北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习

                                数  学                     2020. 01

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，，则集合是 

（2）抛物线的焦点坐标为

（3）下列直线与圆相切的是

（4）已知，且，则

（5）在的展开式中，的系数为

（6）已知平面向量满足，且，则的值为

（7）已知, , 是三个不同的平面，且，，则“”是“”的

（8）已知等边△边长为3. 点D在BC边上，且，. 下列结论中错误的是

（9）声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的

（10）若点为点在平面上的正投影，则记. 如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，. 给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得∥平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）在等差数列中， ，，则_________.

（12）若复数，则=_________.

（13）已知点A，点,分别为双曲线 的左、右顶点.  若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.

（14）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

（15）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

则_________，_________.

（16）已知曲线C：（为常数）.

（i）给出下列结论：

①曲线C为中心对称图形；

②曲线C为轴对称图形；

③当时，若点在曲线上，则或.

其中，所有正确结论的序号是         .

（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是         .（写出一个即可）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（17）（本小题共13分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

（19）（本小题共13分）

某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据：

注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数，其中为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.

现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

（Ⅰ）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由；

（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

（20）（本小题共14分）

已知椭圆的右顶点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点，，直线和分别与直线交于点,．求△与△面积之和的最小值.

（21）（本小题共13分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于.

（22）（本小题共14分）

给定整数，数列每项均为整数，在中去掉一项, 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将中的最小值称为数列的特征值.

（Ⅰ）已知数列，写出的值及的特征值；

（Ⅱ）若，当，其中且 时，判断与的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案

             数  学       2020.01

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（17）解：（Ⅰ）       

.                  

因为的单调递增区间为，

令，  

得.          

所以的单调递增区间为.

（Ⅱ）方法1：因为，

所以.              

又因为，的最大值为1，

所以.                      

解得.                           

所以的最小值为.                  

方法2：由（Ⅰ）知：

当且仅当时，取得最大值1.

因为在区间上的最大值为，

所以.                           

所以的最小值为.                 

（18）解：（Ⅰ）在△中，M，N分别为VA，VB的中点，

所以为中位线.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，,

所以.

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（Ⅲ）在平面ABC内过点C做垂直于AC，

由（Ⅱ）知，平面，

因为平面，

所以.                        

如图,以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.

设平面的法向量为，

则                      

即

令则，,

所以.                     

直线与平面所成角大小为，

. 

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（19）解：（Ⅰ）方法1:

A小区的指数，

     ,所以A小区不是优质小区;

B小区的指数，

      ,所以B小区是优质小区;

C小区的指数，

      ,所以C小区不是优质小区.

方法2:

A小区的指数

      ,所以A小区不是优质小区;

B小区的指数

.

B小区是优质小区;                     

C小区的指数

.

C小区不是优质小区.               

（在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）

（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区个，其它小区个.                           

依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.    

；             

；         

.           

则的分布列为：

.   

（20）解：（Ⅰ）解：依题意，得  

解得，                       

所以椭圆C的方程为.        

（Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，

满足（且）,

直线的方程为  

令，得，即. 

直线的方程为 ，同理可得.

设为与轴的交点.

.

又因为，,

所以.

当且仅当取等号，所以的最小值为.

 （21）解：（Ⅰ）由已知得，      

因为 ，，          

所以直线的方程为.          

（Ⅱ）（i）当时，，

所以（当且仅当且时，等号成立）.

所以在上是单调递增函数.       

所以在上无极小值.             

（ii）当时,一元二次方程的判别式，

记是方程的两个根，不妨设.

则                   

所以.

此时，随的变化如下：

所以的极小值为.           

又因为在单调递增，       

所以.               

所以的极小值为小于.

22. 解：（Ⅰ）由题知：

;                

;               

.                               

的特征值为1.                      

（Ⅱ）.                  

理由如下：

由于，可分下列两种情况讨论：

当时，

根据定义可知：

同理可得：

所以.

所以.             

当时，同理可得：

所以.

所以.             

综上有：.

（Ⅲ）不妨设，

  ，

显然，，

.

    当且仅当时取等号；

    当且仅当时取等号；

由（Ⅱ）可知的较小值为，

所以.

当且仅当时取等号，

此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有

    . 

     下证：若，，总有.

     证明：

         =

         .

     所以.         

因此

.                           

当时，

可取到最小值，符合题意.

 所以的最小值为.