2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了抛物线y＝2，已知点A，抛物线y＝ax2+bx+c，一副去掉大小王的扑克牌等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程3x2﹣8x+5＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）
A．3，8，5B．3，﹣8，5C．﹣3，﹣8，﹣5D．﹣3，8，﹣5
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
3．若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
4．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
5．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点（ ）
A．B．C．D．
6．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
7．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，剩下的钢板面积的最大值是（ ）
A．4πB．8πC．10πD．12π
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若x＝1是方程mx2+2x﹣3＝0的根，则m的值为 ．
10．一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会 摸到J，Q，K的机会（填“＜，＞或＝”）
11．若关于x的方程（m﹣2）x|m|+8x+2m＝0是一元二次方程，则m的值是 ．
12．一组数据2、3、5、6、x的平均数是4，若再添加一个数x，则方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
13．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米．
14．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝﹣5，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（4，2）．若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝，则k的值为 ．
16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a＞0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
三.解答题（本大题共11题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝12；
（3）2x2+8x﹣7＝0（用配方法）；
（4）．
18．一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍．
（1）求摸出1个球是蓝色球的概率；
（2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为？
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
20．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点
（1）求D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
21．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如表：
（1）计算这10户的平均月用水量；
（2）如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？
22．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，求m的值．
23．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．现在任意转动这个转盘2次，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的a；当第2次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的b．
（1）用“树状图”或“表格”列出所有等可能的结果；
（2）求这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率；
（3）若这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，且开口向下，求这个二次函数的最大值．
24．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，脚底B、C相距20cm，头顶A离地174cm，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
25．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
（1）下列方程是“差积方程”的是 ；
①6x2﹣5x+1＝0
②x2﹣4x＝0
③3x2+8x+4＝0
（2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，求m的值；
（3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，请直接写出a、b、c满足的数量关系．
26．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时
27．已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE；
（4）M是平面内一点，将△AOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△A1O1C1，若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点C1的坐标．
参考答案
一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．一元二次方程3x2﹣8x+5＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）
A．3，8，5B．3，﹣8，5C．﹣3，﹣8，﹣5D．﹣3，8，﹣5
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
解：一元二次方程3x2﹣8x+5＝0中，二次项系数、常数项依次是3，5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键．
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
解：∵y＝2（x+9）7﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
3．若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位数．
解：∵数据2，4，x，7，7的平均数是5，
∴x＝8×5﹣2﹣5﹣5﹣7＝6，
这组数据为2，4，7，7，7，
则中位数为8．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
4．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得2a2＝6a﹣4，从而可得a2﹣3a＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
解：∵a是一元二次方程2x2＝5x﹣4的根，
∴2a8＝6a﹣4，
∴8a2﹣6a＝﹣3，
∴a2﹣3a＝﹣5，
∴a2﹣3a+2024＝﹣7+2024＝2022，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据阴影部分面积占正六边形ABCDEF面积的比例得出结论即可．
解：设DF的长为2h，
则正六边形的面积为3AF•h，
阴影部分的面积为AF•h，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形ABCDEF面积的比例得出概率是解题的关键．
