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    2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题12 二次函数解答压轴题(学生卷+教师卷)
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      专题12 二次函数解答压轴题-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(江苏专用)(原卷版).docx
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      专题12 二次函数解答压轴题-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(江苏专用)(解析版).docx
    2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题12 二次函数解答压轴题(学生卷+教师卷)01
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    2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题12 二次函数解答压轴题(学生卷+教师卷)

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    这是一份2020-2022年江苏中考数学3年真题汇编 专题12 二次函数解答压轴题(学生卷+教师卷),文件包含专题12二次函数解答压轴题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编江苏专用解析版docx、专题12二次函数解答压轴题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编江苏专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共91页, 欢迎下载使用。

    专题12 二次函数解答压轴题
    1.(2022·江苏无锡·中考真题)已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),图像与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧),且.


    (1)求该二次函数的表达式;
    (2)若点C与点B重合,求tan∠CDA的值;
    (3)点C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)1
    (3),,
    【解析】
    【分析】
    (1)二次函数与y轴交于点,判断,根据,即二次函数对称轴为,求出b的值,即可得到二次函数的表达式;
    (2)证明,得到,即,设,点D在第一象限,根据点的坐标写出长度,利用求出t的值,即可,的值,进一步得出tan∠CDA的值;
    (3)根据题目要求,找出符合条件的点C的位置,在利用集合图形的性质,求出对应点C的坐标即可。
    (1)
    解:∵二次函数与y轴交于点,
    ∴,即,
    ∵,即二次函数对称轴为,
    ∴,
    ∴,
    ∴二次函数的表达式为.
    (2)
    解:如图,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD,


    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    ∵,,
    ∴,,
    设:,点D在第一象限,
    ∴,,,
    ∴,
    解得:(舍),(舍),
    当时,,
    ∴,,
    ∴,

    ∵在中,

    (3)
    解:存在,
    如图,(2)图中关于对称轴对称时,,


    ∵点D的坐标为,
    ∴此时,点C的坐标为,
    如图,当点C、D关于对称轴对称时,此时AC与AD长度相等,即,
    当点C在x轴上方时,


    过点C作CE垂直于x轴,垂足为E,
    ∵,点C、D关于对称轴对称,
    ∴,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    设点C的坐标为,
    ∴,,

    解得:,(舍),
    此时,点C的坐标为,
    当点C在x轴下方时,


    过点C作CF垂直于x轴,垂足为F,
    ∵,点C、D关于对称轴对称,
    ∴,
    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    设点C的坐标为,
    ∴,,

    解得:(舍),,
    此时,点C的坐标为,
    综上:点C的坐标为,,.
    【点睛】
    本题考查二次函数的综合问题,运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.
    2.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,二次函数与轴交于 (0,0), (4,0)两点,顶点为,连接、,若点是线段上一动点,连接,将沿折叠后,点落在点的位置,线段与轴交于点,且点与、点不重合.


    (1)求二次函数的表达式;
    (2)①求证:;
    ②求;
    (3)当时,求直线与二次函数的交点横坐标.
    【答案】(1)
    (2)①证明见解析,②
    (3)或.
    【解析】
    【分析】
    (1)二次函数与轴交于 (0,0),A(4,0)两点,代入求得b,c的值,即可得到二次函数的表达式;
    (2)①由=,得到顶点C的坐标是(2,﹣2),抛物线和对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性可知OC=AC,得到∠CAB=∠COD,由折叠的性质得到△ABC≌△BC,得∠CAB=∠,AB=B,进一步得到∠COD=∠,由对顶角相等得∠ODC=∠BD,证得结论;
    ②由,得到,设点D的坐标为(d,0),由两点间距离公式得DC=,在0<d<4的范围内,当d=2时,DC有最小值为,得到的最小值,进一步得到的最小值;
    (3)由和得到 ,求得B=AB=1,进一步得到点B的坐标是(3,0),设直线BC的解析式为y=x+,把点B(3,0),C(2,﹣2)代人求出直线BC的解析式为y=2x-6,设点的坐标是(p,q),则线段A的中点为(,),由折叠的性质知点(,)在直线BC上,求得q=2p-4,由两点间距离公式得B=,解得p=2或p=,求得点的坐标,设直线的解析式为y=x+,由待定系数法求得直线的解析式为y=x+4,联立直线和抛物线,解方程组即可得到答案.
    (1)
    解:∵二次函数与轴交于 (0,0), (4,0)两点,
    ∴代入 (0,0), (4,0)得,,
    解得:,
    ∴二次函数的表达式为;
    (2)
    ①证明:∵ =,
    ∴顶点C的坐标是(2,﹣2),抛物线的对称轴为直线x=2,
    ∵二次函数与轴交于(0,0),(4,0)两点,
    ∴由抛物线的对称性可知OC=AC,
    ∴∠CAB=∠COD,
    ∵沿折叠后,点落在点的位置,线段与轴交于点,
    ∴ △ABC≌△BC,
    ∴∠CAB=∠,AB=B,
    ∴∠COD=∠,
    ∵∠ODC=∠BD,
    ∴;
    ②∵,
    ∴,
    设点D的坐标为(d,0),
    由两点间距离公式得DC=,
    ∵点与、点不重合,
    ∴0<d<4,
    对于 =来说,
    ∵ a=1>0,
    ∴抛物线开口向上,在顶点处取最小值,当d=2时,的最小值是4,
    ∴当d=2时,DC有最小值为,
    由两点间距离公式得OC=,
    ∴有最小值为,
    ∴的最小值为;
    (3)
    解:∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴ ,
    ∵OC=2,
    ∴B=AB=1,
    ∴点B的坐标是(3,0),
    设直线BC的解析式为y=x+,
    把点B(3,0),C(2,﹣2)代人得,
    解得,
    ∴直线BC的解析式为y=2x-6,
    设点的坐标是(p,q),
    ∴线段A的中点为(,),
    由折叠的性质知点(,)在直线BC上,
    ∴=2×-6,
    解得q=2p-4,
    由两点间距离公式得B=,
    整理得=1,
    解得p=2或p=,
    当p=2时,q=2p-4=0,此时点(2,0),很显然不符合题意,
    当p=时,q=2p-4=,此时点(,),符合题意,
    设直线的解析式为y=x+,
    把点B(3,0),(,)代人得,,
    解得,
    ∴直线的解析式为y=x+4,
    联立直线和抛物线得到,,
    解得,,
    ∴直线与二次函数的交点横坐标为或.
    【点睛】
    此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识,难度较大,属于中考压轴题,数形结合是解决此问题的关键.
    3.(2021·江苏淮安·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(5,0),顶点为点D,动点M、Q在x轴上(点M在点Q的左侧),在x轴下方作矩形MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动,运动开始时,点M的坐标为(﹣6,0),当点M与点B重合时停止运动,设运动的时间为t秒(t>0).
    (1)b=  ,c=  .
    (2)连接BD,求直线BD的函数表达式.
    (3)在矩形MNPQ运动的过程中,MN所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所在直线与直线BD交于点H,是否存在某一时刻,使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
    (4)连接PD,过点P作PD的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长.

