2023-2024学年北京市海淀区实验中学高三上学期期中考试数学含答案

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1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的运算即可求解.
【详解】集合包含所有小于2的实数，包含1和2两个元素，所以，
故选：B.
2. 若复数满足，则（）
A.B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法和乘法运算法则计算.
【详解】.
故选：A.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，定义域不关于原点对称，不是偶函数；B选项，为奇函数；C选项，根据得到C不满足在区间上单调递增；D选项，判断出函数为偶函数且在上单调递增.
【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；
B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，B错误；
C选项，设，因为，
故在上不单调递增，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为偶函数，
又当时，，在上单调递增，故满足要求，D正确.
故选：D
4. 已知向量满足，则（）
A. B. 0C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.
【详解】因为，所以，
故.
故选：C
5. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）
A. B. 3C. 9D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】先求得关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，
也即，所以，
当且仅当时等号成立.
故选：C
6. 设，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先将这三个数化为同底的对数，再根据单调性比较大小.
【详解】，，
，
因为是增函数，，
所以.
故选：D
7. “”是“为第一或第三象限角”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.
【详解】因为时，则，
所以为第一或第三象限角，
反之，当为第一或第三象限角时，，所以，
综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，
故选：C
8. 在中，，则（）
A. 为直角B. 为钝角C. 为直角D. 为钝角
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出.
【详解】由，即，，
又，所以，化简得，
则，故在中，，
故选：C
9. 古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（）
A. 数列是等差数列，且公差为
B. 数列是等比数列，且公比为
C. 数列是等比数列，且公比为
D. 数列是等差数列，且公差为
【答案】B
【解析】
【分析】根据项与前项和的关系结合条件可得，根据等比数列的概念进而判断AB，结合条件可得，进而判断CD.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
即，又为大于1的常数，
所以，即数列是等比数列，且公比为，故A错误，B正确；
由上可知，又，
所以，，
所以不是常数，故C错误；
所以，不是常数，故D错误.
故选：B.
10. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（）
AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解.
【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于所以，
由于点在，不妨设，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为,
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：，
故选：A
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______．
【答案】
【解析】
【详解】要使函数有意义，则 ，解得 ，所以函数的定义域是，故答案为.
12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.
【详解】由三角函数的定义可知,
所以
故答案为：.
13. 已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为________，________．
【答案】 ①. -1(不唯一) ②. 1
【解析】
分析】设，则有，列出方程组求解即可.
【详解】解：设，
则有，
即，
所以，所以，解得，
取.
故答案为：-1(不唯一)，1
14. 已知函数的部分图象如图所示．
①函数的最小正周期为________；
②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；空2：通过周期大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参即可.
【详解】空1：由图可知,即
空2：,即，
则，又过点，
所以，即，
又在原图增区间上，所以可取，
所以，
向右平移个单位可得，
又为奇函数，所以，
即,
又，
所以.
故答案为：；.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.
【详解】对①，当时，，
当时，，当时，，
综上，的最小值为，①正确；
对②，，，
当时，，
当时，若，；若，，
如时，，函数不存在最小值，②错误；
对③，当时，最多一个解，
得或，
如时，，由可得(舍去)，
由得或，故此时两个零点，即；
如时，，由可得，
由得或，故此时三个零点，即；
当时，，由可得，
由得，故此时一个零点，即；
当时，，时，，无解，
时，，无解，
此时没有零点，即.
综上，的值域为，故③正确；
对④，当时，如时，，
，，，此时，故④错误.
故答案为：①③
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）证明：对这三个数成等差数列．
【答案】16. 17. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出公比，代入已知条件，解方程即可；
（2）按照等差数列的定义，作差即可证明.
【详解】（1）设公比为，由题意有
代入得，故或3
又各项均为整数，故
于是.
（2）由（1）得
所以
故，获证.
17. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）选择见解析；答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
当时，得，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
【小问2详解】
当选条件①：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小值；
当选条件③：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小；
18. 已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的面积；
（2）记的面积为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得的坐标，从而求得三角形的面积.
（2）先求得三角形面积的表达式，然后利用导数求得面积的最大值.
【小问1详解】
依题意，，所以，
由，得，
则，解得或（舍去），则，
所以.
【小问2详解】
由，得，
则，
，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以的最大值是.
19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
（1）求两点之间的距离；
（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）
（2）直线与直线不垂直，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后根据向量法进行判断.
【小问1详解】
依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
【小问2详解】
在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
,
所以直线与直线不垂直.
20. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）增区间，减区间
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得.
（2）利用导数求得的单调区间.
（3）结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值.
【小问1详解】
依题意，，解得.
【小问2详解】
由（1）得，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
【小问3详解】
由（2）得，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
（1）若，写出的值；
（2）若，求；
（3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过公式即可求出的值；
（2）求出数列的前项和，对讨论其奇偶，即可求出；
（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下的值，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意，
，，，
∴，，
，，
，
∴
【小问2详解】
由题意，
在数列中，，
∴.
若为奇数，则.
所以.
若为偶数，则当时，
所以.
所以.
【小问3详解】
由题意证明如下，
在中，
若为有限集，设其最大元素为(若为空集，取)，
则当时，存在满足.
令，
则.所以;
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记(若中没有正数项，取，则.
令，则.
所以;
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，则.
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.
【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的项，数列求和，无穷数列的证明，符号函数，考查学生的计算能力，逻辑思维能力和分类讨论能力，具有很强的综合性.