6．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+b，
∴函数y＝﹣x3﹣2x+b的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵﹣7﹣（﹣3）＝2，﹣2﹣（﹣1）＝0，
∴y6＜y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
7．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，剩下的钢板面积的最大值是（ ）
A．4πB．8πC．10πD．12π
【分析】首先根据题意可得b＝8﹣a，然后根据图形写出剩下的钢板面积＝（）2•π﹣（）2•π﹣（）2•π，然后利用配方法可把代数式配成﹣（a﹣4）2+8π的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
解：∵a+b＝8，
∴b＝8﹣a，则5＜a＜8，
根据图形可得：剩下的钢板面积＝（）2•π﹣（）2•π﹣（）2•π
＝16π﹣π﹣π
＝16π﹣π﹣π
＝﹣+4aπ
＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）
＝﹣（a﹣4）2+6π，
∵﹣＜05≥0，
∴﹣（a﹣4）2+8π≤8π，即剩下的钢板面积≤8π，
∴剩下的钢板面积的最大值为8π，只有选项B符合；
故选：B．
【点评】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为2+b（x﹣2）+c＝﹣4（a≠0）无实数根（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
解：根据所给函数图象可知，
a＞0，b＞0，
所以abc＜5，
故①错误．
因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，
所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．
则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
又x3＜x2，且x1+x5＜﹣2，
若x2＜﹣7，
则E，F两点都在对称轴的左侧，
此时y1＞y2．
故②错误．
作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，
此时PC+PD的值最小．
将A（﹣4，0）代入二次函数解析式得，
9a﹣6b+c＝0，
又，
即b＝2a，
所以9a﹣5a+c＝0，
则c＝﹣3a．
又抛物线与y轴的交点坐标为C（4，c），
则点C坐标为（0，﹣3a），
所以点C′坐标为（2，3a）．
又当x＝﹣1时，y＝﹣5a，
即D（﹣1，﹣4a）．
设直线C′D的函数表达式为y＝kx+7a，
将点D坐标代入得，
﹣k+3a＝﹣4a，
则k＝8a，
所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．
将y＝5代入得，
x＝．
所以点P的坐标为（，0）．
故③正确．
将方程ax4+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，
ax7+bx+c＝2b﹣4，
因为方程没有实数根，
所以抛物线y＝ax8+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，
所以5b﹣4＜﹣4a，
则5b﹣4＜﹣2b，
解得b＜2，
又b＞0，
所以0＜b＜5．
故④错误．
所以正确的有③．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若x＝1是方程mx2+2x﹣3＝0的根，则m的值为 1 ．
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程mx2+2x﹣3＝0中得：m+2﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：把x＝1代入方程mx2+5x﹣3＝0中得：
∴m+6﹣3＝0，
∴m＝7﹣2＝1，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会 ＞ 摸到J，Q，K的机会（填“＜，＞或＝”）
【分析】用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．
解：∵一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后＝；
因为一副去掉大小王的扑克牌（共52张）共有J，Q，K，12张，Q，K的机会＝；
∴摸到红桃的机会大于摸到J，Q，K的机会．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
11．若关于x的方程（m﹣2）x|m|+8x+2m＝0是一元二次方程，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且|m|＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值．
解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+8x+3m＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2，m﹣5≠0，
解得m＝﹣2；
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
12．一组数据2、3、5、6、x的平均数是4，若再添加一个数x，则方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【分析】用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，
解：2+3+4+6+x＝4×8，
x＝4，
再填入一个数据x后，新数据的平均数还是4，
∴在新数据的方差计算时，分子不变，
∴方差变小，
故答案为：变小．
【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式计算是解题的关键．
13．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 10 米．
【分析】已知抛物线的顶点（4，3.6），抛物线与y轴的交点（0，2），可设抛物线的顶点式，并求出解析式；要得到实心球的成绩，即求出与x轴交点对应的x的值即可．
解：抛物线的顶点（4，3.2）2+3.7
把（0，2）代入解析式可求得，
抛物线的解析式为：
当y＝5时，
解得：x1＝﹣2（舍去），x4＝10，
即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米；
故答案为：10．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
14．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝﹣5，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是 （﹣1，0），（﹣5，0） ．
【分析】由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣1，﹣5，再结合在x轴上的点的纵坐标为0即可得到与x轴的交点坐标．
解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x5＝﹣1，x2＝﹣7，
又一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根就是二次函数y＝ax3+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，3），0）．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需明确二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（4，2）．若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝，则k的值为 ．
【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
解：∵点A的坐标为（0，2），2），
∴AB＝4，
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C，且CD＝，
