ACP,设,根据PA=2PB,得到CP=2PD=-2x,AC=2BD=,确定点A的坐标,代入,解出x,进而得到即可.
【详解】
解:(1)∵的顶点坐标为,
∴,
将点P(0,2)代入得:,
解得:;
(2)①由题意可知,,
如图所示,过点A作AM⊥y轴于点M,则M(0,n),MA=m,
∵直线与轴所夹的角为,
∴△MAP为等腰直角三角形,
∴MA=MP=m,
∴OP=n-m,
∴P(0,n-m),代入得:,
解得:;
②如图所示,当时,
将x=0代入,得,
∴,
当时,,
解得:,
∴,
∴AP=2m,
当时,即,
解得:,
∵点B在y轴左侧,
∴,
∴PB=,
∴,不变.
(3)如图所示,过点P作CD∥x轴,过点B作BD⊥CD于点D,过点A作AC⊥CD于点C,
则BD∥AC,
∴△BDP∽△ACP,
设,则PD=-x,BD=,
∵PA=2PB,
∴CP=2PD=-2x,AC=2BD=,
∴,
代入得:,
化简得:,解得:,(舍去),
∴,则点A是C1的顶点.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何综合问题,涉及了二次函数的图象和性质,相似三角形的判定和性质,难度较大,计算量较多,解题的关键是综合运用二次函数和几何知识进行推理.
23.(2020·江苏连云港·中考真题)在平面直角坐标系中,把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线的顶点为,交轴于点、(点在点左侧),交轴于点.抛物线与是“共根抛物线”,其顶点为.
(1)若抛物线经过点,求对应的函数表达式;
(2)当的值最大时,求点的坐标;
(3)设点是抛物线上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若与相似,求其“共根抛物线”的顶点的坐标.
【答案】(1);(2)点;(3)或或或
【解析】
【分析】
(1)由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点,故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为,将点代入,即可求出解;
(2)由抛物线对称性可知PA=PB,∴,根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时,的值最大,而P点在对称轴为上,由此求出点P坐标;
(3)根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形,与相似,分两种情况讨论:当、时,分别利用对应边成比例求解即可.
【详解】
解:(1)当时,,解得,.
∴、、.
由题意得,设对应的函数表达式为,
又∵经过点,
∴,
∴.
∴对应的函数表达式为.
(2)∵、与轴交点均为、,
∴、的对称轴都是直线.
∴点在直线上.
∴.
如图1,当、、三点共线时,的值最大,
此时点为直线与直线的交点.
由、可求得,直线对应的函数表达式为.
∴点.
(3)由题意可得,,,,
因为在中,,故.
由,得顶点.
因为的顶点P在直线上,点Q在上,
∴不可能是直角.
第一种情况:当时,
①如图2,当时,则得.
设,则,
∴.
由得,解得.
∵时,点Q与点P重合,不符合题意,
∴舍去,此时.
②如图3,当时,则得.
设,则.
∴.
由得,解得(舍),此时.
第二种情况:当时,
①如图4,当时,则得.
过Q作交对称轴于点M,∴.
∴.由图2可知,
∴.
∴,又,代入得.
∵点,
∴点.
②如图5,当时,则.
过Q作交对称轴于点M,
∴,则.
由图3可知,,
∴,,
∴.
又,代入得.
∵点,
∴点,
综上所述,或或或.
【点睛】
本题是二次函数的综合题,关键是根据待定系数法求解析式,二次函数图象上点的坐标特征,以及相似三角形的性质解答.
24.(2020·江苏无锡·中考真题)在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线交二次函数的图像于点,,点在该二次函数的图像上,设过点(其中)且平行于轴的直线交直线于点,交直线于点,以线段、为邻边作矩形.
(1)若点的横坐标为8.
①用含的代数式表示的坐标;
②点能否落在该二次函数的图像上?若能,求出的值;若不能,请说明理由;
(2)当时,若点恰好落在该二次函数的图像上,请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式.
【答案】(1)①;②能,;(2)或.
【解析】
【分析】
(1)①求出点的坐标,直线直线的解析式即可解决问题.
②求出直线的解析式,求出点的坐标,利用矩形的性质求出点的坐标,再利用待定系数法求出的值即可.
(2)分两种情形:①当点在轴的右侧时,设,求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可.②当点在轴的左侧时,即为①中点的位置,利用①中结论即可解决问题.
【详解】
解:(1)①点在的图象上,横坐标为8,
,
直线的解析式为,
点的纵坐标为,
,;
②假设能在抛物线上,
,
直线的解析式为,
点在直线上,纵坐标为,
,
的中点的坐标为,,
,,把点坐标代入抛物线的解析式得到.
(2)①当点在轴右侧时,设,所以直线解析式为,
∴,
,
直线的解析式为,可得,,
,,代入抛物线的解析式得到,,
解得,
直线的解析式为.
②当点在轴左侧时,即为①中点位置,
∴直线的解析式为;
综上所述,直线的解析式为或.
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法,矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
2020-2022年浙江中考数学3年真题汇编 专题08 二次函数压轴题型汇总(学生卷+教师卷): 这是一份2020-2022年浙江中考数学3年真题汇编 专题08 二次函数压轴题型汇总(学生卷+教师卷),文件包含专题08二次函数压轴题型汇总-三年2020-2022中考数学真题分项汇编浙江专用解析版docx、专题08二次函数压轴题型汇总-三年2020-2022中考数学真题分项汇编浙江专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共41页, 欢迎下载使用。
2020-2022年山东中考数学3年真题汇编 专题19 与圆有关的压轴题(学生卷+教师卷): 这是一份2020-2022年山东中考数学3年真题汇编 专题19 与圆有关的压轴题(学生卷+教师卷),文件包含专题19与圆有关的压轴题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编山东专用解析版docx、专题19与圆有关的压轴题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编山东专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。
2020-2022年山东中考数学3年真题汇编 专题11 二次函数压轴题型汇总(学生卷+教师卷): 这是一份2020-2022年山东中考数学3年真题汇编 专题11 二次函数压轴题型汇总(学生卷+教师卷),文件包含专题11二次函数压轴题型汇总2020-2022中考数学真题分项汇编山东专用解析版docx、专题11二次函数压轴题型汇总2020-2022中考数学真题分项汇编山东专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共92页, 欢迎下载使用。