    【答案】(1),;(2)y=x﹣5;(3)存在,t=5或t=5+;(4)
    【解析】
    【分析】
    (1)把代入,列方程组求出b,c的值;
    (2)将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式,求出顶点D的坐标,再用待定系数法求直线BD的函数表达式;
    (3)先由,且,确定t的取值范围,再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标,由列方程求出t的值;
    (4)过点P作直线的垂线,垂足为点F,交y轴于点G,由,确定点R的最低点和最高点的坐标,再求出点R运动的路径长.
    【详解】
    解:(1)把代入,
    得,解得,
    故答案为:,.
    (2)∵,
    ∴该抛物线的顶点坐标为;
    设直线BD的函数表达式为,
    则,解得,
    ∴.
    (3)存在,如图1、图2.
    由题意得,,
    ∴,;
    ∵,且,
    ∴,解得<t<,且;
    ∵,
    ∴当时,以为顶点的四边形是平行四边形,
    ∴;
    由,
    解得,(不符合题意,舍去);
    由,
    解得,(不符合题意,舍去),
    综上所述,或.

    (4)由(2)得,抛物线的对称轴为直线,
    过点P作直线的垂线,垂足为点F,交y轴于点G,
    如图3,点Q在y轴左侧,此时点R在点G的上方,
    当点M的坐标为(﹣6,0)时,点R的位置最高,
    此时点Q与点A重合,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴==6,
    ∴R(0,4);

    如图4,为原图象的局部入大图,
    当点Q在y轴右侧且在直线左侧,此时点R的最低位置在点G下方,
    由,
    得,,
    ∴GR=;
    设点Q的坐标为(r,0)(0<r<1),则P(r,﹣2),
    ∴GR==r2+r=,
    ∴当r=时,GR的最小值为,
    ∴R(0,);

    如图5,为原图象的缩小图,
    当点Q在直线右侧,则点R在点G的上方,
    当点M与点B重合时,点R的位置最高,
    由,
    得,,
    ∴GR===28,
    ∴R(0,26),
    ∴,
    ∴点R运动路径的长为.

    【点睛】
    本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法,还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用,综合性强、难度大,属于考试压轴题.
    4.(2021·江苏南通·中考真题)定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如,点是函数的图象的“等值点”.
    (1)分别判断函数的图象上是否存在“等值点”?如果存在,求出“等值点”的坐标;如果不存在,说明理由;
    (2)设函数的图象的“等值点”分别为点A,B,过点B作轴,垂足为C.当的面积为3时,求b的值;
    (3)若函数的图象记为,将其沿直线翻折后的图象记为.当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时,直接写出m的取值范围.
    【答案】(1)函数y=x+2没有“等值点”; 函数的“等值点”为(0,0),(2,2);(2)或;(3)或..
    【解析】
    【分析】
    (1)根据定义分别求解即可求得答案;
    (2)根据定义分别求A(,),B(,),利用三角形面积公式列出方程求解即可;
    (3)由记函数y=x2-2(x≥m)的图象为W1,将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2,可得W1与W2的图象关于x=m对称,然后根据定义分类讨论即可求得答案.
    【详解】
    解:(1)∵函数y=x+2,令y=x,则x+2=x,无解,
    ∴函数y=x+2没有“等值点”;
    ∵函数,令y=x,则,即,
    解得:,
    ∴函数的“等值点”为(0,0),(2,2);
    (2)∵函数,令y=x,则,
    解得:(负值已舍),
    ∴函数的“等值点”为A(,);
    ∵函数,令y=x,则,
    解得:,
    ∴函数的“等值点”为B(,);
    的面积为,
    即,
    解得:或;

    (3)将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2.
    ∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称,
    ∴函数W的解析式为,
    令y=x,则,即,
    解得:,
    ∴函数的“等值点”为(-1,-1),(2,2);
    令y=x,则,即,
    当时,函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况;
    当时,观察图象,恰有2个“等值点”;

    当时,
    ∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1,-1),(2,2),
    ∴函数W2没有“等值点”,
    ∴,
    整理得:,
    解得:.
    综上,m的取值范围为或.
    【点睛】
    本题属于二次函数的综合题,考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性.解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
    5.(2021·江苏徐州·中考真题)如图,点在函数的图像上.已知的横坐标分别为-2、4,直线与轴交于点,连接.
    (1)求直线的函数表达式;
    (2)求的面积;
    (3)若函数的图像上存在点,使得的面积等于的面积的一半,则这样的点共有___________个.

    【答案】(1)直线AB的解析式为:;(2)6;(3)4
    【解析】
    【分析】
    (1)将的横坐标分别代入求出生意人y的值,得到A,B点坐标,再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可;
    (2)求出OC的长,根据“”求解即可;
    (3)分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可.
    【详解】
    解:(1)∵A,B是抛物线上的两点,
    ∴当时,;当时,
    ∴点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(4,4)
    设直线AB的解析式为,
    把A,B点坐标代入得
    解得,
    所以,直线AB的解析式为:;
    (2)对于直线AB:
    当时,

    ∴==6
    (3)设点P的坐标为(,)
    ∵的面积等于的面积的一半,
    ∴的面积等于=3,
    ①当点P在直线AB的下方时,过点A作AD⊥x轴,过点P作PF⊥x轴,过点B作BE⊥x轴,垂足分别为D,F,E,连接PA,PB,如图,



    整理,得,
    解得,,
    ∴在直线AB的下方有两个点P,使得的面积等于的面积的一半;
    ②当点P在直线AB的上方时,过点A作AD⊥x轴,过点P作PF⊥x轴,过点B作BE⊥x轴,垂足分别为D,F,E,连接PA,PB,如图,



    整理,得,
    解得,,
    ∴在直线AB的上方有两个点P,使得的面积等于的面积的一半;
    综上,函数的图像上存在点,使得的面积等于的面积的一半,则这样的点共有4个,
    故答案为:4.
    【点睛】
    此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式,二次函数与图形面积,注意在解决(3)问时要注意分类讨论.
    6.(2021·江苏常州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,正比例函数和二次函数的图像都经过点和点B,过点A作的垂线交x轴于点C.D是线段上一点(点D与点A、O、B不重合),E是射线上一点,且,连接,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以、为邻边作.


    (1)填空:________,________;
    (2)设点D的横坐标是,连接.若,求t的值;
    (3)过点F作的垂线交线段于点P.若,求的长.
    【答案】(1),1;(2);(3)
    【解析】
    【分析】
    (1)把分别代入一次函数解析式和二次函数解析式,即可求解;
    (2)先证明EF=ED,结合D(t, ),F(t, ),可得点E的纵坐标为:,过点A作AM⊥EG,延长GE交x轴于点N,由,从而得,进而即可求解;
    (3)先推出,由FP∥AC,得,结合,可得DA==,结合DA+OD=5,列出方程,即可求解.
    【详解】
    解:(1)把代入得:,解得:,
    把代入得:,解得:b=1,
    故答案是:,1;
    (2)∵在中,,
    ∵,
    ∴=,
    ∴EF=ED,
    ∵设点D的横坐标是,则D(t, ),F(t, ),
    ∴点E的纵坐标为:()÷2=,
    联立,解得:或,
    ∴A(4,3),
    ∴ 过点A作AM⊥EG,延长GE交x轴于点N,则∠AEM=∠NEC=∠AOC,
    ∴,
    又∵=,
    ∴,解得:(舍去)或,
    ∴;


    (3)当时,则,
    ∵⊥FP,AB⊥AC,
    ∴FP∥AC,
    ∴,
    ∵∠FDQ=∠ODH,
    ∴,
    又∵DF=-=,
    ∴DQ=,
    ∴DA==,
    ∵DA+OD=5,
    ∴+=5,解得:或(舍去),
    ∴OD==.


