2023-2024学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题.等内容，欢迎下载使用。

1．如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为的转盘是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．平行D．相离
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
4．一组数据分别为：2、4、5、1、9，这组数据的极差是（ ）
A．3B．8C．4D．5
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝75°，则四边形的外角∠DCE的度数为（ ）
A．75°B．70°C．105°D．80°
6．已知m是方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根，求代数式8+5m﹣m2的值是（ ）
A．﹣3B．5C．3D．﹣5
7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
8．已知实数a，b，c满足：a﹣b＝4，ab+c2﹣4c+8＝0，求代数式a+b﹣c的值为（ ）
A．6B．8C．2D．﹣2
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）.
9．若点P在⊙O的内部，OP＝4，则⊙O的半径可能是 ．（填上一个符合要求的数字）
10．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则x1x2的值是 ．
11．圆锥侧面积为8πcm2，侧面展开扇形的半径为4cm，圆锥底圆半径为 cm．
12．某工厂一月份某机器产量为100台，一月份起进行技术升级，升级后三月份生产的这种机器数量为144台，如果每个月的产量增长率平均为x，那么可列方程为 ．
13．小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是 分．
14．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 ．
15．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是18cm，∠P＝50°，则的长是 cm．
16．如图，直角坐标系中，点M在第一象限，半径为的⊙M经过原点O，与x轴交于点A，的度数为120°，点B是平面内一动点，且∠ABO＝30°，求线段MB的最大值为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．解方程：x（x+8）＝3（x+8）．
18．已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1、x2，且满足3x1+2x2＝2，求实数m的值．
19．2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“A宸宸、B琮琮、C莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“A、B、C”后放入一个盒子里．
（1）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“A宸宸”的概率为 ；
（2）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
20．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如表；
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
21．如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，是△ABC的外接圆的一部分．请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作出△ABC的外心O；
（2）作出的中点P；
（3）过点B作出⊙O的切线BT．
22．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
23．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，AC＝FC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若OA＝2，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）．
24．数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题：
材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例：
例：求代数式x2+4x+5的最小值；
请利用上述方法解决下列问题：
（1）请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值；
（2）请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5，求a的值．
25．某小区有一块长30m，宽20m的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为416m2．
（1）求通道的宽是多少m？
（2）该停车场共有65个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为15元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元？
26．在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．
【原题再现】
请你帮他完成后面的解答．
【深入探究】
（2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接AC，得到图2，当AB＝AD时，他发现CA平分∠BCD．他的发现正确吗？试说明理由．
（3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现CD，CB，CA这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论．
