2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 同弦所对的圆周角相等B. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
C. 长度相等的两条弧是等弧D. 任意三点确定一个圆
3.关于x的一元二次方程x2−bx+c=0的两根分别是4、−2，则b、c的值分别是( )
A. −2、4B. 4、−6C. −2、6D. 2、−8
4.实数a，b，c满足a−b+c=0，则( )
A. b2−4ac>0B. b2−4ac0)的图象上找一点C，使S△ABC=S△ABO，求出点C的坐标；
(3)点P(t,0)为x轴正半轴上任意一点，过点P作x轴的垂线交反比例函数y2=mx和一次函数y1=kx+2分别于点E，F，且满足EP=3EF，求t的值．
25.(本小题10分)
如图，点A是⊙O(半径为r)上的一点．

(1)尺规作图：请你作出⊙O的内接正方形ABCD；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)正方形ABCD的四个顶点将⊙O分成四段弧，将这四段弧沿正方形ABCD的四条边向圆内折叠，则这四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于______ ；(用含r的代数式表示)
(3)在(1)的条件下，在劣弧BC上任意取一点E，连接AE、BE、CE，请猜想AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
26.(本小题11分)
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC= ______ °；
【初步运用】：
(2)如图2，在△ABC中，∠A=75°，∠C=60°，AC=4 2，求△ABC的外接圆半径r的值；
【方法迁移】：
(3)如图3，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M为边CD上的点．
①若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为______ ；
②如图4，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补，不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，不符合题意；
故选：B．
利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大．
3.【答案】D
【解析】解：−(−b)1=4+(−2)，
解得b=2；
c1=4×(−2)，
解得c=−8．
故选：D．
根据两根之和等于−ba，两根之积等于ca，列出含有b和c的等式，即可求出答案．
本题考查了一元一次方程中根与系数的关系，关键列出含有b和c的等式来解答．
4.【答案】C
【解析】解：设一元二次方程为ax2+bx+c=0
当x=−1时，原方程化为a−b+c=0
所以一元二次方程为ax2+bx+c=0有实数根，
所以b2−4ac≥0．
故选：C．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，b2−4ac≥0．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．
5.【答案】D
【解析】【分析】
连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF=CF，证明△EFD≌△ECB，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC=DF=2，利用勾股定理即可求得AC．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接OD，交AC于F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，∠DFE=∠BCE=90°∠DEF=∠BECDE=BE,
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF=BC，
∴OF=12DF，
∵OD=3，
∴OF=1，
∴BC=2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AC= AB2−BC2= 62−22=4 2，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：连接EF、BD，延长DE交BC于G，如图所示：
∵∠BAC=120°，∠C=30°，DF⊥BC，
∴∠BAD=60°，∠ADF=60°，
当BD⊥AC时，BD最小，
则∠DBG=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=30°，
∴∠BGD=∠C+∠ADE=60°=∠DBG，
∴△BDG是等边三角形，
∴BG=BD，
∵DF⊥BC，
∴BF=GF，
∵DE⊥AB，
∴EF=12BG=GF，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EFG=60°=∠DBG，
∴EF/​/BD，
∴EF⊥AC，此时EF最小=12BG=12BD，
∵∠ABD=90°−60°=30°，
∴AD=12AB=2，BD= 3AD=2 3，
∴EF的最小值=12BD= 3．
故选：A．
延长DE交BC于G，当BD⊥AC时，证明△BDG是等边三角形，得出BF=GF，证明△EFG是等边三角形，得出∠EFG=60°=∠DBG，证出EF/​/AB，得出EF⊥AC，此时EF最小=12BG=12BD，进而求解．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】x1=1，x2=−1
【解析】【分析】
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2−1=0，
则x2=1，
解得：x1=1，x2=−1．
故答案为x1=1，x2=−1．
8.【答案】外
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点A与圆心O的距离为6，5r；②点P在圆上⇔d=r； ①点P在圆内⇔d