    【点睛】
    本题主要考查二次函数与平面几何的综合,根据题意画出图形,添加合适的辅助线,熟练掌握锐角三角函数的定义,平行四边形的性质,是解题的关键.
    7.(2021·江苏无锡·中考真题)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数的图象过B、C两点,且与x轴交于另一点A,点M为线段上的一个动点,过点M作直线l平行于y轴交于点F,交二次函数的图象于点E.

    (1)求二次函数的表达式;
    (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时,求线段的长度;
    (3)已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线对称,求点N的坐标.
    【答案】(1);(2)或;(3)N(0,)
    【解析】
    【分析】
    (1)先求出B(3,0),C(0,3),再利用待定系数法即可求解;
    (2)先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°,可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时,或,设F(m,-m+3),则E(m,),根据比例式列出方程,即可求解;
    (3)先推出四边形NCFE是平行四边形,再推出FE=FC,列出关于m的方程,求出m的值,从而得CN=EF=,进而即可得到答案.
    【详解】
    解:(1)∵直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,
    ∴B(3,0),C(0,3),
    ∵二次函数的图象过B、C两点,
    ∴,解得:,
    ∴二次函数解析式为:;
    (2)∵B(3,0),C(0,3),l∥y轴,

    ∴OB=OC,
    ∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°,
    ∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时,或,
    设F(m,-m+3),则E(m,),
    ∴EF=-(-m+3)= ,CF=,
    ∴或,
    ∴或(舍去)或或(舍去),
    ∴EF==或;
    (3)∵l∥y轴,点N是y轴上的点,
    ∴∠EFC=∠NCG,
    ∵点N、F关于直线对称,
    ∴∠CNE=∠EFC,
    ∴∠CNE=∠NCG,
    ∴NE∥FC,
    ∴四边形NCFE是平行四边形,
    ∵点N、F关于直线对称,
    ∴∠NCE=∠FCE,
    ∵l∥y轴,
    ∴∠NCE=∠FEC,
    ∴∠FCE=∠FEC,
    ∴FE=FC,
    ∴=,解得:或(舍去),
    ∴CN=EF=,
    ∴ON=+3=,
    ∴N(0,).

    【点睛】
    本题主要考查二次函数与几何的综合,相似三角形的判定,掌握函数图像上点的坐标特征,用点的横坐标表示出相关线段的长,是解题的关键.
    8.(2021·江苏盐城·中考真题)学习了图形的旋转之后,小明知道,将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度,能得到一个新的点.经过进一步探究,小明发现,当上述点在某函数图像上运动时,点也随之运动,并且点的运动轨迹能形成一个新的图形.
    试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题.   


    【初步感知】
    如图1,设,,点是一次函数图像上的动点,已知该一次函数的图像经过点.
    (1)点旋转后,得到的点的坐标为________;
    (2)若点的运动轨迹经过点,求原一次函数的表达式.
    【深入感悟】
    (3)如图2,设,,点反比例函数的图像上的动点,过点作二、四象限角平分线的垂线,垂足为,求的面积.
    【灵活运用】
    (4)如图3,设A,,点是二次函数图像上的动点,已知点、,试探究的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
    【答案】(1);(2);(3);(4)存在最小值,
    【解析】
    【分析】
    (1)根据旋转的定义得,观察点和在同一直线上即可直接得出结果.
    (2)根据题意得出的坐标,再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可.
    (3)先根据计算出交点坐标,再分类讨论①当时,先证明再计算面积.②当-时,证,再计算即可.
    (4)先证明为等边三角形,再证明,根据在中,,写出,从而得出的函数表达式,当直线与抛物线相切时取最小值,得出,由计算得出的面积最小值.
    【详解】
    (1)由题意可得:
    ∴的坐标为
    故答案为:;
    (2)∵,由题意得
    坐标为
    ∵,在原一次函数上,
    ∴设原一次函数解析式为


    ∴原一次函数表达式为;
    (3)设双曲线与二、四象限平分线交于点,则

    解得
    ①当时
    作轴于




    ∴在和中



    即;

    ②当-时
    作于轴于点







    在和中


    ∴;

    (4)连接,,将,绕逆时针旋转得,,作轴于
    ∵,


    ∴为等边三角形,此时与重合,即
    连接,∵

    ∴在和中


    ∴,
    ∴作轴于
    在中,

    ∴,即,此时的函数表达式为:
    设过且与平行 的直线解析式为

    ∴当直线与抛物线相切时取最小值



    当时,得

    设与轴交于点





    【点睛】
    本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题,函数的最小值的问题,灵活进行角的转换是关键.
    9.(2021·江苏南京·中考真题)已知二次函数的图像经过两点.
    (1)求b的值.
    (2)当时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________.
    (3)设是该函数的图像与x轴的一个公共点,当时,结合函数的图像,直接写出a的取值范围.
    【答案】(1);(2)1;(3)或.
    【解析】
    【分析】
    (1)将点代入求解即可得;
    (2)先求出二次函数的顶点的纵坐标,再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得;
    (3)分和两种情况,再画出函数图象,结合图象建立不等式组,解不等式组即可得.
    【详解】
    解:(1)将点代入得:,
    两式相减得:,
    解得;
    (2)由题意得:,
    由(1)得:,
    则此函数的顶点的纵坐标为,
    将点代入得:,
    解得,
    则,
    下面证明对于任意的两个正数,都有,

    (当且仅当时,等号成立),
    当时,,
    则(当且仅当,即时,等号成立),
    即,
    故当时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1;
    (3)由得:,
    则二次函数的解析式为,
    由题意,分以下两种情况:
    ①如图,当时,则当时,;当时,,

    即,
    解得;
    ②如图,当时,

    当时,,
    当时,,
    解得,
    综上,的取值范围为或.
    【点睛】
    本题考查了二次函数的图象与性质等知识点,较难的是题(3),熟练掌握函数图象法是解题关键.
    10.(2021·江苏宿迁·中考真题)如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(4,0),与轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)如图①,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA45°时,求点P的坐标;
    (3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.