【应用实践】
（4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，⊙O内接四边形ABCD中，BD为⊙O的直径，AB＝AD，作点C关于AD的对称点P，连接PA，PB，PD，若PD＝6，，请直接写出PB的长为 ．
27．大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．
说明：图中点A、B、C都在圆上，N在AB上，NM⊥AB，垂足为M．
（1）问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含n的代数式表示花坛Ⅳ的半径．
（2）问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，A、B、N在同一个圆上，N是上一动点，经测量∠ANB＝135°，NM⊥AB，垂足为M，MN＝2，则△ANB面积最小值为 米2．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为的转盘是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用指针落在阴影区域内的概率＝阴影部分面积÷总面积，分别求出概率即可得到答案．
解：A、指针落在阴影区域内的概率为；
B、指针落在阴影区域内的概率是；
C、指针落在阴影区域内的概率为＝；
D、指针落在阴影区域内的概率为．
故选：B．
【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．
2．如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．平行D．相离
【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．方程x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．方程y2+x＝1是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x+＝1是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．一组数据分别为：2、4、5、1、9，这组数据的极差是（ ）
A．3B．8C．4D．5
【分析】根据极差的定义“极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差”，即可求解．
解：数据2、4、5、1、9中，最大值为9，最小值为1，
因此这组数据的极差是：9﹣1＝8，
故选：B．
【点评】本题考查极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝75°，则四边形的外角∠DCE的度数为（ ）
A．75°B．70°C．105°D．80°
【分析】根据圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，即可求解．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝75°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．已知m是方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根，求代数式8+5m﹣m2的值是（ ）
A．﹣3B．5C．3D．﹣5
【分析】根据方程根的概念得到m2﹣5m＝3，变形后整体代入即可．
解：∵m是方程x2﹣5x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣5m＝3，
∴8+5m﹣m2＝8﹣（m2﹣5m）＝8﹣3＝5，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是根据方程根的概念得到m2﹣5m＝3，变形后整体代入．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．3B．7C．3或7D．6或14
【分析】根据题意CD与⊙P相切分⊙P在直线CD左侧时⊙P在直线CD右侧时，求出⊙P运动的路程，即可根据速度求得时间．
解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E，
∴P1E⊥CD，
∵⊙P半径为2cm，
∴P1E＝2cm，
∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD，
∴P1O＝4cm，
∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm），
∴t＝3秒．
②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm），
则需要运动的时间为7秒．
综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键．
8．已知实数a，b，c满足：a﹣b＝4，ab+c2﹣4c+8＝0，求代数式a+b﹣c的值为（ ）
A．6B．8C．2D．﹣2
【分析】先将 a﹣b＝4变形为a＝b+4，将其代入整理得（b+2）2+（c﹣2）2＝0，再根据偶次方的非负性求出b，c的值．
解：∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∴ab+c2﹣4c+8＝b（b+4）+c2﹣4c+8＝（b+2）2+（c﹣2）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣2＝0，
∴b＝﹣2，c＝2，
∴a＝b+4＝2，
∴a+b﹣c＝2﹣2﹣2＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方的应用，偶次方的非负性，先将 a﹣b＝4变形为a＝b+4，将其代入整理得（b+2）2+（c﹣2）2＝0，再根据偶次方的非负性求出b，c的值是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）.
9．若点P在⊙O的内部，OP＝4，则⊙O的半径可能是 5（答案不唯一） ．（填上一个符合要求的数字）
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行求解即可．
解：∵点P在⊙O的内部，OP＝4，
∴⊙O的半径大于4．