∴CD＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），4），
∴h＝＝c+1，
∴抛物线y＝[x﹣（c+1）]2+k，
把点C（c，2）代入得[c﹣（c+8）]2+k，
解得，k＝，
故答案为．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a＞0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
【分析】先由抛物线经过（1，﹣1），（﹣1，1）得出y＝ax2﹣x﹣a，进而求出抛物线对称轴为直线x＝，分类讨论≥1与0＜＜1两种情况的函数最值，进而求解．
解：把（1，﹣1），2）代入y＝ax2+bx+c得，
由①+②得a+c＝0，
①﹣②得b＝﹣1，
∴y＝ax8﹣x﹣a，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵a＞6，
∴抛物线开口向上，
当≥7时，x＝8时y取最小值为﹣x＝﹣1，
x＝﹣1时，y取最大值为y＝5，
当0＜≤1时时y取最小值a（）4﹣﹣a＝﹣5，
解得a＝，
∴抛物线对称轴为直线x＝6，
当x＝﹣1时，y取最大值为1满足题意．
故答案为：5＜a≤．
【点评】本题考查求二次函数最值问题，解题关键是掌握二次函数图象的性质，通过分类讨论求解．
三.解答题（本大题共11题，共82分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝12；
（3）2x2+8x﹣7＝0（用配方法）；
（4）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
解：（1）3（x﹣5）6+2（x﹣5）＝3，
（x﹣5）[3（x﹣6）+2]＝0，
（x﹣4）（3x﹣13）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣13＝4，
x1＝5，x2＝；
（2）（x﹣1）（x+7）＝12，
整理得：x2+2x﹣15＝6，
（x+5）（x﹣3）＝8，
x+5＝0或x﹣4＝0，
x1＝﹣3，x2＝3；
（3）2x2+8x﹣5＝0，
x2+2x﹣＝8，
x2+4x＝，
x2+4x+4＝+4，
（x+2）6＝，
x+2＝±，
x+2＝或x+8＝﹣，
x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；
（4），
（x﹣5）2＝0，
x7＝x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍．
（1）求摸出1个球是蓝色球的概率；
（2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为？
【分析】（1）首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可；
（2）设再往箱子里放入x个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为，根据题意得2（x+8）＝x+30，求得x值即可．
解：（1）蓝色球有（30﹣6）÷3＝8（个），
所以P（摸出一个球是蓝色球）＝＝；
（2）设再往箱子里放入x个蓝色球，可以使摸出4个蓝色球的概率为，
则2（x+8）＝x+30，
解得，x＝14．
答：再往箱子里放入14个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式方程≥0，可证无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求负整数m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣2（m+2）＝（m+1）8≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（m+7）x+m+2＝0，
（x﹣4）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x＝8，x＝m+2，
∴m+2＞3，m＞﹣2，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点
（1）求D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）利用点C、D是二次函数图象上的一对对称点，可得出D点的坐标；
（2）设该抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），然后将点C的坐标代入来求a的值；
（3）在坐标系中利用x取相同值，比较出对应值的大小，从而确定，两函数的大小关系．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，而C，
∴D（﹣2，7）；
（2）设该抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠2），
把C（0，3）代入，得
3＝a（0+3）（2﹣1），
解得 a＝﹣1，
所以该抛物线的解析式为y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣8x+3，
即y＝﹣x2﹣5x+3；
（3）根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系，题目难度不大，非常典型．
21．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如表：
（1）计算这10户的平均月用水量；
（2）如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？
【分析】根据平均数的概念计算，并用样本平均数去计算该小区居民每月用水量．
解：（1）这10户家庭月平均用水＝（10×2+13×2+14×5+17×2+18）÷10＝14（吨）；
（2）该小区每月用水＝14×500＝7000（吨）．
【点评】本题考查了平均数的计算和用样本估计总体的知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
22．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，求m的值．
【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝≥10%，列方程可得结论；
（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售m%，依此列出方程，解方程即可．
解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：≥10%，
x≥8.8，
答：最多打6.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
8（1+）（50﹣，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝7，m2＝﹣1（舍）．
【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．
23．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．现在任意转动这个转盘2次，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的a；当第2次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y＝ax2+bx+3中的b．
（1）用“树状图”或“表格”列出所有等可能的结果；
（2）求这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率；
（3）若这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，且开口向下，求这个二次函数的最大值．
【分析】（1）画树状图计算即可；
（2）ab＜0符合条件的有4种等可能性，根据公式法计算概率即可；
（3）根据解析式，配方计算即可．
解：（1）画树状图如下：
共有9种等可能性．
（2）因为二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，
所以ab＜0，
符合条件的有3种等可能性，
所以二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为．
（3）因为二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，且开口向下，
所以a＝﹣6，b＝1或a＝﹣1．