    【答案】(1);(2)(6,-7);(3)PH=或1.5或
    【解析】
    【分析】
    (1)根据待定系数法解答即可;
    (2)求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°,继而可得∠ACO=∠CBA,在x轴上取点E(2,0),连接CE,易得△OCE是等腰直角三角形,可得∠OCE=45°,进一步可推出∠ACE=∠CAQ,可得CE∥PQ,然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式,再与抛物线的解析式联立方程组求解即可;
    (3)设直线AP交y轴于点G,如图,由题意可得若△PFH为等腰三角形,则△CFG也为等腰三角形,设G(0,m),求出直线AF和直线BC的解析式后,再解方程组求出点F的坐标,然后分三种情况求出m的值,再求出直线AP的解析式,进而可求出点P的坐标,于是问题可求解.
    【详解】
    解:(1)把A(-1,0),B(4,0)代入,得
    ,解得:,
    ∴抛物线的解析式是;
    (2)令x=0,则y=2,即C(0,2),
    ∵,,AB2=25,
    ∴,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°,
    ∴∠ACO=∠CBA,
    在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图,
    则CE=OE=2,
    ∴∠OCE=45°,
    ∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ,
    ∴CE∥PQ,
    ∵C(0,2),E(2,0),
    ∴直线CE的解析式为y=-x+2,
    设直线PQ的解析式为y=-x+n,把点A(-1,0)代入,可得n=-1,
    ∴直线PQ的解析式为y=-x-1,
    解方程组,得或,
    ∴点P的坐标是(6,-7);

    (3)设直线AP交y轴于点G,如图,
    ∵PH∥y轴,
    ∴∠PHC=∠OCB,∠FPH=∠CGF,
    ∴若△PFH为等腰三角形,则△CFG也为等腰三角形,
    ∵C(0,2),B(4,0),
    ∴直线BC的解析式为,
    设G(0,m),∵A(-1,0),
    ∴直线AF的解析式为y=mx+m,
    解方程组,得,
    ∴点F的坐标是,
    ∴,
    当CG=CF时,,解得:(舍去负值),
    此时直线AF的解析式为y=x+,
    解方程组,得或,
    ∴点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),
    ∴PH=;
    当FG=FC时,,解得m=或m=(舍)或m=2(舍),
    此时直线AF的解析式为y=x+,
    解方程组,得或,
    ∴点P的坐标是(3,2),此时点H的坐标是(3,),
    ∴PH=2-=1.5;
    当GF=GC时,,解得或m=2(舍去),
    此时直线AF的解析式为y=x+,
    解方程组,得或,
    ∴点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),
    ∴PH=;

    综上,PH=或1.5或.
    【点睛】
    本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识,具有相当的难度,熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
    11.(2021·江苏苏州·中考真题)如图,二次函数(是实数,且)的图像与轴交于、两点(点在点的左侧),其对称轴与轴交于点,已知点位于第一象限,且在对称轴上,,点在轴的正半轴上,.连接并延长交轴于点,连接.
    (1)求、、三点的坐标(用数字或含的式子表示);
    (2)已知点在抛物线的对称轴上,当的周长的最小值等于,求的值.

    【答案】(1),,;(2)
    【解析】
    【分析】
    (1)把代入函数解析式,可得,再利用因式分解法解方程可得的坐标,再求解函数的对称轴,可得的坐标;
    (2)先证明,利用相似三角形的性质求解,利用三角形的中位线定理再求解.再利用勾股定理求解,如图,当点、、三点共线时,的长最小,此时的周长最小.可得.再利用勾股定理列方程,解方程可得答案.
    【详解】
    解:(1)令 则,


    ∴,,
    ∴对称轴为直线,
    ∴.
    (2)在中,,





    ,.

    ∵轴,轴,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    在中,,
    ∴,即.(负根舍去)
    ∵点与点关于对称轴对称,
    ∴.
    ∴如图,当点、、三点共线时,的长最小,此时的周长最小.
    ∴的周长的最小值为,


    ∴的长最小值为,即.
    ∵,∴.
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    【点睛】
    本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程,图形与坐标,二次函数的对称性,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,灵活应用二次函数的性质是解题的关键.
    12.(2021·江苏扬州·中考真题)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
    甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
    乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.

    说明:①汽车数量为整数;
    ②月利润=月租车费-月维护费;
    ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
    在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
    (1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是_______元;当每个公司租出的汽车为_______辆时,两公司的月利润相等;
    (2)求两公司月利润差的最大值;
    (3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.
    【答案】(1)48000,37;(2)33150元;(3)
    【解析】
    【分析】
    (1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;
    (2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据二次函数的性质,结合x的范围求出最值,再比较即可;
    (3)根据题意得到利润差为,得到对称轴,再根据两公司租出的汽车均为17辆,结合x为整数可得关于a的不等式,即可求出a的范围.
    【详解】
    解:(1)=48000元,
    当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;
    设每个公司租出的汽车为x辆,
    由题意可得:,
    解得:x=37或x=-1(舍),
    ∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;
    (2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,
    则y甲=,
    y乙=,
    当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,
    y=y甲-y乙=
    =,
    当x==18时,利润差最大,且为18050元;
    当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,
    y=y乙-y甲=
    =,
    ∵对称轴为直线x==18,
    当x=50时,利润差最大,且为33150元;
    综上:两公司月利润差的最大值为33150元;
    (3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,
    则利润差为=,
    对称轴为直线x=,
    ∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
    ∴,
    解得:.
    【点睛】
    本题考查了二次函数的实际应用,二次函数的图像和性质,解题时要读懂题意,列出二次函数关系式,尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式.
    13.(2021·江苏扬州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴交于点.、,与y轴交于点C.

    (1)________,________;
    (2)若点D在该二次函数的图像上,且,求点D的坐标;
    (3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点,且,直接写出点P的坐标.
    【答案】(1)-2,-3;(2)(,6)或(,6);(3)(4,5)
    【解析】
    【分析】
    (1)利用待定系数法求解即可;
    (2)先求出△ABC的面积,设点D(m,),再根据,得到方程求出m值,即可求出点D的坐标;
    (3)分点P在点A左侧和点P在点A右侧,结合平行线之间的距离,分别求解.
    【详解】
    解:(1)∵点A和点B在二次函数图像上,
    则,解得:,
    故答案为:-2,-3;
    (2)连接BC,由题意可得:
    A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),,
    ∴S△ABC==6,
    ∵S△ABD=2S△ABC,设点D(m,),
    ∴,即,
    解得:x=或,代入,
    可得:y值都为6,
    ∴D(,6)或(,6);

    (3)设P(n,),
    ∵点P在抛物线位于x轴上方的部分,
    ∴n<-1或n>3,
    当点P在点A左侧时,即n<-1,
    可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,
    ∴,不成立;
    当点P在点B右侧时,即n>3,
    ∵△APC和△APB都以AP为底,若要面积相等,
    则点B和点C到AP的距离相等,即BC∥AP,
    设直线BC的解析式为y=kx+p,
    则,解得:,
    则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入,
    则-1+q=0,解得:q=1,
    则直线AP的解析式为y=x+1,将P(n,)代入,
    即,
    解得:n=4或n=-1(舍),

    ∴点P的坐标为(4,5).