故答案为：5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
10．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则x1x2的值是 ﹣1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
解：根据根与系数的关系得x1x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
11．圆锥侧面积为8πcm2，侧面展开扇形的半径为4cm，圆锥底圆半径为 2 cm．
【分析】设圆锥底圆半径为r cm，根据扇形的面积公式求解即可．
解：设圆锥底圆半径为r cm，
根据题意得，
解得r＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
12．某工厂一月份某机器产量为100台，一月份起进行技术升级，升级后三月份生产的这种机器数量为144台，如果每个月的产量增长率平均为x，那么可列方程为 100（1+x）2＝144 ．
【分析】根据三月份的产量＝一月份的产量×（1+x）2列方程即可．
解：由题意，可列方程为100（1+x）2＝144，
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．
13．小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是 78 分．
【分析】利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可．
解：小红的平均成绩为：90×40%+80×30%+60×30%＝78（分）．
故答案为：78．
【点评】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．
14．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 144° ．
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
连接OA、OC，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：180°﹣360°÷5＝108°．
15．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是18cm，∠P＝50°，则的长是 23π cm．
【分析】根据题意，设圆心O，然后根据PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，∠P＝50°可以得到∠AOB的度数，进而可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
解：如图，设圆心为O，连接AO、BO，
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝130°，
∴优弧对应的圆心角为360°﹣130°＝230°，
∴优弧的长是：，
故答案为：23π．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体、切线的性质以及弧长的计算，求出∠AOB并牢记弧长公式是解题的关键．
16．如图，直角坐标系中，点M在第一象限，半径为的⊙M经过原点O，与x轴交于点A，的度数为120°，点B是平面内一动点，且∠ABO＝30°，求线段MB的最大值为 ．
【分析】当点B在x轴的上方时，如图，以OA为边，在OA上方作等边△AON，以N为圆心，NO为半径作⊙N，连接NM并延长交OA于K，反向延长线交⊙N于B′，连接OB′，AB′，OM，AM，利用等边三角形的性质、圆周角定理判断点B在⊙N上，当点B运动到B′时，BM最大，利用线段垂直平分线的判定证明N、M都在OA的垂直平分线上，利用等腰三角形的性质，含30°的直角三角形性质和勾股定理等求出MK，OK，OA，NK等，即可求解；当点B在x轴的下方时，同理求解即可．
解：①当点B在x轴的上方时，如图，以OA为边，在OA上方作等边△AON，以N为圆心，NO为半径作⊙N，连接NM并延长交OA于K，反向延长线交⊙N于B′，连接OB′，AB′，OM，AM，
∴，
又∠ABO＝30°，
∴点B在⊙N上，
∵的度数为120°，
∴∠AMO＝120°，
∵NO＝AN，MO＝AM，
∴N、M都在OA的垂直平分线上，
∴，，
∴∠MOK＝30°，
∴，
∴，OA＝2OK＝6＝ON，
∴，
∴，
当点B运动到B′时，BM取最大值，最大值为；
②当点B在x轴的下方时，如图，以OA为边，在OA上方作等边△AON′，以N′为圆心，N′O为半径作⊙N′，连接N′M并交OA于K′，反向延长线交⊙N′于B″，连接OB″，AB″，OM，AM，
同理①可求∠AB″O＝30°，B″N′＝ON′＝OA＝6，，，
∴，
当点B运动到B″时，BM取最大值，最大值为；
综上，BM的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的综合应用，涉及到圆周角定理，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出点B在⊙N或⊙N′上运动是解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．解方程：x（x+8）＝3（x+8）．
【分析】移项后用因式分解法求解即可．
解：x（x+8）＝3（x+8），
x（x+8）﹣3（x+8）＝0，
（x﹣3）（x+8）＝0，
∴x﹣3＝0或x+8＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1、x2，且满足3x1+2x2＝2，求实数m的值．
【分析】（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，又3x1+2x2＝2求出x1和x2，根据，由m＝2x1x2，即可得到结果．熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0，
∴16﹣8m≥0，
即m≤2；
（2）∵x1，x2为该方程的两个实数根，
∴x1+x2＝2，
又3x1+2x2＝2，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∵，
∴m＝2x1x2＝﹣16．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
