北京市海淀区2022-2023学年高三数学上学期期中试题（Word版附答案）

2022年北京市海淀区高三数学期中考试试卷

本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1. 已知全集，集合，则

 A.  B.

 C.  D.

2. 在同一个坐标系中，函数与的图像可能是

A                                                   B

C                                                   D

3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为，则

 A. 

 B.

 C. 

 D.

4. 若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为

 A. B. C. D.

5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是

 A. B. C. D.

6. 在平面直角坐标系中，角与角均已为始边，它们的终边关于直线对称. 若，则

 A. B. C. D.

7. 已知函数. 甲同学将的图像向上平移个单位长度，得到图像；乙同学将

的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图像. 若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是

 A. B. C. D.

8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的

 A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

9. 若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是

 A. B. C. D.

10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为

（参考数据：，）

 A. B. 

 C. D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 若复数，则_________.

12. 函数的定义域是_________.

13. 已知向量，. 若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_________.

14. 若函数和的图像的对称中心完全重合，则_________；_________.

15. 已知函数.

①当时，的极值点个数为_________；

②若恰有两个极值点，则的取值范围是_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

已知等差数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项. 若，求.（用含的式子表示）

条件①：； 条件②：； 条件③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分.

17.（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小正周期；

（Ⅲ）求在区间上的最大值和最小值.

18.（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在区间上的取值范围是，求的取值范围.

19.（本小题14分）

某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在处观测该动物种群. 如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，.（注：点在同一平面内）

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）求点之间的距离.

20.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

21.（本小题15分）

对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，

. 对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：

①；

②.

（Ⅰ）以下给出数表和数表.

数表1

数表2

（ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由；

（ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由；

（Ⅱ）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为. 求的最大值.