    【点睛】
    本题考查了二次函数综合,涉及到待定系数法求函数解析式,三角形面积,平行线之间的距离,一次函数,解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离.
    14.(2020·江苏镇江·中考真题)如图①,直线l经过点(4,0)且平行于y轴,二次函数y=ax2﹣2ax+c(a、c是常数,a<0)的图象经过点M(﹣1,1),交直线l于点N,图象的顶点为D,它的对称轴与x轴交于点C,直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
    (1)当a=﹣1时,求点N的坐标及的值;
    (2)随着a的变化,的值是否发生变化?请说明理由;
    (3)如图②,E是x轴上位于点B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点F.若FB=FE,求此时的二次函数表达式.

    【答案】(1)N(4,﹣4),=;(2)不变,理由见解析;(3)y=﹣x2+x+.
    【解析】
    【分析】
    (1)证明△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,则,,求出AC=,BC=,即可求解;
    (2)点D(1,1﹣4a),N(4,1+5a),则ME=2,DE=﹣4a,由(1)的结论得:AC=,BC=,即可求解;
    (3)利用△FHE∽△DCE,求出F(﹣,﹣),即可求解.
    【详解】
    解:(1)分别过点M、N作ME⊥CD于点E,NF⊥DC于点F,
    ∵ME∥FN∥x轴,

    ∴△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,
    ∴,,
    ∵a=﹣1,则y=﹣x2+2x+c,
    将M(﹣1,1)代入上式并解得:c=4,
    ∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+4,
    则点D(1,5),N(4,﹣4),
    则ME=2,DE=4,DC=5,FN=3,DF=9,
    ∴,解得:AC=,BC=,
    ∴=;
    (2)不变,理由:
    ∵y=ax2﹣2ax+c过点M(﹣1,1),则a+2a+c=1,
    解得:c=1﹣2a,
    ∴y=ax2﹣2ax+(1﹣3a),
    ∴点D(1,1﹣4a),N(4,1+5a),
    ∴ME=2,DE=﹣4a,
    由(1)的结论得:AC=,BC=,
    ∴=;
    (3)过点F作FH⊥x轴于点H,则FH∥l,则△FHE∽△DCE,

    ∵FB=FE,FH⊥BE,
    ∴BH=HE,
    ∵BC=2BE,
    则CE=6HE,
    ∵CD=1﹣4a,
    ∴FH=,
    ∵BC=,
    ∴CH=×=,
    ∴F(﹣,﹣),
    将点F的坐标代入y=ax2﹣2ax+(1﹣3a)=a(x+1)(x﹣3)+1得:
    ﹣a=a(﹣+2)(﹣﹣2)+1,
    解得:a=﹣,
    故y=﹣x2+x+.
    【点睛】
    本题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的综合运用等知识.综合性强.
    15.(2020·江苏南通·中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n﹣4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1.关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若n<﹣5,试比较y1与y2的大小;
    (3)若B,C两点在直线x=1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围.
    【答案】(1)y=﹣x2+x;(2)y1>y2;(3)0<n<.
    【解析】
    【分析】
    (1)由题意可得0=4a+2b+c①,②,△=(b-1)2-4ac=0③,联立方程组可求a,b,c,可求解析式;
    (2)由n<-5,可得点B,点C在对称轴直线x=1的左侧,由二次函数的性质可求解;
    (3)分两种情况讨论,列出不等式组可求解.
    【详解】
    解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),
    ∴0=4a+2b+c①,
    ∵对称轴是直线x=1,
    ∴②,
    ∵关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,
    ∴△=(b﹣1)2﹣4ac=0③,
    由①②③可得:,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x;
    (2)∵n<﹣5,
    ∴3n﹣4<﹣19,5n+6<﹣19
    ∴点B,点C在对称轴直线x=1的左侧,
    ∵抛物线y=﹣x2+x,
    ∴﹣<0,即在对称轴的左侧y随x的增大而增大,
    ∵(3n﹣4)﹣(5n+6)=﹣2n﹣10=﹣2(n+5)>0,
    ∴3n﹣4>5n+6,
    ∴y1>y2;
    (3)若点B在对称轴直线x=1的左侧,点C在对称轴直线x=1的右侧时,
    由题意可得,
    ∴0<n<,
    若点C在对称轴直线x=1的左侧,点B在对称轴直线x=1的右侧时,
    由题意可得:,
    ∴不等式组无解,
    综上所述:0<n<.
    【点睛】
    本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,根的判别式,待定系数法求解析式,一元一次不等式组的应用,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
    16.(2020·江苏徐州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,函数的图像交轴于点、,交轴于点,它的对称轴交轴于点.过点作轴交抛物线于点,连接并延长交轴于点,交抛物线于点.直线交于点,交抛物线于点,连接、.

                                                        备用图                      
    (1)点的坐标为:______;
    (2)当是直角三角形时,求的值;
    (3)与有怎样的位置关系?请说明理由.
    【答案】(1)(1,0);(2) 或;(3)平行,理由见解析
    【解析】
    【分析】
    (1)根据二次函数的对称轴为,代入即可求出E点坐标;
    (2)将ED、AF的解析式用的代数式表示,然后由DE解析式令y=0求出F点坐标,由AF解析式令y=求出H点坐标,再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论,由勾股定理求解即可;
    (3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标,直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标,最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解.
    【详解】
    解:(1)由题意可知,抛物线的对称轴为,
    ∴E点的坐标为(1,0),
    故答案为(1,0).
    (2)由题意知,C点坐标为(0,3a),C和D点关于对称轴对称,∴D坐标为(2,3a),
    设直线DE的解析式为y=kx+m,代入E(1,0)和D(2,3a),
    即,解得,
    ∴直线DE的解析式为y=3ax-3a,
    令y=0,∴F(0,-3a),
    令中,即:,
    解得,∴A(-1,0),
    设直线AF的解析式为y=bx+t,代入A(-1,0),F(0,-3a),
    即,解得,
    ∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a,
    令y=-3ax-3a中y=3a,解得H点坐标(-2,3a),
    ∴H(-2,3a),E(1,0),F(0,-3a)
    故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²,
    EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²,
    FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4,
    ∵△EFH为直角三角形,∴分类讨论谁是直角顶角,
    情况一:∠E为直角顶角时,则EF²+EH²=FH²,
    即:1+9a²+9+9a²=36a²+4,解得:a=,又a>0,故a=;
    情况二:∠F为直角顶角时,则EF²+FH²=EH²,
    即:1+9a²+36a²+4=9+9a²,解得:a=,又a>0,故a=;
    情况三:∠H为直角顶角时,则FH²+EH²=EF²,
    即:36a²+4+9+9a²=1+9a²,此时无解;
    ∴综上所述,a的值为或;
    故答案为:或;
    (3)联立直线DF与抛物线的解析式:
    ,整理得:,
    解得,,∴G点坐标为(-3,-12a),
    同理,联立直线AF与抛物线的解析式:
    ,整理得:,
    解得,,∴K点坐标为(6,-21a),
    ∴直线GK的,
    直线HE的,
    即直线GK的k值与直线HE的k值相同,
    ∴GK与HE平行.
    故答案为:与有怎样的位置关系是平行.
    【点睛】
    本题考查了二次函数的图像及性质,二次函数与一次函数的交点坐标的求法,一次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点,熟练掌握二次函数的性质,学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键.
    17.(2020·江苏常州·中考真题)如图,二次函数的图像与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点,且顶点为D,连接、、、.
           