19．2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“A宸宸、B琮琮、C莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“A、B、C”后放入一个盒子里．
（1）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“A宸宸”的概率为 ；
（2）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，符合题意的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：（1）由题意可得，
从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“A宸宸”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种，
∴P（两次抽取卡片上字母相同）＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如表；
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5＝8，
乙进球的方差为：[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2＝3.2，S乙2＝0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的波动较小，成绩更稳定，
∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
21．如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，是△ABC的外接圆的一部分．请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作出△ABC的外心O；
（2）作出的中点P；
（3）过点B作出⊙O的切线BT．
【分析】（1）作线段AB所在正方形的对角线和线段BC的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心O；
（2）取AC的中点，连接圆心O和中点并延长与的交点即为点P；
（3）取格点T，作直线BT即为所作的切线．
解：（1）作线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心O；
（2）取AC的中点，连接圆心O和中点并延长与的交点即为点P；
（3）取格点T，作直线BT即为所作的切线．
【点评】本题考查限定工具作图，三角形外心、垂径定理的推论、切线的判定，熟练掌握定理是解题关键．
22．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
【分析】（1）利用三角形内角和求出∠ABC+∠BAC＝140°，再根据内切圆的性质和切线长定理得出∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，再求出∠OAB+∠OBA＝70°，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设DE的切点为I，根据内切圆的性质得到EH＝EI，DI＝DG，推出△CDE的周长为CG+CH，再结合切线长定理可得CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣2AB，再计算即可．
解：（1）∵∠C＝40°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，
∴，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I，
∴EH＝EI，DI＝DG，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE
＝CD+CE+EI+DI，
＝CD+CE+EH+DG，
＝CG+CH，
∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），
＝8+6+9﹣2AB
＝8+6+9﹣2×6
＝11．
【点评】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，AC＝FC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若OA＝2，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）．
【分析】（1）先求出∠D+∠OFD＝90°，从而可得∠D+∠AFC＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠CAF＝∠AFC，从而可得∠D+∠CAF＝90°，又根据等腰三角形的性质可得∠D＝∠OAD，从而可得∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）先根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，最后根据图中阴影部分的面积等于SRt△AOC﹣S扇形OAE求解即可得．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴∠DOC＝90°，
∴∠D+∠OFD＝90°，
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠D+∠AFC＝90°，
在△AFC中，AC＝FC，
∴∠CAF＝∠AFC，
∴∠D+∠CAF＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠D＝∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵∠OAC＝90°，
∴∠C＝30°，
在Rt△AOC中，，
则图中阴影部分的面积为：
＝
＝，
答：图中阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积等知识，熟练掌握圆的切线的判定和扇形的面积公式是解题关键．
24．数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题：
材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例：
例：求代数式x2+4x+5的最小值；