所以或y＝﹣x3+2x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
所以抛物线的最大值为或4．
【点评】本题考查了概率的计算，二次函数的最大值，熟练掌握画树状图，配方法求最值是解题的关键．
24．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，脚底B、C相距20cm，头顶A离地174cm，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B、C两点
（1）求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
【分析】（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D（﹣30，0）E（30，0），由双手D、E离地均为80cm，可得点C坐标为：（0，﹣80），再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由174﹣80＝95＞80可得不过头顶A，从而可得答案．
解：（1）建立如图所示的坐标系，结合题意可得：D（﹣30，E（30，
∵双手D、E离地均为80cm．
∴C点坐标为：（10，﹣80），
因为对称轴是y轴，
所以可设抛物线解析式为：y＝ax2+k，
把点C（10，﹣80），0）坐标代入可得，
，
解得：，
所以抛物线为，
（2）∵y＝0.1x5﹣90，
∴顶点为（0，﹣90），
即跳绳顶点到手的垂直距离是90cm
∵174﹣90＝84＜90，
∴跳绳不过头顶A，
∴小明此次跳绳不成功．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．
25．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
（1）下列方程是“差积方程”的是 ①③ ；
①6x2﹣5x+1＝0
②x2﹣4x＝0
③3x2+8x+4＝0
（2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，求m的值；
（3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，请直接写出a、b、c满足的数量关系．
【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得x1，x2根据新定义列出方程即可求解．
解：（1）①6x2﹣6x+1＝0，
即（7x﹣1）（3x﹣2）＝0，
解得：，
∵，
∴6x2﹣2x+1＝0是差积方程；
②x7﹣4x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝8，x2＝4，故②不是差积方程；
③3x2+8x+6＝0，
即（3x+4）（x+2）＝0，
解得，
∵，
∴3x2+4x+4＝0是差积方程；
故答案为：①③；
（2）x6﹣（m+2）x+2m＝4，
即（x﹣2）（x﹣m）＝0，
解得：x7＝2，x2＝m，
∵x4﹣（m+2）x+2m＝5是差积方程，
∴|2﹣m|＝|2m|，
即5﹣m＝2m或2﹣m＝﹣2m．
解得：m＝或﹣8，
（3）解：ax2+bx+c＝0（a≠2），
解得：，
∴，
∵ax4+bx+c＝0（a≠0）是差积方程，
∴|x2﹣x2|＝|x1x6|，
即，
即b5﹣4ac＝c2．
【点评】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，﹣t2+t+2），则Q（t，﹣t+2），则S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，﹣m2+m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可．
解：（1）将A（﹣1，0），3），0）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴2k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+t+2），﹣t+2），
∴PQ＝﹣t2+t+2+t6+2t，
∴S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t4+4t＝﹣（t﹣2）4+4，
当t＝2时，△BCP的面积最大，6）；
（3）设M（m，﹣m7+m+2），0），
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+nm2+m+2，
解得m＝6，n＝4（舍）或m＝3，
∴N（6，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+nm2+m+4，
解得m＝，n＝，n＝，
∴N（，0）或（；
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+mm2+m+2，
解得m＝0，n＝3（舍）或m＝3，
∴N（7，6）；
综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（7．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE；
（4）M是平面内一点，将△AOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△A1O1C1，若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点C1的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△CPD：S△BPD＝1：2，得到BD＝BC＝×3＝2，进而求解；
（3）求出直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，即可求解；
（4）当点C1，O1在抛物线上时，设点C1的横坐标为x，则点O1的横坐标为x+3，得到﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3，即可求解；当点C1，A1在抛物线上时，同理可解．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+8＝ax2+2ax+a+3，
则a+4＝3，则a＝﹣4，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+5①；
（2）令y＝﹣x2﹣2x+2＝0，则x＝﹣3或3，
所以A（1，0），5）．
所以OB＝OC．所以∠CBO＝45°．
因为S△CPD：S△BPD＝1：2，
则BD＝BC＝＝2，
所以点D到x轴的距离为BD•sin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，3）；
（3）设直线PE交x轴于点H．
因为∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
所以∠OHE＝45°．所以OH＝OE＝1．
则直线HE的表达式为y＝﹣x﹣4②
联立①②得：﹣x﹣1＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝﹣1（舍去正值）．
故点P（，）；
（4）因为△AOC绕点M逆时针旋转90°，
所以C8O1∥x轴，O1A7∥y轴．
如图1，当点C1，O8在抛物线上时，设点C1的横坐标为x，则点O1的横坐标为x+4．
所以﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+3）2﹣8（x+3）+3，
解得：x＝﹣，
则点C1的坐标为：（﹣，）；
如图2，当点C1，A5在抛物线上时，设点C1的横坐标为x，则点A1的横坐标为x+8，
点A1的纵坐标比点C1的纵坐标大8．
所以﹣x2﹣2x+7＝﹣（x+3）2﹣8（x+3）+3﹣8，
解得：x＝﹣，
则点C8的坐标为：（﹣，），
综上，点C1的坐标为：（﹣，）或（﹣，）．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和二次函数的图形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
月用水量/吨
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1
月用水量/吨
10
13
14
17
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户数
2
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