    (1)填空:________;
    (2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线交直线于点Q.若,求点P的坐标;
    (3)点E在直线上,点E关于直线对称的点为F,点F关于直线对称的点为G,连接.当点F在x轴上时,直接写出的长.
    【答案】(1)-4;(2)(3,0)或(,);(3)
    【解析】
    【分析】
    (1)根据待定系数法求解即可;
    (2)分点Q在CD上方和点Q在CD下方时,两种情况,结合三角函数,勾股定理等知识求解;
    (3)设点C关于BD的对称点为C′,BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N′,设C′(p,q),利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等,求出点C′的坐标,从而得到C′N′直线的解析式,从而求出点F坐标,再利用点F和点G关于直线BC对称,结合BC的表达式可求出点G坐标,最后得到AG的长.
    【详解】
    解:(1)∵抛物线过点C(1,0),
    ∴将C(1,0)代入得0=1+b+3,
    解得b=-4,
    故答案为:-4;
    (2)由(1)可得抛物线解析式为:,
    当x=0时,y=3,
    ∴A的坐标为(0,3),
    当y=3时得,
    解得x1=0,x2=4,
    ∴点B的坐标为(4,3),
    ∵,
    ∴顶点D的坐标为(2,-1),
    设BD与x轴的交点为M,作CH⊥AB于H,DG⊥CM于G,

    ∴tan∠ACH= tan∠OAC=,
    根据勾股定理可得BC=,CD=,BD=,
    ∴BD=,
    ∴∠BCD=90°,
    ∴tan∠CBD=,
    ∴∠ACH=∠CBM,
    ∵∠HCB=∠BCM=45°,
    ∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB,
    即∠ACB=∠CMD,
    Q在CD上方时:若,则Q与M点重合,
    ∵中,令y=0,解得:x=1或3,
    ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
    即此时P的坐标为(3,0);
    Q在CD下方时:过点Q作QK⊥x轴,过点C作CL⊥QM于点L,过点A作AN⊥BC于点N,
    可得:AB=4,BC=,AC=,设CN=x,则BN=-x,
    在△ABC中,,
    即,解得:x=,
    ∴cos∠ACN==,
    设直线BD的表达式为:y=mx+n,将B,D代入得:
    ,解得:,
    ∴直线BD的表达式为y=2m-5,
    令y=0,则x=,即点M(,0),
    设点Q坐标为(a,2a-5),
    则QK=5-2a,CM=,QM=,
    ∵∠ACB=∠CMD,∠ACB=∠CQD,
    ∴∠CMD=∠CQD,即CQ=CM=,
    ∴cos∠CQD=cos∠ACB=,
    ∴QL=,QM=,CL=,
    在△CQM中,,
    即,解得:KQ=,
    ∴CK=,
    ∴Q(,),
    设直线CQ表达式为:y=sx+t,将点C和点Q代入,
    ,解得:,
    则CQ表达式为:,联立:
    ,解得,
    即点P坐标为(,),
    综上:点P的坐标为(3,0)或(,);

    (3)设点C关于BD的对称点为C′,BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N′,
    ∴R(3,1),设C′(p,q),
    由题意可求得:直线AC表达式为:y=-3x+3,
    直线BD表达式为:y=2x-5,
    直线BC的表达式为:y=x-1,
    令-3x+3=2x-5,解得:x=,则y=,
    ∴点N′(,),
    ∵点C和C′关于直线BD对称,
    ∴CR=C′R=BD=,CN′=C′N′=,
    则有,,
    即,
    ①-②得:③,代入①,
    解得:或0(舍),代入③中,得:,
    解得:,即点C′(,),
    ∵N′(,),
    求得直线C′N′的表达式为:,
    ∵点F在x轴上,令y=0,则x=7,
    ∴点F(7,0),
    又∵点F和点G关于直线BC对称,BC:y=x-1,连接CG,
    可得∠BCF=45°=∠BCG,
    ∴∠FCG=90°,
    ∴CG=CF=6,
    ∴点G的坐标为(1,6),又A(0,3),
    ∴AG的长为.

    【点睛】
    本题是二次函数综合题,考查了二次函数解析式,一次函数,三角函数,面积法,对称的性质,知识点较多,难度较大,解题时要注意分类讨论,画图相应图形,利用数形结合思想解答.
    18.(2020·江苏盐城·中考真题)若二次函数的图像与轴有两个交点,且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点(异于点).满足是等腰直角三角形,记的面积为的面积为,且.

    (1)抛物线的开口方向 (填“上”或“下”);
    (2)求直线相应的函数表达式;
    (3)求该二次函数的表达式.
    【答案】(1)上;(2);(3)
    【解析】
    【分析】
    (1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上;
    (2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论,只能是,此时,由此算出C点坐标,进而求解;
    (3)过B点作BH⊥x轴,由得到,由OA的长求出BH的长,再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标,最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.
    【详解】
    解:(1)∵抛物线经过点M、N、A,且M、N点在x轴正半轴上,A点在y轴正半轴上,
    ∴抛物线开口向上,
    故答案为:上.
    (2)①若,
    则与重合,直线与二次函数图像交于点
    ∵直线与该函数的图像交于点(异于点)
    ∴不合符题意,舍去;
    ②若,则在轴下方,
    ∵点在轴上,
    ∴不合符题意,舍去;
    ③若


    设直线
    将代入:
    ,解得
    直线.
    故答案为:.
    (3)过点作轴,垂足为,

    ,,
    又,

    又,

    即点纵坐标为,
    又(2)中直线l经过B点,
    将代入中,得,

    将三点坐标代入中,得

    解得,
    抛物线解析式为.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数和一次函数的交点坐标,等腰直角三角形分类讨论的思想,熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键.
    19.(2020·江苏淮安·中考真题)如图①,二次函数的图象与直线交于、两点.点是轴上的一个动点,过点作轴的垂线交直线于点,交该二次函数的图象于点,设点的横坐标为.