请利用上述方法解决下列问题：
（1）请选择上述一种方法求代数式﹣x2+4x﹣1的最大值；
（2）请你根据方法2解决问题：若关于x的二次三项式：x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5，求a的值．
【分析】（1）设﹣x2+4x﹣1＝y，根据方程x2﹣4x+（y+1）＝0有实数根，求得y≤3，即可求解；
（2）设x2+ax+4＝y，根据方程x2+ax+（4﹣y）＝0有实数根，得出，利用最小值为﹣5，列出方程求解即可．
解：（1）设﹣x2+4x﹣1＝y，
∴方程x2﹣4x+（y+1）＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4（y+1）≥0，
解得：y≤3，
则代数式﹣x2+4x﹣1的最大值为3；
（2）设x2+ax+4＝y，
∴方程x2+ax+（4﹣y）＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝a2﹣4（4﹣y）≥0，
解得：，
而x2+ax+4（a为常数）的最小值为﹣5，
则，
解得：a＝6或﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式及解不等式，解一元二次方程，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系，运用类比的思想是解题的关键．
25．某小区有一块长30m，宽20m的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为416m2．
（1）求通道的宽是多少m？
（2）该停车场共有65个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为15元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元？
【分析】（1）设通道的宽是x m，依题意，列式得（30﹣2x）（20﹣2x）＝416，求解即可；
（2）设每个车位的日租金上涨y元，则出租的车位为（65﹣y）个，（15+y）（65﹣y）＝1200，求解后注意题干条件进行筛选，作答即可．
解：（1）设通道的宽是x m，
由题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝416，
整理得x2﹣25x+46＝0，
解得：x1＝2，x2＝23＞20（不合题意舍去），
所以通道的宽是2m．
（2）设每个车位的日租金上涨y元，则出租的车位为（65﹣y）个，
由题意得：（15+y）（65﹣y）＝1200，
解得：y1＝5，y2＝45，
因为要优惠大众，所以y2＝45舍去．
所以设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．
【原题再现】
请你帮他完成后面的解答．
【深入探究】
（2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接AC，得到图2，当AB＝AD时，他发现CA平分∠BCD．他的发现正确吗？试说明理由．
（3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现CD，CB，CA这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论．
【应用实践】
（4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，⊙O内接四边形ABCD中，BD为⊙O的直径，AB＝AD，作点C关于AD的对称点P，连接PA，PB，PD，若PD＝6，，请直接写出PB的长为 ．
【分析】（1）先证明OA＝OB＝OD，再证明即可；
（2）根据圆周角定理即可证明结论成立；
（3）延长CB至C′，使BC′＝CD，连接AC′．根据SAS证明△ADC′≌△ABC′，得CA＝C′A，∠DAC＝∠BAC′，根据勾股定理得，进而可证结论成立；
（4）由轴对称的性质可得，∠PAD＝∠CAD，证明△PAB≌△CAQ（SAS），可得PB＝CQ．证明△ADQ≌△ADB（SAS），可证∠BDQ＝90°，过点Q作QE⊥CD交CD的延长线于点E，证明△QED≌△DCB（AAS）得QE＝CD＝6，然后根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：点C在⊙O上，理由如下：
如图1，过A、B、D三点作⊙O，连接AO，BO，CO，DO．
∵⊙O中，∠BAD＝90°，
∴BD是直径，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴，
∴点C在⊙O上；
（2）解：他的发现正确，理由如下：
∵△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵⊙O中，∠ABD＝∠ACD，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴CA平分∠BCD，
∴他的发现正确；
（3）证明：如图2，延长CB至C′，使BC′＝CD，连接AC′．
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC′+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC′，
又∵CD＝C′B，AD＝AB，
∴△ADC′≌△ABC′（SAS），
∴CA＝C′A，∠DAC＝∠BAC′，
∴∠CAC′＝∠CAB+∠BAC′＝∠CAB+∠DAC＝90°，
∴CC′2＝CA2+C′A2＝2CA2，
∴，
∵CC′＝CB+C′B，C′B＝CD，
∴；
（4）解：延长BA至点Q，使AQ＝AB，连接DQ，CQ，如图3，
∵点C关于AD的对称点P，
∴，∠PAD＝∠CAD，
∴△PAB≌△CAQ（SAS），
∴PB＝CQ．
由（3）的结论可知，，
∴，
∴BC＝4．
∵∠DAB＝∠DAQ＝90°，AD＝AD，
∴△ADQ≌△ADB（SAS），
∴∠DQB＝∠DBQ＝45°，DQ＝DB，
∴∠BDQ＝90°．
过点Q作QE⊥CD交CD的延长线于点E，
∵∠EQD+∠EDQ＝90°，∠BDC+∠EDQ＝90°，
∴∠EQD＝∠BDC．
∵∠QED＝∠BCD＝90°，
∴△QED≌△DCB（AAS），
∴QE＝CD＝6，
∴CE＝6+4＝10，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