    (1) , ;
    (2)若点在点的上方,且,求的值;
    (3)将直线向上平移4个单位长度,分别与轴、轴交于点、(如图②).
    ①记的面积为,的面积为,是否存在,使得点在直线的上方,且满足?若存在,求出及相应的、的值;若不存在,请说明理由.
    ②当时,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接、、,若,直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标.
    【答案】(1)1,﹣2;(2)m=0或2;(3)①存在,且,,;②或.
    【解析】
    【分析】
    (1)把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b,于是可得抛物线的解析式,再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n;
    (2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,由点P(m,0),则点M、N的坐标可得,于是MN的长可用含m的代数式表示,由MN=3可得关于m的方程,解方程即可求出m的值;
    (3)①易求出平移后直线CD的解析式,进而可得点C坐标,然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式,设直线MN交AC于点F,过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E,如图2,然后即可用含m的代数式表示出和,由可得关于m的方程,解方程即可求出m,进一步即可求出结果;
    ②当旋转后点F在点C左侧时,过点B作BQ⊥x轴于点Q,过点M作GH∥x轴,作AG⊥GH于点G,作FH⊥GH于点H,交x轴于点K,如图3,根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形,进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2,由条件,根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK,然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长,于是可得点F的坐标,进而可求出直线OF的解析式,进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标;当旋转后点F在点C右侧时,易得满足的点F不存在,从而可得答案.
    【详解】
    解:(1)把代入抛物线,得,解得:b=1,
    ∴抛物线的解析式是:,
    ∵点在抛物线上,
    ∴,
    故答案为:1,﹣2;
    (2)设直线的解析式是,把点、两点代入,得:
    ,解得:,
    ∴直线的解析式是,
    如图1,∵点P(m,0),∴点M(m,﹣m+1)、N(m,),
    当点在点的上方时,则 ,
    当时,,解得:m=0或2;

    (3)①直线向上平移4个单位长度后的解析式为,
    ∴点C、D的坐标分别是(5,0)、(0,5),
    则由、C(5,0)可得直线AC的解析式为,
    由N(m,)、C(5,0)可得直线NC的解析式为,
    设直线MN交AC于点F,过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E,如图2,
    当x=3时,,∴点E(3,),
    ∴,,
    ∴,

    ∵,
    ∴,解得:,
    由于当时,,
    此时点N在直线AC的下方,故舍去;
    当时,,;
    ∴存在,使,且此时,;

    ②当旋转后点F在点C左侧时,过点B作BQ⊥x轴于点Q,过点M作GH∥x轴,作AG⊥GH于点G,作FH⊥GH于点H,交x轴于点K,如图3,
    ∵直线AB的解析式为,
    ∴∠AMG=45°,
    ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段,
    ∴∠AMF=90°,MA=MF,
    ∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形,
    ∴AG=GM=MH=FH=m+1,
    ∵M(m,﹣m+1),
    ∴KH=PM=m-1,
    ∴FK=(m+1)-(m-1)=2,

    ∵,∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF,
    ∴45°+∠QBF+∠AOD-∠BFC=45°,
    ∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK,
    ∵FK∥BQ,∴∠QBF =∠BFK,
    ∴∠AOD=∠CFK,
    ∴,
    ∴,OK=4,
    ∴点F的坐标是(4,2),
    ∴直线OF的解析式是,
    解方程:,得;
    当旋转后点F在点C右侧时,满足的点F不存在;
    综上,直线与该二次函数图象交点的横坐标为或.
    【点睛】
    本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识,综合性强、难度较大,属于中考压轴题,熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
    20.(2020·江苏扬州·中考真题)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且,OC平分,与BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F.

    (1)求证:;
    (2)如图2,若,求的值;
    (3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求的值.
    【答案】(1)见详解;(2);(3)
    【解析】
    【分析】
    (1)先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA,然后根据OA=OD,OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA,∠COD=∠COB,可得∠COD=∠ODA,即可证明;
    (2)先证明△BOG≌△DOG,得出∠ADB=∠OGB=90°,然后证明△AFO∽△AED,得出∠AOD=∠ADB=90°,,根据勾股定理得出AD=2,即可求出答案;
    (3)先设AD=2x,OG=x,则CG=2-x,BG==,BC===CD,然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4,令=t≥0,即x=2-t2,可得四边形ABCD的周长=-2(t-1)2+10,得出x=2-t2=1,即AD=2,然后证明△ADF≌△COF,得出DF=OF=OD=1,根据△ADO是等边三角形,得出∠DAE=30°,可得,求出DE=,即可得出答案.
    【详解】
    (1)由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA,
    ∵OA=OD,
    ∴∠DAO=∠ODA,
    ∵OC平分∠BOD,
    ∴∠COD=∠COB,
    ∴∠COD=∠ODA,
    ∴OC∥AD;
    (2)∵OC平分,
    ∴∠COD=∠COB,
    在△BOG与△DOG中,
    ∴△BOG≌△DOG,
    ∴∠BGO=∠DGO=90°,
    ∵AD∥OC,
    ∴∠ADB=∠OGB=90°,∠DAC=∠OCA,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OAC=∠OCA,
    ∴∠DAC=∠OAC,
    ∵DE=DF,
    ∴∠DFE=∠DEF,
    ∵∠DFE=∠AFO,
    ∴∠AFO=∠DEF,
    ∴△AFO∽△AED,
    ∴∠AOD=∠ADB=90°,,
    ∵OA=OD=2,
    ∴根据勾股定理可得AD=2,
    ∴=;
    (3)∵OA=OB,OC∥AD,
    ∴根据三角形中位线可设AD=2x,OG=x,则CG=2-x,BG==,
    ∴BC===CD,
    ∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC
    =4+2x+2
    =4+2x+4
    令=t≥0,即x=2-t2,
    ∴四边形ABCD的周长=4+2x+4
    =4+2(2-t2)+4t
    =-2t2+4t+8
    =-2(t-1)2+10,
    当t=1时,四边形ABCD的周长取得最大值,最大值为10,
    此时x=2-t2=1,
    ∴AD=2,
    ∵OC∥AD,
    ∴∠ADF=∠COF,∠DAF=∠OCF,
    ∵AD=OC=2,
    ∴△ADF≌△COF
    ∴DF=OF=OD=1,
    ∵AD=OC=OA=OD,
    ∴△ADO是等边三角形,
    由(2)可知∠DAF=∠OAF,∠ADE=90°,
    ∴在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
    ∴,
    ∴DE=,
    ∴=.
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,平行线的判定与性质,等腰三角形的性质,二次函数的性质,涉及的知识点比较复杂,综合性较强,灵活运用这些知识点是解题关键.
    21.(2020·江苏扬州·中考真题)如图,已知点、,点P为线段AB上的一个动点,反比例函数的图像经过点P.小明说:“点P从点A运动至点B的过程中,k值逐渐增大,当点P在点A位置时k值最小,在点B位置时k值最大.”

    (1)当时.
    ①求线段AB所在直线的函数表达式.
    ②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k的最小值和最大值.
    (2)若小明的说法完全正确,求n的取值范围.
    【答案】(1)①;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当时,有最大值;当时,有最小值;(2);
    【解析】
    【分析】
    (1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式;
    ②由①得直线AB为,则,利用二次函数的性质,即可求出答案;
    (2)根据题意,求出直线AB的直线为,设点P为(x,),则得到,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴,即可求出n的取值范围.
    【详解】
    解:(1)当时,点B为(5,1),
    ①设直线AB为,则
    ,解得:,
    ∴;
    ②不完全同意小明的说法;理由如下:
    由①得,
    设点P为(x,),由点P在线段AB上则

    ∴;
    ∵,
    ∴当时,有最大值;
    当时,有最小值;
    ∴点P从点A运动至点B的过程中,k值先增大后减小,当点P在点A位置时k值最小,在的位置时k值最大.
    (2)∵、,
    设直线AB为,则
    ,解得:,
    ∴,
    设点P为(x,),由点P在线段AB上则

    当,即n=2时,,则k随x的增大而增大,如何题意;
    当n≠2时,则对称轴为:;
    ∵点P从点A运动至点B的过程中,k值逐渐增大,当点P在点A位置时k值最小,在点B位置时k值最大.
    即k在中,k随x的增大而增大;
    当时,有
    ∴,解得:,
    ∴不等式组的解集为:;
    当时,有
    ∴,解得:,
    ∴综合上述,n的取值范围为:.
    【点睛】
    本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.
    22.(2020·江苏泰州·中考真题)如图,二次函数、的图像分别为、,交轴于点,点在上,且位于轴右侧,直线与在轴左侧的交点为.

    (1)若点的坐标为,的顶点坐标为,求的值;
    (2)设直线与轴所夹的角为.
    ①当,且为的顶点时,求的值;
    ②若,试说明:当、、各自取不同的值时,的值不变;
    (3)若,试判断点是否为的顶点?请说明理由.
    【答案】(1);(2)①;②见解析;(3)点A是C1的顶点,理由见解析.
    【解析】
    【分析】
    (1)将的顶点坐标为和点P的坐标代入中即可解答;
    (2)①如图所示,过点A作AM⊥y轴于点M,得到△MAP为等腰直角三角形,从而确定P(0,n-m),代入化简即可;
    ②将x=0代入,得到,再求出A,B的坐标,表达出PA,PB即可解答;
    (3)如图所示,过点P作CD∥x轴,过点B作BD⊥CD于点D,过点A作AC⊥CD于点C,得到△BDP∽△ACP,设,根据PA=2PB,得到CP=2PD=-2x,AC=2BD=,确定点A的坐标,代入,解出x,进而得到即可.
    【详解】
    解:(1)∵的顶点坐标为,
    ∴,
    将点P(0,2)代入得:,
    解得:;
    (2)①由题意可知,,
    如图所示,过点A作AM⊥y轴于点M,则M(0,n),MA=m,
    ∵直线与轴所夹的角为,
    ∴△MAP为等腰直角三角形,
    ∴MA=MP=m,
    ∴OP=n-m,
    ∴P(0,n-m),代入得:,
    解得:;

    ②如图所示,当时,
    将x=0代入,得,
    ∴,
    当时,,
    解得:,
    ∴,
    ∴AP=2m,
    当时,即,
    解得:,
    ∵点B在y轴左侧,
    ∴,
    ∴PB=,
    ∴,不变.

    (3)如图所示,过点P作CD∥x轴,过点B作BD⊥CD于点D,过点A作AC⊥CD于点C,
    则BD∥AC,
    ∴△BDP∽△ACP,
    设,则PD=-x,BD=,
    ∵PA=2PB,
    ∴CP=2PD=-2x,AC=2BD=,
    ∴,
    代入得:,
    化简得:,解得:,(舍去),
    ∴,则点A是C1的顶点.

    【点睛】
    本题考查了二次函数与几何综合问题,涉及了二次函数的图象和性质,相似三角形的判定和性质,难度较大,计算量较多,解题的关键是综合运用二次函数和几何知识进行推理.
    23.(2020·江苏连云港·中考真题)在平面直角坐标系中,把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线的顶点为,交轴于点、(点在点左侧),交轴于点.抛物线与是“共根抛物线”,其顶点为.
           
    (1)若抛物线经过点,求对应的函数表达式;
    (2)当的值最大时,求点的坐标;
    (3)设点是抛物线上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若与相似,求其“共根抛物线”的顶点的坐标.
    【答案】(1);(2)点;(3)或或或
    【解析】
    【分析】
    (1)由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点,故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为,将点代入,即可求出解;
    (2)由抛物线对称性可知PA=PB,∴,根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时,的值最大,而P点在对称轴为上,由此求出点P坐标;
    (3)根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形,与相似,分两种情况讨论:当、时,分别利用对应边成比例求解即可.
    【详解】
    解:(1)当时,,解得,.
    ∴、、.
    由题意得,设对应的函数表达式为,
    又∵经过点,
    ∴,
    ∴.
    ∴对应的函数表达式为.
    (2)∵、与轴交点均为、,
    ∴、的对称轴都是直线.
    ∴点在直线上.
    ∴.
    如图1,当、、三点共线时,的值最大,
    此时点为直线与直线的交点.
    由、可求得,直线对应的函数表达式为.
    ∴点.                  

    (3)由题意可得,,,,
    因为在中,,故.
    由,得顶点.
    因为的顶点P在直线上,点Q在上,
    ∴不可能是直角.
    第一种情况:当时,
    ①如图2,当时,则得.
    设,则,
    ∴.
    由得,解得.
    ∵时,点Q与点P重合,不符合题意,
    ∴舍去,此时.
    ②如图3,当时,则得.
    设,则.
    ∴.
    由得,解得(舍),此时.
    第二种情况:当时,
    ①如图4,当时,则得.

    过Q作交对称轴于点M,∴.
    ∴.由图2可知,
    ∴.
    ∴,又,代入得.
    ∵点,
    ∴点.
    ②如图5,当时,则.

    过Q作交对称轴于点M,
    ∴,则.
    由图3可知,,
    ∴,,
    ∴.
    又,代入得.
    ∵点,
    ∴点,
    综上所述,或或或.
    【点睛】
    本题是二次函数的综合题,关键是根据待定系数法求解析式,二次函数图象上点的坐标特征,以及相似三角形的性质解答.
    24.(2020·江苏无锡·中考真题)在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线交二次函数的图像于点,,点在该二次函数的图像上,设过点(其中)且平行于轴的直线交直线于点,交直线于点,以线段、为邻边作矩形.

    (1)若点的横坐标为8.
    ①用含的代数式表示的坐标;
    ②点能否落在该二次函数的图像上?若能,求出的值;若不能,请说明理由;
    (2)当时,若点恰好落在该二次函数的图像上,请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式.
    【答案】(1)①;②能,;(2)或.
    【解析】
    【分析】
    (1)①求出点的坐标,直线直线的解析式即可解决问题.
    ②求出直线的解析式,求出点的坐标,利用矩形的性质求出点的坐标,再利用待定系数法求出的值即可.
    (2)分两种情形:①当点在轴的右侧时,设,求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可.②当点在轴的左侧时,即为①中点的位置,利用①中结论即可解决问题.
    【详解】
    解:(1)①点在的图象上,横坐标为8,

    直线的解析式为,
    点的纵坐标为,
    ,;
    ②假设能在抛物线上,

    直线的解析式为,
    点在直线上,纵坐标为,

    的中点的坐标为,,
    ,,把点坐标代入抛物线的解析式得到.
    (2)①当点在轴右侧时,设,所以直线解析式为,
    ∴,

    直线的解析式为,可得,,
    ,,代入抛物线的解析式得到,,
    解得,
    直线的解析式为.
    ②当点在轴左侧时,即为①中点位置,
    ∴直线的解析式为;
    综上所述,直线的解析式为或.

    【点睛】
    本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法,矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.

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