27．大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题．
说明：图中点A、B、C都在圆上，N在AB上，NM⊥AB，垂足为M．
（1）问题解决：
①花坛Ⅰ的半径为 2.5 米；（直接写出答案）
②计算花坛Ⅱ的半径；
③计算花坛Ⅲ的半径；
④请用含n的代数式表示花坛Ⅳ的半径．
（2）问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，A、B、N在同一个圆上，N是上一动点，经测量∠ANB＝135°，NM⊥AB，垂足为M，MN＝2，则△ANB面积最小值为 米2．
【分析】（1）①根据圆周角为90°所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答；
②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可；
③如图，可设花坛半径为r米，连接AN和BQ，可证△AMN和△BMQ均为等腰直角三角形，则得AB＝NQ，根据垂径定理得CO＝MD＝CM＝2米，CB＝3米，由勾股定理得米；
④本题可构造网格（如图）得等腰直角三角形BNF，则∠BNF＝45°，所以∠ANB＝135°，∠E＝45°，则∠AOB＝90°．根据勾股定理进行列式AO2+BO2＝AB2＝（AM+BM）2，求得米，即可作答．
（2）记该圆的圆心为点O，连接AO，BO，NO，MO，且NO交AB于点D，依题意，，即△ANB面积最小值，AB取最小值，因为，当点N，M，O三点共线时，NO＝DO+MN，此时半径最小，AD＝OD＝（r﹣2）米，根据勾股定理进行列式r2＝（r﹣2）2+（r﹣2）2，即可作答．
解：（1）①连接CB，如图1，
∵∠BAC＝90°，
∴CB是直径，CB的中点为圆心O，
故米，
∴半径为2.5米；
故答案为：2.5；
②设半径为r米，记圆心为O，连接AO，OM，如图2所示：
∵MN⊥AB，AM＝BM，
∴ON⊥AB，米，
在Rt△AOM，AO2＝AM2+OM2，
即r2＝4+（r﹣1）2，
解得r＝2.5；
③延长NM交⊙O于点Q，连接QB，过点O分别作OD⊥NQ，作OC⊥AB，连接OB，AN，如图3所示：
∵MN⊥AB，AM＝MN＝1米，
∴△ANM是等腰三角形，
∵＝，
∴∠MQB＝∠NAM＝45°，
∵MN⊥AB，延长NM交⊙O于点Q，
∴∠QMB＝90°，
则△BQM是等腰三角形，
∴QM＝BM＝5米，
∵OC⊥AB，OD⊥NQ，
∴四边形DMCO是矩形，OC＝DM，
则米，米，
∵AM＝MN＝1米，
∴OC＝DM＝3﹣1＝2（米），
则米；
④依题意，MN⊥AB，MN＝n米，AM＝2n米，BM＝3n米，n为正数．
可构造网格（如图），过点B作BF⊥AN的延长线上，
根据小正方形网格（边长为n）特征，
则米，
易得等腰直角三角形BNF，如图4：
即∠BNF＝45°，
∴∠ANB＝135°，
记该圆心为点O，以劣弧AB所对的圆周角为∠E，如图5所示：
则∠E＝180°﹣∠ANB＝45°，
则∠AOB＝90°．
在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2＝（AM+BM）2，
解得米．
故半径为米；
（2）记该圆的圆心为点O，连接AO，BO，NO，MO，且NO交AB于点D，如图6，
∵MN⊥AB，MN＝2米，
∴，
要使△ANB面积最小值，
即AB取最小值，
∵∠ANB＝135°，
∴∠AOB＝2×（180°﹣135°）＝90°，
则△AOB是等腰直角三角形，
∴，
设半径为r米，
则NO≤MO+MN，
当点N，M，O三点共线时，即点D1与点M重合，如图7所示：
则NO＝D1O+MN＝ND1+D1N，此时半径最小，
∵△AOB是等腰直角三角形，
则∠OAB＝45°，
∴AD1＝OD1＝（r﹣2）米，
那么AO2＝+，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣2）2，
解得，（舍去），
∵，
则米，
∴△ANB面积最小值为米2，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，内接四边形性质，勾股定理，三角形三边关系等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的作辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9
方法1：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的最小值是1．
则代数式x2+4x+5的最小值为1．
方法2：
设x2+4x+5＝y．
∴方程x2+4x+（5﹣y）＝0有实数根．
∴b2﹣4ac＝16﹣4（5﹣y）≥0，解得y≥1．
则代数式x2+4x+5的最小值为1．
（1）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A、B、D三点作⊙O，点C在⊙O上吗？试说明理由．
小晨解答如下：
如图1，过A、B、D三点作⊙O，连接AO，BO，CO，DO．
∵⊙O中，∠BAD＝90°
…
名称
花坛Ⅰ
花坛Ⅱ
花坛Ⅲ
花坛Ⅳ
图形




条件
∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3．
AM＝BM，MN⊥AB，AB＝4，MN＝1．
MN⊥AB，BM＝5AM＝MN＝1．
MN⊥AB，MN＝n，AM＝2n，BM＝3n，n为正数．
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9
方法1：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的最小值是1．
则代数式x2+4x+5的最小值为1．
方法2：
设x2+4x+5＝y．
∴方程x2+4x+（5﹣y）＝0有实数根．
∴b2﹣4ac＝16﹣4（5﹣y）≥0，解得y≥1．
则代数式x2+4x+5的最小值为1．
（1）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A、B、D三点作⊙O，点C在⊙O上吗？试说明理由．
小晨解答如下：
如图1，过A、B、D三点作⊙O，连接AO，BO，CO，DO．
∵⊙O中，∠BAD＝90°
…
名称
花坛Ⅰ
花坛Ⅱ
花坛Ⅲ
花坛Ⅳ
图形




条件
∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3．
AM＝BM，MN⊥AB，AB＝4，MN＝1．
MN⊥AB，BM＝5AM＝MN＝1．
MN⊥AB，MN＝n，AM＝2n，BM＝3n，n为正数．